高一数学必修五基本不等式.pptx

3.43.4基本不等式基本不等式:基基本本不不等等式式的的几几何何背背景景EFGHCADBbaABCDOab重要不等式：重要不等式：一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，我，我们有们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。如何证明如何证明?基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释：半径不小于半弦半径不小于半弦ABEDCab 深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本 质质剖析公式应用剖析公式应用 深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本 质质算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何平均几何平均数数.基本不等式可以叙述为基本不等式可以叙述为:注意注意：（：（1）不等式使用的条件不同；）不等式使用的条件不同；（2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号；均值不等式均值不等式例1、(1)当x0时，当且仅当x=时取等号。21两个正数积为定值两个正数积为定值P P，和有最小值，和有最小值 。63例例题题讲讲解解你还有其他的解法吗？你还有其他的解法吗？两个正数的和为定值，积有最大值。两个正数的和为定值，积有最大值。利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值令令xy=z,则则 Z=-x2+18x，公式变形：1、已知 则x y 的最大值是 ，此时x=,y=。2基基础础练练习习最值定理：最值定理：若若x、y皆为正数，则皆为正数，则（1）当）当x+y的值是常数的值是常数S时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，xy有最有最 大值大值_；（2）当）当xy的值是常数的值是常数P时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，x+y有最有最 小值小值_.注意：注意：各项皆为正数；各项皆为正数；和为定值或积为定值；和为定值或积为定值；注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和和定定积积最最大大，积积定定和和最最小小注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定构造积为定值构造积为定值解解：x1 x10 x （x1）1 已知已知x1，求，求x 的最小值以及取得的最小值以及取得最小值时最小值时x的值。的值。当且仅当x1 时取“”号。于是x2或x0（舍去）例例凑项法凑项法即即x=x=时时 y ymaxmax=0 0 x x，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=3x3x（1-3x1-3x）当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 解：解：构造和为定值构造和为定值例例凑系数凑系数 小结评价 你会了你会了吗？吗？1、本节主要学习了基本不等式的证明与本节主要学习了基本不等式的证明与初步应用。初步应用。巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2、注意公式的正用、逆用、变形使用、注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3、牢记公式特征、牢记公式特征一一“正正”、二、二“定定”、三、三“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。（1）一正一正：各项均为正数。：各项均为正数。（2）二定二定：两个正数积为定值，和有最小值。：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误。，否则会出现错误。小结：运用小结：运用 时要注意下面三条：时要注意下面三条：1、求函数求函数 的最小值的最小值.【基础训练基础训练3】2 2、求函数、求函数f(x)=xf(x)=x2 2(4-x(4-x2 2)(0 x2)(0 x2)的最大值是多的最大值是多少？少？例例1：(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短最短的篱笆是最短最短的篱笆是40m.结论结论1.两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值例例1：(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2=18/2=9得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2结论结论2.两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值例例1：(3)有有人人出出了了个个主主意意，让让花花圃圃的的一一面面靠靠墙墙，利利用用墙墙壁壁作作为为花花圃圃的的一一边边，可可以以省省一一部部分分材材料料，请请发发挥挥你你的的聪聪明明才才智智，用用这这36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和宽各为多少时，菜园的面和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则则 x+2 y=36矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为S=xy m2当且仅当当且仅当x=2y,即即x=18，y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是,162m2一一正正 、二二定定 、三三等等两个不等式：两个不等式：得：得：几种利用基本不等式求最值的技巧几种利用基本不等式求最值的技巧:2.凑系数凑系数1.凑项凑项3.分离分离4.“1”的妙用的妙用小结：小结：练习练习练习练习