伯努利欧拉梁与铁木辛柯梁转换界限的数值验证与分析.doc

目 录

1. 引言 1
2. 理论分析 1
2.1 当梁为伯努利欧拉梁时 2
2.2 当梁为铁木辛柯梁时 4
3. 实例计算： 5
3.1 ANSYS计算模型的建立 5
3.2 当梁截面为矩形截面时 5
3.3 当梁截面为圆形截面时 8
4. 结论 12
5. 参考文献 12
附录A 13
附录B 15
附录C 17
附录D 19

《振动力学》Case Study
伯努利欧拉梁与铁木辛柯梁转换界限的数值验证与分析

摘要：本文首先对矩形梁结构的振动特性由伯努利欧拉梁转换到铁木辛柯梁的界限(长径比)进行了解析计算；然后在ANSYS10.0平台上，采用有限元方法，对解析结果进行数值验证，探讨在不同长径比的情况下，由伯努利欧拉梁所计算的固有频率与由铁木辛柯梁所计算的固有频率之间的差异，并对不同截面形状以及固有频率的阶数对等截面梁结构转换界限的影响规律进行了分析。
1. 引言
在理论分析伯努利欧拉梁横向振动的振动微分方程时，认为梁的主要变形是弯曲变形，在低频振动时忽略了剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。也就是说，梁振动时其各个截面的法线与梁轴线的切线始终是保持重合的，并且忽略了由梁微段转动引起的惯性力的影响。在细长梁的分析中，运用伯努利欧拉梁进行计算的结果与实际吻合较好，但是当梁的截面尺寸比起长度来不算很小时，或者在分析梁的高阶振型时，其计算结果与实际结果将会有较大差距。如果在伯努利欧拉梁的分析基础上，进一步加入转动惯量与剪切变形的影响，那么其计算结果将会更加符合实际，这种梁就称铁木辛柯梁(Timoshenko Beam)。
一般认为，当梁的长径比小于5时，由转动惯量和剪切变形产生的影响会比较大，此时应采用铁木辛柯梁来分析梁结构的振动特性。本文首先从理论上分别对伯努利欧拉梁和铁木辛柯梁的振动微分方程进行分析，然后对矩形等截面梁的振动特性进行解析计算，求得其转换界限；并利用ANSYS10.0对理论分析所得的结果进行数值验证，最后讨论当梁截面形状发生变化时，其对转换界限的影响规律。
2. 理论分析
如图1所示，矩形梁理论分析模型为等截面简支梁，其长度为，截面高为，宽为，材料密度为，弹性模量为，剪切模量为。

图1 矩形梁理论分析模型
2.1 当梁为伯努利欧拉梁时

图2 微段的受力分析图
微段的受力情况如图2所示，其中分别是截面上的剪力和弯矩，是微段的惯性力，图中所有的力及力矩都按正方向画出。由力平衡方程有：

即
(1)
由力矩平衡方程(略去高阶小量）有

即
(2)
式(2)代入式(1)，得

由材料力学的平截面假设得知，弯矩与挠度的关系为,代入上式后得

上式就是伯努利欧拉梁的横向振动微分方程，对于等截面梁，抗弯刚度为常数，上式成为
(3)
在(3)式中，令，得到下列梁的横向自由振动方程：
(4)
梁的主振型假设为

其中即主振型或振型函数。将上式代入(4)，得

对于等截面梁，上式成为
(5)
式(5)通解为
(6)
两端简支的边界条件是
，
，
上两式代入(6)及其二阶导数，可得出固有频率为：

2.2 当梁为铁木辛柯梁时

图3 弯矩和剪切力共同作用引起的转角
在梁上取一微段，由于剪切变形的影响，截面法线不再与梁轴线的切线重合，如图3所示，由弯矩和剪切力共同作用引起的梁的轴线的实际转角为

其中是截面转角，是纯剪切引起的中性轴处的剪切角，由材料力学，角可如下计算：

其中为截面形状系数()，例如对矩形截面，对圆截面。又由材料力学知道截面转角与弯矩关系为

由分析知，这种梁的振动服从下述微分方程：
(7)
其中是单位长度的梁绕截面中性轴的转动惯量。，其中是截面对中性轴的回转半径。
两端简支的边界条件是
，
，
假设主振型为

代入(7)式，得
(8)
通过自编FORTRAN程序(见附录A)解得。
3. 实例计算：
3.1 ANSYS计算模型的建立
本文的实例建模均在ANSYS中完成。
材料参数：，，。表3.1为矩形截面与圆截面梁的有限元计算参数设置。
表3.1 ANSYS中的参数设置
截面形状
有限元模型
单元类型
单元总数
边界条件
求解方法
矩形
二维
Beam 3
100
两端简支
Subspace法
圆
二维
Beam 188
100
两端简支
Lanczos法

图4 ANSYS中的计算模型
3.2 当梁截面为矩形截面时
截面参数为：，，。保持梁截面大小不变，通过改变梁的长度来实现长径比的变化。
分别按伯努利欧拉梁和铁木辛柯梁理论计算，在不同长径比情况下所求得的频率(见附录B1)；以及相同情况下的ANSYS数值解(见附录B2，梁的前5阶振型见附录D)。
前10阶固有频率的ANSYS数值解随长径比的变化趋势，如图5所示：

图5 前10阶固有频率的ANSYS数值解随长径比变化趋势
由图4很容易看出，在长径比一定时，固有频率值随着阶数的增加而增大；当长径比较小时，各阶固有频率随长径比的变化较大；当长径比超过10以后，同阶固有频率曲线较为平坦，即该阶固有频率对长径比的变化不敏感。
第1阶固有频率(基频)时，三种解法得出频率对比，如图6所示：

图6 第1阶固有频率(基频)时，三种解法得出频率的对比
由图6可以看出，当处于第1阶固有频率(基频)时，当长径比小于5时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差很小，而按伯努利欧拉梁计算时，误差则较大；当长径比大于5时，两种算法误差都比较小。
第5阶固有频率时，三种解法得出频率对比，如图7所示：

图7 第5阶固有频率时，三种解法得出频率的对比
由图7可以看出，当处于第5阶固有频率时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，当长径比小于7时误差则较大，长径比大于7时，误差则较小。
第10阶固有频率时，三种解法得出频率对比，如图8所示：

图8 第10阶固有频率时，三种解法得出频率的比较
由图8可以看出，当第5阶固有频率时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，当长径比小于8时误差则较大，长径比大于8时，误差则较小。
第5阶频率时，按两种梁理论得出的频率与数值解的相对误差对比，如图9所示：

图9 第5阶频率时，按两种梁理论得出的频率与数值解的相对误差对比
由图9可以看出，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，随着长径比的增大误差逐渐减小。
小结：
由以上图可得出如下结论：
(1) 由图5得出，基频时，伯努利欧拉梁与铁木辛柯梁的转换界限为5；
(2) 由图6、图7、图8、图9对比得出，随着固有频率阶数的增加，转换界限;
(3) 也在改变，有增大趋势。表明固有频率的阶数对转换界限有影响；
(4) 总的来看，按铁木辛柯梁计算时与数值解较为吻合，误差小。当梁按伯努利
欧拉梁计算时，长径比较小时，误差较大；长径比较大时，误差较小。
3.3 当梁截面为圆形截面时
，
梁按伯努利欧拉梁和按铁木辛柯梁计算时，不同长径比求得的频率见附录C1；用ANSYS求数值解，得出不同长径比的频率见附录C2。
前10阶固有频率的ANSYS数值解随长径比变化趋势，如图10所示：

图10 前10阶固有频率的ANSYS数值解随长径比变化趋势
由图10很容易看出，定长径比时，固有频率随阶数的增加而增大；而长径比较小时，各阶固有频率变化较大，长径比越大各阶固有频率变化越小。
第1阶固有频率(基频)时，三种解法得出频率对比，如图11所示：

图11 第1阶固有频率(基频)时，三种解法得出频率的对比
由图11可以看出，当处于第1阶固有频率(基频)时，当长径比小于5时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差很小，而梁按伯努利欧拉梁计算时，误差则较大；当长径比大于5时，两种算法误差都比较小。
第5阶固有频率时，三种解法得出频率对比，如图12所示：

图12 第5阶固有频率时，三种解法得出频率的对比
由图12可以看出，当第5阶固有频率时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，当长径比小于7时误差则较大，长径比大于7时，误差则较小。
第10阶固有频率时，三种解法得出频率对比，如图13所示：

图13 第10阶固有频率时，三种解法得出频率的对比
由图13可以看出，当处于第5阶固有频率时，按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，当长径比小于8时误差则较大，长径比大于8时，误差则较小。
第5阶频率时，按两种梁理论得出的频率与数值解的相对误差对比如图14。

图14 第5阶频率时，按两种梁理论得出的频率与数值解的相对误差对比
由图14可以看出，当梁按铁木辛柯梁计算时，与固有频率的ANSYS数值解误差始终很小；当梁按伯努利欧拉梁计算时，误差随着长径比的增大误差逐渐减小。
小结：
由以上图可得出如下结论：
(1) 由图10得出，基频时，伯努利欧拉梁与铁木辛柯梁的转换界限为5；
(2) 由图11、图12、图13、图14对比得出，随着固有频率阶数的增加，转换界
限也在改变，有增大趋势。表明固有频率的阶数对转换界限有影响；
(3) 总的来看，梁按照铁木辛柯梁计算时与数值解较为吻合。当梁按伯努利欧拉
梁计算时，长径比较小时，误差较大；长径比较大时，误差较小。

4. 结论
由以上讨论可知
(1) 基频时，伯努利欧拉梁与铁木辛柯梁的转换界限为5；
(2) 随着固有频率阶数的增加，转换界限也在改变，有增大趋势，表明固有频率的阶数对转换界限有影响；
(3) 总的来看，梁按照铁木辛柯梁计算时与数值解较为吻合。当梁按伯努利欧拉梁计算时，长径比较小时，误差较大；长径比较大时，误差较小；
(4) 综合比较矩形截面与圆形截面两种情况。不难发现，两种截面的梁，误差随长径比变化趋势相同。可见，不同截面形状对转换界限影响不大。

5. 参考文献
[1] C.M.哈里斯，C.E.克瑞德.冲击和振动手册[M].北京：科学出版社，1990
[2] 倪振华.振动力学[M].西安：西安交通大学出版社，1989
[3] 单辉祖.材料力学[M].北京：高等教育出版社，1999

6.附录
附录A：固有频率理论值计算程序。
PROGRAM FREQUENCY
IMPLICIT NONE
REAL,PARAMETER::X=12.0,PI=3.1415926
INTEGER::I,M
CHARACTER(1)::NAME(56)
REAL(8)::E,G,V,DENS,B,H,L,A,J,RG,K,WI0,WI,CRI,MUT
REAL(8)::AA,BB,BB1,BB2,CC,RT,ERROR,MERROR,TEMP

DENS=7800.0
V=0.33
E=2.1E11
K=0.833
B=0.030
H=0.040
A=B*H
J=B*H**3/12.0
G=E/(2.0*(1+V))
RG=SQRT(J/A)
MUT=DENS*J
MERROR=1.0E-6
NAME='**'

DO CRI=2.0,100.0
WRITE(*,200) CRI
WRITE(*,*)
L=RG*CRI
WRITE(*,100)'STEP','FREQ BER-EULER','FREQ TIMOSHENKO','ERROR(%)'
WRITE(*,*)
DO I=1,10
ERROR=1.0
WI0=(I*PI/L)*(I*PI/L)*SQRT(E*J/(DENS*A))/(2.0*PI)
AA=DENS*A*MUT/(K*G*A*E*J)
BB1=(I*PI/L)*(I*PI/L)*(DENS*A/(K*G*A)+MUT/(E*J))
BB2=DENS*A/(E*J)
BB=-BB1-BB2
CC=(I*PI/L)**4
RT=100.0
DO WHILE(ERROR>MERROR)
TEMP=RT
RT=-(AA*RT*RT+CC)/BB
ERROR=ABS(RT-TEMP)/RT
ENDDO
WI=SQRT(RT)/(2.0*PI)
ERROR=100.0*ABS(WI-WI0)/WI0
WRITE(*,300) I,WI0,WI,ERROR
ENDDO
WRITE(*,400) NAME
ENDDO
100 FORMAT(2X,A10,2A20,A14)
200 FORMAT(8X,'LEN/DIA=',F8.2)
300 FORMAT(2X,I8,2F20.6,F13.3)
400 FORMAT(8X,56A)
END PROGRAM FREQUENCY

14

附录B
附录B1
BER-EULER梁固有频率
频率
长径比

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
705850.7
176462.7
78427.9
44115.7
28234.0
19607.0
14405.1
11028.9
8714.2
7058.5
2
2823402.8
705850.7
313711.4
176462.7
112936.1
78427.9
57620.5
44115.7
34856.8
28234.0
3
6352656.3
1588164.1
705850.7
397041.0
254106.3
176462.7
129646.0
99260.3
78427.9
63526.6
4
11293611.1
2823402.8
1254845.7
705850.7
451744.4
313711.4
230481.9
176462.7
139427.3
112936.1
5
17646267.4
4411566.8
1960696.4
1102891.7
705850.7
490174.1
360127.9
275722.9
217855.2
176462.7
6
25410625.0
6352656.3
2823402.8
1588164.1
1016425.0
705850.7
518584.2
397041.0
313711.4
254106.3
7
34586684.1
8646671.0
3842964.9
2161667.8
1383467.4
960741.2
705850.7
540416.9
426996.1
15
345866.8
8
45174444.5
11293611.1
5019382.7
2823402.8
1806977.8
1254845.7
921927.4
705850.7
557709.2
451744.4
9
57173906.3
14293476.6
6352656.3
3573369.1
2286956.3
1588164.1
1166814.4
893342.3
705850.7
571739.1
10
70585069.5
17646267.4
7842785.5
4411566.8
2823402.8
1960696.4
1440511.6
1102891.7
871420.6
705850.7
TIMOSHENKO梁固有频率
1
122977.0
58041.8
35804.4
24631.2
18028.8
13756.4
10823.0
8721.4
7165.7
5983.7
2
250031.0
122977.0
79927.1
58041.8
44739.6
35804.4
29410.3
24631.2
20943.8
18028.8
3
376232.8
186707.5
122977.0
90761.7
71211.6
58041.8
48553.9
41393.8
35804.4
31327.7
4
502203.0
250031.0
165529.3
122977.0
97235.5
79927.1
67461.4
58041.8
50668.4
44739.6
5
628078.6
313177.6
207844.2
154919.9
122977.0
101541.6
86125.7
74485.4
65373.8
58041.8
6
753906.5
376232.8
250031.0
186707.5
148546.4
122977.0
104613.0
90761.7
79927.1
71211.6
7
879707.0
439234.7
292141.7
218400.2
174006.4
144293.7
122977.0
106914.4
94360.5
84268.3
8
1005490.3
502203.0
334203.7
250031.0
199393.8
165529.3
141254.1
122977.0
108703.0
97235.5
9
1131262.2
565148.7
376232.8
281619.4
224730.6
186707.5
159468.7
138973.3
122977.0
110133.2
10
1257026.0
628078.6
418238.5
313177.6
250031.0
207844.2
177637.0
154919.9
137198.6
122977.0
附录B2
固有频率的ANSYS数值解
频率
长径比

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
112340
56170
37447
28085
22468
17370
13142
10266
8227.4
6734
2
214090
94766
54164
34694
23907
18723
16049
14043
12482
11234
3
337050
168530
112350
84263
67410
54164
42880
34694
28581
23907
4
443770
214090
135170
94766
70323
56175
48150
42131
37450
33705
5
561840
280920
187280
140460
112370
93640
77302
64234
54164
46230
6
670280
329680
214090
155120
119090
94766
80263
70230
62427
56184
7
786770
393390
262260
196690
157350
131130
112160
94766
81184
16
70323
8
895890
443770
291380
214090
167010
135170
112400
98347
87419
78677
9
1011900
505950
337300
252970
202380
168650
144560
125130
108300
94766
10
1121100
557200
367820
272160
214090
174910
146590
126490
112430
101190

附录C
附录C1
BER-EULER梁固有频率
频率
长径比

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
81504.6
20376.2
9056.1
5094.0
3260.2
2264.0
1663.4
1273.5
1006.2
815.0
2
326018.5
81504.6
36224.3
20376.2
13040.7
9056.1
6653.4
5094.0
4024.9
3260.2
3
733541.5
183385.4
81504.6
45846.3
29341.7
20376.2
14970.2
11461.6
9056.1
7335.4
4
1304073.8
326018.5
144897.1
81504.6
52163.0
36224.3
26613.8
20376.2
16099.7
13040.7
5
2037615.4
509403.8
226401.7
127351.0
81504.6
56600.4
41584.0
31837.7
25155.7
20376.2
6
2934166.1
733541.5
326018.5
183385.4
117366.6
81504.6
59880.9
45846.3
36224.3
29341.7
7
3993726.1
998431.5
443747.3
249607.9
159749.0
110936.8
81504.6
62402.0
49305.3
39937.3
8
5216295.3
1304073.8
579588.4
326018.5
208651.8
144897.1
106455.0
81504.6
64398.7
17
52163.0
9
6601873.8
1650468.4
733541.5
412617.1
264075.0
183385.4
134732.1
103154.3
81504.6
66018.7
10
8150461.5
2037615.4
905606.8
509403.8
326018.5
226401.7
166335.9
127351.0
100623.0
81504.6
TIMOSHENKO梁固有频率
1
14723.1
6912.5
4241.8
2905.4
2119.1
1612.3
1265.6
1018.0
835.1
696.5
2
29989.3
14723.1
9545.1
6912.5
5313.9
4241.8
3476.3
2905.4
2465.8
2119.1
3
45143.1
22382.8
14723.1
10848.6
8496.6
6912.5
5772.0
4912.2
4241.8
3705.7
4
60265.9
29989.3
19838.1
14723.1
11627.3
9545.1
8045.4
6912.5
6026.1
5313.9
5
75376.1
37572.3
24922.1
18563.1
14723.1
12145.3
10290.8
8890.4
7794.3
6912.5
6
90479.8
45143.1
29989.3
22382.8
17797.0
14723.1
12514.7
10848.6
9545.1
8496.6
7
105579.9
52706.7
35046.3
26190.1
20856.8
17285.9
14723.1
12791.5
11281.5
10067.4
8
120677.7
60265.9
40096.9
29989.3
23907.0
19838.1
16920.5
14723.1
13006.6
11627.3
9
135773.9
67822.1
45143.1
33782.8
26950.5
22382.8
19109.8
16646.3
14723.1
13178.6
10
150869.0
75376.1
50186.1
37572.3
29989.3
24922.1
21293.0
18563.1
16433.0
14723.1
附录C2
固有频率的ANSYS数值解
频率
长径比

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
14390
6779
4173.4
2866
2095.1
1596.9
1255.3
1010.8
830
692.75
2
29280
14392
9345.4
6780
5221
4174.1
3425.7
2866.8
2435.9
2095.6
3
44074
21865
14395
10618
8326
6781.5
5669.2
4830.1
4175.4
3651.3
4
58851
29295
19389
14400
11381
9350.8
7888.7
6783.9
5919.3
5224.2
5
73631
36710
24359
18152
14405
11891
10082
8716.4
7647.3
6787.1
6
88423
44124
29320
21891
17413
14413
12386
10632
9359.8
8336.8
7
103234
51542
35042
25623
20412
16924
14421
12535
11061
18
9875.5
8
118068
58968
39239
29354
23407
19474
16692
14430
12753
11406
9
132929
66406
44206
33088
26402
22357
18731
16322
14441
12931
10
147823
73859
49181
36825
29399
24437
20884
18211
16127
14454

附录D：ANSYS计算的前5阶振型

第1阶振型 第2阶振型

19

第3阶振型 第4阶振型

第5阶振型