钢筋混凝土矩形梁正截面优化设计.pdf

设计与施工 水利规划与设计 2 0 1 1 年第 4期 钢筋混凝土矩形梁正截面优化设计 龙 华 ( 云南省昭通市水利水 电勘测设计院 云南昭通 6 5 7 0 0 0 ) 【 摘 要】 本文 以钢筋混凝土单筋矩形梁正 截面计算 满足强度 条件为例 ，应用 拉格朗 日乘 数法 ，进行 了钢筋混 凝土矩形梁 正截 面优化设计 。 【 关键词】 钢筋混凝土矩形梁强度条件 目标函数约束条件 【 中图分类号】TU3 2 3 3 【 文献标识码】 B 【 文章编号】 1 6 7 2 2 4 6 9( 2 0 1 1 )0 4 0 0 5 8 0 2 DOI 编 码 】 1 0 3 9 6 9 j i s s n 1 6 7 2 2 4 6 9 2 0 1 1 0 4 0 2 1 1 引言 对结构的设计 ，设计者在实际工程 中往往用传 统的方法设计 ，大多是按照工程任务 ，凭借经验或 参考已有的设计 ，事先拟定好构件截面尺寸和材料 的强度指标等 ，然后进行结构强度、裂缝 、变形验 算 。这样的设计能满足安全和正常使用 的要求 。但 其设计并非都是经济合理的。优化设计 的任务是从 众多设计方案中寻求最为经济合理的设计方案 。本 文以钢筋砼单筋矩形梁正截面计算满足强度条件为 例 ，讨论了截面优化设计 的一种方法 。 2 设计变量 一 般 结构 的设 计方 案 由若干 个参 数来 描述 ，这 些参数包含截面参数、结构总体布置的几何参数以 及反映材料特性 的参数等。这些参数可区分预定参 数或设计变量 。在钢筋混凝土结构设计中，一般结 构布置和材料特性等参数都已给定 ，而往往是把截 面有效 高 度 和 钢 筋 用 量 作 为 优 化 设 计 中 的 设 计 变 量 ，即 z ， 。 可 写成 X一 ， ， ， 这样 就构 成 了一个 2 二维空间 ，从而使优化设计问题相应简单 。 3 目标函数 目标 函数是设计变量 的函数 ，可记 为 F( z )。 优化的过程就是找这个 函数 的极小( 或极 大)值 。 从众多的设计方案 中选 出最优方案 ，目标 函数是用 来衡量设计优劣的重要标准。在钢筋混凝土梁结构 5 8 优 化设 计 中 ，是 以结构造 价最 优作 为 目标 ，通 常取 结构的造价为 目标函数 ，目标 函数可写成 ： F ) 一 A L r c C c +A s L G( 1 ) 式中：A 梁截面尺寸 ； L 梁 长 ； r c 混 凝土 的容 重 ； C 混 凝 土 的单 价 ； A 钢筋 截 面面积 ； 钢筋的容重； C 钢筋 的单价 。 4 约束条件 约束条件是结构设计 中必须满足的限制条件 ， 如强度 、裂缝 、剐 度等 约束 条件 ，以及规 范 中的有 关规定 ，包括梁内钢筋的直径、最小 、最大配筋率 等。这些约束条件可表示为 ： g i ( z) 0 ，( 一1 、2 、 、 ) ( 2 ) 结构的优化设计可简述为在给定预定参数的情 况下 寻求 设计 变量 X一 z ) ( =1 、2 、 、 ) 满足 诸约束条件 g j 0 ( 一1 、2 、 ) ，求 出目标函 数 F( z )为最小或最大时的设计点。 5 优化分析 应用拉格朗日乘数法 ，把带约束 的优化问题转 化为无条件极值问题 ，其数学模型可抽象为求 个 设计变量 z 1 、 2 、 、X ，使 目标函数 F ( x 、 z 、 作者简介 ：龙华 ( 1 9 7 2年一)男 ，高级工程师 。 设计与施工 水利规划与设计 2 0 1 1 年第 4期 、z ) 最小，其约束条件为： 毋( 1 、 2 、 、 )一 0，( _ 一 1 、2 、m) 用 一 常 数 ： ( 一 1 、2 、 、m)乘 函 数 1U g J ( 1 、z 2 、z ) 一0与 函数 F( x l 、X z 、， z )相加得相应拉格 朗日函数 ： Zf+ 0 3 J g ( 3 ) 此函数具有无条件极值的必要条件为 ： j Z ：= = 0 ( 一1 、 2 、 、 ) 1 J z L( 4 ) j 叫 z J一 目 (z ) = 0 ：= l 、 2 、 、 J 将 ( 4 )式所得方程组求解 ，可 以得 出 + m 个 未 知 数 ， 、 z z 、 ， z 和 击、去、 、 1 ，则 x 、 。 、 ， 就是 最优解 。 6 算例 以钢筋混凝 土单筋 矩形梁正截面强度计算为 例 ，进行优化设计 。优化设计 中以钢筋面积 A 和 结构有效高度 h 。为设计变量 ，以梁 的造价为 目标 函数 f ( A ，h 。 ) ，正截 面 的强 度条 件 为约束 约 束条 件 g ( A ，h 。 ) ： = = O 。 以单 位 梁长 的造 价为 目标 函数 。 即 ： ， ( A ， ) 一 C , r +C ， c 6 ( +口 ) ( 5 ) 强度约束条件 g ( As ，h 0 )=0在正截面强度 计算 中有 以下两式 ： M 一 。 一 专 l ( 6 ) b xA s 式中：M 弯矩设计值 ； 厂 钢筋抗拉强度设计值； A 受拉区纵向钢筋截面面积； b 结构矩形截面宽度 ； h 。 结 构截 面有 效 高度 ； 结构 混凝 土受 压 区计算 高度 ； 混凝土轴心抗压强度设计值 。 ( 6 )式整理后可写成 ： 一 一 M =。 ( 7 ) 应用 拉 格 朗 日乘数 法 ，用 一 常 数 乘 函数 g ( A ，h 。 ) 一0与 目标 函数 f ( A ，h 。 )相加 得 相 应 的拉 格 朗 日函数 。 Z= A C r + b ( h o+ 口 ) er + 叫 ( A h o一 一 M) 2 6 厂 式 中 ： a一 o ( 8 )式具 有无 条件 极值 的必 要条 件为 ： ( 8 ) 爰一 。 舞_ o 一 g ( 一 o I w J 由 ( 8 )式求 偏导 后得 ： 差 一 。 。 一 甏 一 。 1 + 6 ) + 一 。 ，l0 I = g ， = 。 A 。 一 一 M 一 。 J U f 1 ( 1 O ) 由 ( 1 0 )式三个方程联立求解并引入 ： A bh o 可得钢筋混凝土单筋矩形梁最优配筋率 ： 。 一 + 乒 一 ( 1 1 ) 慨一 L 十 以代 入 ( 1 0 ) 式整理 得 钢筋混 凝 土单筋 矩形 梁 最 优 有 效 高 ( 1 2 ) 由以上计算 的最优配筋率和最优有效高度可计 算 出最优钢筋截面积。 A ： o b h o 也 可 以从 ( 1 0 )式直 接解 出钢 筋混凝 土 单筋矩 形梁最优钢筋截面积。 ( 1 3 ) 7 结束 语 钢 筋混 凝土 设 计 ，在 满 足 强 度 和构 造 条 件 下 ， 可有多种截面尺寸和钢筋截面积的组合 ，而优化设 计是在众多的设计方案中求出最为经济的截面尺寸 和钢筋截面积，使设计既满足强度和构造要求又最 为经济合理的设计方案 。 笔者在实际设计中，用本文推导的公式进行计 算 ，再加之设计算机辅助设计的普遍应用，使优化 设计的计算较为方便 。笔者愿在此提出来与同行们 共同探讨 ，以兹共享 。 5 9