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一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵

9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵

1.杆端内力与位移关系回顾
（轴向）；
；（弯曲）；

2.公式推导（图1）
图1
杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。
（1）
（2）
列成矩阵形式：
（3）
即： （4）
局部坐标系下单元刚度矩阵：
（5）

9.4 梁单元

1.简支梁
简支梁单元见图1。
图1
说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零的相应行和列。

即：单元刚度方程： 单元刚度矩阵：
（1）  
2.悬臂梁等
    思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)
图2
图a：     图b：
3.桁架
仅有轴向位移

9.5 单元刚度系数的物理意义

1.单元刚度系数的意义
     一般地，第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。
例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。
对称性
（反力互等定理）
3.奇异性（，不存在逆矩阵）
    根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。
   说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。

9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义

1.问题的提出
单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）
图1
分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；
（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。
同理：
2.公式推导
矩阵形式：
（1） 同理：（2）

其中：为单位坐标转换矩阵。
3.［T］的特性
正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。
α＝0时，（单位矩阵）。

9.7 整体坐标系单元刚度矩阵

1.整体坐标系中的单元刚度矩阵
两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：
单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。
2.实例
    例10-1：图1结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。

图1

分析：→求［T］→求α→依据图形。
解：（1）单元1：α＝0， （2）单元2：α＝90
；

（3）单元2：α＝120
；

   注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图2的求解。

图2

9.8 位移法建立整体刚度矩阵
1. 回顾
（1）连续梁的特点：并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。
（2）两端固定的梁，在近端有一转角θ，相应产生杆端弯矩：4iθ（近端）和2iθ（远端）。
2. 公式推导
图1两跨连续梁。
图1
结点力与结点力偶的关系见表1。
表1
位移
结点力偶
M1
M2
M3
θ1
4i1θ1
2i1θ1
0
θ2
2i1θ2
（4i1+4i2）θ2
2i2θ2
θ3
0
2i2θ3
4i2θ3
矩阵形式：
记为：――整体刚度方程
其中：――整体刚度矩阵
注意：红、绿框中分别是单元（1）和（2）的单元刚度矩阵。
3.单元集成法的概念
基本思路：考虑单元独立贡献，再叠加。如图1。
图1
基本过程：局部单元刚度矩阵→单元贡献矩阵→整体单元刚度矩阵
；

4.单元定位向量的概念
总码（整体分析）：结点位移在结构中统一编码，如1，2等；
局部编码（单元分析）：单元结点位移，如（1），（2）等。
单元定位向量（λ）：单元结点位移的总码组成的向量。
具体见图2和表1。

图2
表10-1
单元
局部码→总码
单元定位向量（λ）
①
（1）→1
（2）→2

②
（1）→2
（2）→3

任意单元
（i）→r
（j）→s

5.实例分析
求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。

图10-11
分析：固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为n×n阶。
解：见表10-3
单元
单元刚度矩阵
定位向量
单元贡献矩阵
整体刚度矩阵
①

②

③

6.整体刚度矩阵的性质
Kij――第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。
［K］是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。

9.9  刚架整体刚度矩阵刚结点
1．问题的引出
（a）连续梁建立方法：单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。
（b）刚架与连续梁的区别：考虑轴向变形（有水平竖向位移）。
（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。
2．建立过程：编码→单元定位向量→单元集成
编码原则：
已知位移分量为零的，总码为零；
位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：水平位移→竖向位移→转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。一般结点顺序可按：刚结点→支座；左→右；上→下。
注意处理支座情况和刚结点。见图1。
图1
实例分析：图1中a）和b）的单元单位向量见表1，整体刚度矩阵的集成过程见表2a和b。 表1

表10-5（图a）

表10-5（图b）

与刚性结点的区别
铰结点（两杆相交）编号有4个，两个线位移（水平和竖向）和两个铰位移，即两杆的线位移编号相同，角位移编号不同。如图1。
图1
应用实例分析
图2中a）、b）和c）整体刚度矩阵的集成过程见表1a、b和c。
图2
分析：图a和图b的区别在于支座变化；图c特殊：杆①为链杆，仅有轴向变形（1和4）。
表1（图a）

表1（图b）

表1（图c）