高中物理画好“整个圆形”突破画“轨迹”难关.doc

　　　　　　画好“整个圆形”突破画“轨迹”难关
　　　　　　　　　 山东 毕德军
O
图1
θ
θ
θ
O
求解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题题往往要用到洛伦磁力、圆周运动以及圆的几何知识等等，解题中的障碍往往是由于不能准确确定运动的轨迹，找不准半径与给定长度之间的几何关系。所以解决这类题时先攻破画轨迹这一关。
　　让我们先熟悉有关圆的一些基本知识（如图1）
（1）若在圆周上的任意一点作切线，则该切线一定与该圆的半径垂直。从物理的角度说就是洛伦磁力的方向过圆心。
（2）若在圆周上作一条弦，则弦切角θ是其所对圆心角的一半。
（3）过圆心作弦的垂线（即中垂线），则弦和弧长被其平分（或者说中垂线两边对称）。
d
C
D
E
F
B
θ
v
图２
下面结合两类有边界的磁场问题来体会画轨迹的方法。
例1如下左图所示，真空中狭长形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界。现有一束电子（电量为 ，质量为）以速率从CD侧垂直于磁场与CD成θ角射入，为使电子能从另一侧EF射出，则电子的速率v应满足的条件是。
解析 这是个临界问题，关键是求出刚好穿出磁场时，速度等于多少，求该速度的关键是画出运动的临界情况的轨迹。
d
C
D
E
F
B
P
O
θ
θ
图３
电子从P点入射后受f洛作用将作顺时针方向的匀速圆周运动，其轨迹是一段圆弧先画出如图３所示的整个圆，根据题意，可在我们已画好的圆上确定入射点P，画出磁场的左边界CD；假定磁场的右边界可移动，我们再画一条与CD平行的直线EF（磁场的右边界），并逐渐向圆靠近，则当EF与圆相切时，就是电子能从EF射出的临界情况。
　　答案：设此时圆弧与右边相切时的半径为r0　，依题意，磁场宽度一定，故只有当圆的半径r ＞ r0时才能满足要求。根据圆的几何知识，可得：r0 + r0cosθ= d
即 r0 = d /（1 + cosθ） 又 r = mv / eB
带入可得：mv / eB ＞ d /（1 + cosθ）　　　所以 v ＞ edB / m（1 + cosθ）
　　点拨：对于直线型边界的情况，先画出圆后，可以根据题意调整边界的线位置来找长度间的几何关系。
　　例2（07）宁夏理综 在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

R
A
O
P
D
Q
φ
图４
⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图４）。求入射粒子的速度。
　　解析：由带电粒子在磁场中运动的半径 可得出，求速度的关键是找出做圆周运动的半径与给定的长度之间的关系，所以首先确定运动的轨迹，第一问中的圆是以AP为直径画出的圆如图５。第二问中的圆的画法是先画出过Ｑ与P的整个圆后再根据题意确定半径。画出的圆如图６。

R
A
O
P
D
Q
φ
图５
　　答案：⑴由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP上，AP是直径。设入射粒子的速度为v1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：，　　　
⑵设O/是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O/Q，设O/Q＝R/。由几何关系得：
R
A
O
P
D
Q
φ
O/
R/
图６
由余弦定理得：
解得：
设入射粒子的速度为v，由
　解出：
　　点拨：从以上例题分析可见，要解决带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，我们要确定粒子运动的轨迹确定轨迹可以先画出——整个圆，具体做法是：首先在草稿纸上画一个完整圆的草图（方法：根据入射粒子所受洛伦磁力的方向确定圆心大致的位置，根据圆心的位置画出一个完整的圆，不用担心半径是否和题中的要求的吻合。）；然后我们把画好的圆与题目中要求的轨迹相对照，根据题目的意思看题中的轨迹是落在这个完整圆中的哪一部分或者说是落在另外的一个圆上（需要重新画出）；最后以圆为核心，结合数学中圆的平面几何知识，找出相应给定的长度与做圆周运动的半径关系，再利用物理知识列方程求解。