图形的相似知识点总结和练习.doc

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相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD＝m：n
例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。

2.比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。

（2）比例性质
1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）
2.反比性质： (把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果，那么．
注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

例：已知

5.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）
．
知识点二：平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：
∵AD//BE//CF,
∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF

2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

（1） 是“A”字型
（2） 是“8”字型
经常考，关键在于找

几何语言：由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。

知识点三：相似形多边形
1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。
（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）
4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。
例1：下列判断正确的是（ ）
A.两个矩形一定相似 。 B.两个平行四边形一定相似。
C.两个正方形一定相似。 D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？

知识点四：黄金分割
(1) 定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
所以：≈0.618。
例：已知线段AB=10cm,点C是AB的 黄金分割点，且AC＞BC ，求AC和BC的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.
作法：①过点B作BD⊥AB，使BD=12AB；
②连结AD，在DA上截取DE=DB；

③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
　.

（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。
（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于5-12
例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．
(1)求证：AD2=CD·AC；
(2)若AC=a，求AD．

知识点五：相似三角形
1、 相似三角形
（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。
（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三角形相似的判定定理：
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)

几何语言：在△ABC和△DEF中
如果<A=<D,<B=<E，那么△ABC∽△DEF

判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF F中
如果<A=<D,且ABDE=ACDF，那么△ABC∽△DEF

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF中
如果ABDE=ACDF=BCEF，那么△ABC∽△DEF
例1：如图，（1）若________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝________，则△ABC∽△AEF。

直角三角形相似判定定理:　.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
　.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
3.补充：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD²=AD·BD，
AC²=AD·AB，
BC²=BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

(1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；
(2)求证：CD2=AD·AD；
(3)求证：AC·BC=AB·CD．

4.相似图形中常见的基本图形：

5.相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。
例1：已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，ACDF=35，EG=10cm，求BD的长。

例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。

例3：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48
求S⊿ADE

相似的应用：位似
（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
（2）性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。
②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。
③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。
④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形 上）
（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）
（3）确定位似比
（4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。
坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k∣。
例1：下列说法中正确的有（ ）
（1）位似多边形一定是相似多边形。
（2）相似多边形一定是位似多边形
（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个多边形的面积之比为4︰9。
（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。

例2：若△ABC与△DEF关于点O位似，其位似比是1:2，AO=5，则对应点A、Ｄ之间的距离是 。

例3：在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩短后得到线段A1B1，则A1B1，的长度等于 。

历年中考试题练习
一、选择题
1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）
A.60° B.70° C.80° D.120°

B
A
C
D
E
A
B
C
D
O
图1

2、如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ）
A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 :

3、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．

第3题图 第4题图
4、如上图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （　　）
A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
5、如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（ ）
A．5 B．4
第5题

A

B

C

D

E

A
C．3 D．2

6、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54

7、如图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于
D,设BP=x,则PD+PE=（ ）
A. B. C. D.

8、 如图，在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、

E
H
F
G
C
B
A

9、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
（第10题）
A．
B．
C．
D．

二、填空题
1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，．
第3题图
2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．

3、如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ；
并写出它的面积比 .

4、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为　　 　 　．

5、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=

第9题图图

9、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．

11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为__ ____米．

三、解答题
1、如图，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.

2、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）；
（2）

3、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．

A
B
C
D
E
P
O
R
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求．

4、如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。
⑴求证：△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

5、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证： ADE∽BEF；
（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．

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