圆锥曲线知识点总结.doc

高中数学椭圆的知识总结
1.椭圆的定义：
平面内一个动点P到两个定点的距离之和等于常数（），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若，则动点P的轨迹为线段；若，则动点P的轨迹无图形.
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
2. 椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2； ④离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥
（2）.点与椭圆的位置关系：①点在椭圆外；
②点在椭圆上＝1；③点在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______；
4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）
5.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。
6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；
（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称；
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
椭圆知识点的应用
1.如何确定椭圆的标准方程？　　
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义
　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。
可借助右图理解记忆： 　 　
恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程是表示椭圆的条件
方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。
显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。
题型1:椭圆定义的运用
例1.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则______.
例2.如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
例3.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
题型2： 求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1) 经过两点；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点；
(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4.
题型3:求椭圆的离心率
例1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为 .
例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例1.已知实数满足,则的范围为
例2.已知点是椭圆（）上两点,且,则=
题型5：焦点三角形问题
例1.已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值.
例2.已知为椭圆C:的两个焦点，在C上满足的点的个数为 .
例3.已知椭圆的焦点是,且离心率 ① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且,求cos.

题型6: 三角代换的应用
例1.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
例2.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
题型7：直线与椭圆的位置关系的判断
例1.当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？
例2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围；
题型8：弦长问题
例1.求直线被椭圆所截得的弦长.
例2.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；
题型9：中点弦问题
例1. 求以椭圆内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例2.中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．
例3.椭圆与直线 相交于A、B两点，点C 是AB的中点．若 ，OC的斜率为 （O为原点），求椭圆的方程．
巩固训练
1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为
2.设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
4. 若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为
5.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
双曲线
基本知识点
双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率

渐近线
方程

共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线和双曲线的位置
双曲线与直线的位置关系：
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长

补充知识点：
等轴双曲线的主要性质有：
（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；
（2）其标准方程为，其中；
（3）离心率；
（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；
例题分析：
例1、动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
例2、已知双曲线的离心率为，则的范围为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
同步练习二:双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　　　　．
例3、设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为　　　　　．
同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为　　　　。
例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1
同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例5、与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
同步练习五:以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为_________.
例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
(A)
同步练习六:双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0，3)，那么k的值是
例7、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，
（1）求|AB|.
（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长．
同步练习七过点（0，3）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。
高考真题分析
1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

2.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
(A) 　(B) 　　(C)　　(D)
3.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则
（A） （B） （C） （D）
4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ．
抛物线
抛
物
线

x
y
O
l
F

x
y
O
l
F

l
F
x
y
O

x
y
O
l
F

定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围

对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点

离心率
=1
准线
方程

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离

焦点到准线的距离

焦半径

焦 点弦 长

焦点弦的几条性质
o
x

F
y

以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，则
若的倾斜角为，则

切线
方程

1、直线与抛物线的位置关系
　　直线，抛物线，　由　，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
1、 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线： 抛物线，
联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
(1) 相交弦AB的弦长

或
（2）. 中点, ，
点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得

（1）在涉及斜率问题时，
（2）在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
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