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第一章 函数、极限、连续（小结）
一、函数
1. 邻域： 以为中心的任何开区间；
2. 定义域：
；
.
二、极限
1. 极限定义：（了解）
若对于，， 当时，有；
Note：
，， 当时，有；
Note：
，， 当时，有；
Note：
2.函数极限的计算（掌握）
（1） 定理： ；（分段函数）
（2）型：①约公因子，有理化； 比如：，；
②重要极限；
③等价无穷小因式代换：，，
，，
型：先通分； 比如：
型：转化为无穷小； 比如：
型： 重要极限；
（3）无穷小量：无穷小无穷小=无穷小；无穷小有界量=无穷小
比如：
（4）函数极限与无穷小的关系： （抽象函数）
（5）微分中值定理：； 比如：（第3章）
（6）罗必达法则： 比如： （第3章）
3. 数列极限的计算：
夹逼原则：
积分定义： ；；.（第五章）
三、连续
1. 函数在点处连续：.
一切初等函数在其定义域都是连续的.
2. 闭区间上函数连续的性质：
最大最小值定理：若在上连续，则在上一定有最大、最小值.
零点定理：设，且，
至少有一点，使得
介值定理：设，且，
则对之间的任意常数，至少有一点，使得.
四、间断点
1．第一类间断点： 、存在
若，则称为可去间断点；
若，则称为跳跃间断点；
2.第二类间断点： 、至少一个不存在
若其中一个趋向，则称为无穷间断点；
若其中一个为振荡，则称为振荡间断点；
第二章 导数与微分（小结）
一、导数的概念
1.
Note：①该定义主要用于相关定理的分析与证明；
②导函数求导公式：.
2. 分段函数在分段点处可导性判别：
定理：在处可导在处即左可导，又右可导
, .
3. 导数的几何意义：切线斜率，即
当时，曲线在点处的切线、法线方程为：
切线方程：；法线方程：
二、导数的运算
1. 四则运算：；；
；
2. 反函数求导：，互为反函数，则
3. 复合函数求导：，则 .
4. 隐函数求导： 两边关于求导，把看成是的函数.
5. 参数方程：则
三、微分
1. 微分的概念：若有成立，记作：
Note：,；
2. 微分在近似计算中的应用
（1）近似计算 .
第三章 微分中值定理及导数的应用
一、微分中值定理
1、罗尔(Rolle)中值定理： 内至少存在一点，使得 .
Note：① 证明导函数根的存在性. ② 证明原函数根的唯一性.
2、拉格朗日中值定理：在内至少存在一点,使得 .
Note：① 把用做代换，求极限.
② 由建立不等式，用于证明不等式.
3、柯西中值定理：在内至少存在一点,使得：
Note：用于说明洛必达法则.
二、洛必达法则
（1）可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用.
（2）若，不为分式，可通过令：，创造分式.
比如：

三、函数图形的描绘
（1）写定义域，研究的奇偶性、周期性；
（2）求，；
（3）令可疑极值点，可疑拐点；
（4）补充个别特殊点，求渐近线：，；
（5）列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点； （6）画图

五、最值的计算:
（1）求在内的可疑极值点：
（2）最大值：
特别的，
（1）在上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.
（2）在上单调时，最值必在端点处达到.
（3）对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .

第四章 不定积分
一、不定积分：，
Note： ①为积分常数不可丢！
②
③；.
④几个常用的公式
，
， ，

二、 换元积分法：
1..
Note：①常见凑微分：

②适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：，若被积函数多于两个，比如：，要分成两类；
③一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成；
④若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；
2.
Note：常见代换类型:
， ，
， ，
， ，
三、分部积分法： .
Note：①按“ 反对幂指三” 的顺序，谁在前谁为
②要比容易计算；
③适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
，（）；
④多次使用分部积分法：

三、 有理函数的积分
1. 假分式= 多项式 + 真分式；
2. 真分式= （拆成）若干部分分式之和；
Note：拆项步骤：①将分母分解：
②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：

3. 逐项积分.

注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！
第五章 定积分
一、 定积分的概念及性质
1.定义：，其中；
2．几何意义：——曲边梯形面积
——曲边梯形面积的负值
3.性质：
（1） ,;
（2）
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6）若在上，则;
（7） 设，则;
（8）积分中值定理：，.
4. 变上限函数：
Note：；

5.牛顿—莱布尼茨公式：.
二、 定积分的计算
1. 换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限；
2. 分部积分：；
3. 若为奇函数，则；
若为偶函数，则.
4. 广义积分：
三、 定积分的应用
1. 平面图形的面积
直角坐标：
推广：
极坐标：
2.曲线的弧长
（1），
（2），
（3），
3. 已知平行截面面积函数为的立体体积：
Note：特别的，当立体为曲线绕坐标轴形成的旋转体时，
①绕轴：
②绕轴：

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