数列填空题专项训练(一).pdf

江苏东台唐洋中学江苏东台唐洋中学数列数列填空题专项训练（一）填空题专项训练（一）1数列 1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，1，1，n，的第 2011 项为_2将正偶数按如图所示的规律排列：第 n（n4）行从左向右的第 4 个数为_3数列，的一个通项公式为_4已知数列an中，an=（1）n+1（nN*），则 a4=_5写出数列，的一个通项公式_6数列an中 a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，则 a5=_7数列，中，有序数对（a，b）可以是_8数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，的第 1000 项是_9某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列 1，2，5，10，17，的通项公式为_1111111234561357911147101316159131721161116212610图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为_数列填空题专项训练(一)2/1511正整数按下表排列：1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列an，则 a7=_；通项公式 an=_12某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列 1，2，5，10，17，的通项公式为_13（2012江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为（n2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，则第 10 行第4 个数（从左往右数）为_14已知 an=n2+n，且 an+1an对一切正整数 n 恒成立，则 的取值范围_15已知数列an的通项公式为 an=n2+n+2011（其中，为实常数），且仅有第 4 项是最小项，则实数 的取值范围为_16已知数列an的前 n 项和 Sn=2n+3，则 an=_17Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a10 且 S19=0，则当 Sn取得最大值时的 n=_数列填空题专项训练(一)3/1518已知函数对于满足 a+b=1 的实数 a，b 都有根据以上信息以及等差数列前 n 项和公式的推导方法计算：=_19已知数列an中，an=n2+n，且 an是递增数列，求实数 的取值范围_20（2010浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是_第 1 列第 2 列第 3 列第 1 行123第 2 行246第 3 行36921如表给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数第三列前 n 项和为 _；数阵中数 100 共出现 _次22一同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的的个数是 _23做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在 A、B、C、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 100 的样本，若在 B 单位抽取 20 份问卷，则在 D 单位抽取的问卷份数是_份24（2006重庆）在数列an中，若 a1=1，an+1=an+2（n1），则该数列的通项 an=_25数列an中，是等差数列，则 a11=_26已知等差数列an的首项为 1，公差为 2，则通项公式 an=_27在等差数列an中，若 a3+a4+a5=12，a6=2，则 a2+a3=_28已知数列中，a1=5，a8=19，an=pn+q（p，q 为常数）（nN*），则 a5=_数列填空题专项训练(一)4/15江苏东台唐洋中学江苏东台唐洋中学数列数列填空题专项训练（一）填空题专项训练（一）参考答案与试题解析参考答案与试题解析1数列 1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，1，1，n，的第 2011 项为1考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：规律型。分析：观察数列的特点可知，数列的第 1 个数为：1，第 1+2 个数为：2，第 1+2+3 数为：3，第 1+2+3+n 个数为 n，其余的数都为 1而第 2011 项介于当 n=62 与当 n=63 之间，照此规律：第 2011 项为 1解答：解：数列的第 1 个数为：1，第 1+2 个数为：2，第 1+2+3 数为：3，第 1+2+3+n 个数为：n，其余的数都为 1当 n=62 时，1+2+3+n=1953；当 n=63 时，1+2+3+n=2016；照此规律：第 2011 项为 1故答案为：1点评：本题考查数列的概念及简单表示法、数列的求和公式，解题时要认真审题，仔细解答2将正偶数按如图所示的规律排列：第 n（n4）行从左向右的第 4 个数为n2n+8考点：数列的概念及简单表示法。1021054分析：可以观察每行的最后一个数 21，2（1+2），2（1+2+3），看出它们的结构特点，第 n 行最后一个数是2（1+2+3+n），算出，再写出上一行最后一个数，向后再数四个得到结果解答：解：由每一行的最后一数知：21，2（1+2），2（1+2+3），得第 n1（n4）行的最后一个数为，第 n（n4）行从左向右的第 4 个数为 n2n+8故答案为：n2n+8点评：应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决3数列，的一个通项公式为考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：探究型。数列填空题专项训练(一)5/15分析：观察各项，发现分子上的数正好是项数的平方，分母上的数是项数与项数加 1 的乘积，且项的符号正负交叉出现，由此易得其通项公式解答：解：观察各项知，其通项公式可以为，验证知，符合前几项故答案为：点评：本题考查数列的概念及简单表示法，求解的关键是由前几项归纳出规律，即各项与相应项数的对应关系，写出通项4已知数列an中，an=（1）n+1（nN*），则 a4=2考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：计算题。分析：题设条件中已经给出了数列的项的表达式，故令 n=4 即可求出 a4的值解答：解：数列an中，an=（1）n+1（nN*），a4（1）4+1=1+1=2故答案为 2点评：本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是理解函数表示的意义，即项与序号的对应关系，从而利用此表达式求出项5写出数列，的一个通项公式an=考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：探究型。分析：先观察数据分子分母可以分开来看，分子是 1，3，5，7 得奇数可用 2n1 替代，分母则为为偶数的平方，且每各一项符号发生改变，写出通项即可解答：解：分别观察各项分子与分母的规律，分子为奇数列2n1；分母为偶数的平方，且每各一项符号发生改变故所求通项公式为 an=故答案为：an=点评：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，考查的是学生对数据的观察归纳能力，需要注意其和常见数据的联系6数列an中 a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，则 a5=29考点：数列的概念及简单表示法；数列递推式。1021054专题：计算题；转化思想。分析：由题中的递推公式可以求出数列的各项，得出正确结果解答：解：数列an中 a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，a3=2a2+a1=5，a4=2a3+a2=12，a5=2a4+a3=29；故答案为：29点评：本题通过递推数列求出数列的项，由归纳，猜想，找出规律，从而得出结果，一般不用证明数列填空题专项训练(一)6/157数列，中，有序数对（a，b）可以是（，）考点：数列的概念及简单表示法。1021054分析：遇到这样的数列问题，观察数列中项的结构特点，若是分数，要观察分子和分母之间的关系，分子和分母同项数之间的关系，得到各项具有的公共的特点解答：解：观察数列的特点发现分母上的数字比分子上的被开方数小 2，从上面的规律可以看出，解上式得故答案为：（，）点评：本题可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力，通过本题的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力8数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，的第 1000 项是45考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：常规题型。分析：由题意可知，此数列由一个 1，两个 2，3 个 3组成，欲求第 1000 项，需求自然数列前 n 项和不大于1000 时的最大 n 值，再列举出第 1000 项解答：解：因为 1+2+3+n=n（n+1）/2，由 n（n+1）/21000 得 n 的最大值为 44，即最后一个 44 是数列的第990 项，而 45 共有 45 项，所以，第 1000 项应为 45，故答案为 45点评：本题考查数列定义，解题时要注意观察，发现规律，利用等差数列知识解答9某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列 1，2，5，10，17，的通项公式为an=n22n+211111112345613579111471013161591317211611162126考点：数列的概念及简单表示法。1021054专题：计算题。分析：观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，第二项比第一项大 1，第三相比第二项大 3，第四相比第三项大 5，第五相比第四项大 7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为 2 的等差数列，用叠加法求出结果解答：解：a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，数列填空题专项训练(一)7/15，anan1=2（n1）1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+（2n3）+1=+1=（n1）2+1=n22n+2故答案为：an=n22n+2点评：在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力10图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理。1021054专题：计算题。分析：先根据图形求出前后两图的递推关系，然后利用叠加法进行求解，再利用等比数例，求出数列的通项公式解答：解：根据图形可知 a1=1，an+1an=3n当 n2 时an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+3+32+3n1=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和，数列中的叠加法求通项，以及识图能力和运算推理能力11正整数按下表排列：1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列an，则 a7=43；通项公式 an=n2n+1数列填空题专项训练(一)8/15考点：数列的概念及简单表示法。1021054分析：观察数阵的结构特点，位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列an，它的第二项比第一项大二，第三项比第二项大四，第四项比第三项大六，发现数列每一项与它前一项的差组成等差数列，求出结果解答：解：a2a1=2，a3a2=4，a4a3=6anan1=2（n1）把上式叠加得到：an=2+4+6+2（n1）+a1=n2n+1，故答案为：43，n2n+1点评：本题是一道综合题，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题 12某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列 1，2，5，10，17，的通项公式为（n1）2考点：数列的概念及简单表示法。1021054分析：观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，第二项比第一项大 1，第三相比第二项大 3，第四相比第三项大 5，第五相比第四项大 7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为 2 的等差数列，用叠加法求出结果解答：解：a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1）1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+（2n3）=（n1）2故答案为：（n1）2点评：在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力13（2012江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为（n2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，则第 10 行第4 个数（从左往右数）为数列填空题专项训练(一)9/15考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第 8，9，10 三行的第 2 个数，再求出 9，10 两行的第 3个数，求出第 10 行的第 4 个数解答：解：设第 n 行第 m 个数为 a（n，m），据题意知 a（7，1）=，a（8，1）=，a（9，1）=，a（10，1）=a（10，2）=a（9，1）a（10，1）=，a（8，2）=a（7，1）a（8，1）=，a（9，2）=a（8，1）a（9，1）=，a（10，3）=a（9，2）a（10，2）=，a（9，3）=a（8，2）a（9，2）=，a（10，4）=a（9，3）a（10，3）=，故答案为 点评：本题考查通过观察归纳出各数的关系，考差了学生的观察能力和计算能力，属于中档题，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题14已知 an=n2+n，且 an+1an对一切正整数 n 恒成立，则 的取值范围3考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：本题中数列的通项公式是一个关于 n 的二次的形式，故可以借助二次函数的性质来研究其单调性，得到参数的取值范围解答：解：an=n2+n，且 an+1an对一切正整数 n 恒成立数列是一个单调递增的数列，故 f（x）=x2+x 在（1，+）上是一个增函数由于数列是一个离散的函数，故可令 得 3故 的取值范围是 3点评：本题借助二次函数的性质来研究数列的单调性，要注意数列是一个离散函数这一特征，避免出错15已知数列an的通项公式为 an=n2+n+2011（其中，为实常数），且仅有第 4 项是最小项，则实数 的取值范围为（9，7）考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。数列填空题专项训练(一)10/15分析：由题意仅有第 4 项是最小项，知，由此可求出实数 的取值范围解答：解：由题意知即：，解得（9，7）则实数 的取值范围为（9，7），故答案为：（9，7）点评：本题考查数列的基本知识、数列与不等式的综合，难度不大，计算时要细心求解16已知数列an的前 n 项和 Sn=2n+3，则 an=考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：利用 n2 时，an=SnSn1，再验证 n=1 时的结论，即可得到数列的通项解答：解：n2 时，an=SnSn1=（2n+3）（2n1+3）=2n1，n=1 时，a1=S1=21+3=5，an=故答案为：点评：本题考查数列的通项，解题的关键是利用 n2 时，an=SnSn1，属于基础题17Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a10 且 S19=0，则当 Sn取得最大值时的 n=9 或 10考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：先由题设条件求出 a1=9d，然后用配方法进行求解解答：解：S19=0，a1=9d，=n=9 或 10 时，Sn取得最大值故答案为：9 或 10点评：本题的肯定是数列的函数特性，主要考查等差数列的性质和应用，解题时要注意配方法的合理运用18已知函数对于满足 a+b=1 的实数 a，b 都有根据以上信息以及等差数列前 n 项和公式的推导方法计算：=数列填空题专项训练(一)11/15考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：利用函数具有的性质，将代数式的首尾相加得到 1005 组值，再相加，最后求出 f（1）的值加上即可解答：解：因为函数对于满足 a+b=1 的实数 a，b 都有所以，相加得到=，又因为所以=故答案为点评：本题考查根据数列是特殊的函数，根据函数具有的性质，来解决数列的和问题，利用的是倒序相加法，属于基础题19已知数列an中，an=n2+n，且 an是递增数列，求实数 的取值范围（3，+）考点：数列的函数特性。1021054专题：计算题。分析：根据所给的数列的项，写出数列的第 n+1 项，根据数列是一个递增数列，把所给的两项做差，得到不等式，根据恒成立得到结果解答：解：an=n2+n，an+1=（n+1）2+（n+1）an是递增数列，（n+1）2+（n+1）n2n0即 2n+1+02n1对于任意正整数都成立，3故答案为：（3，+）点评：本题考查数列的函数的特性，本题解题的关键是防写出数列的一项，根据函数的思想，得到不等式且解出不等式数列填空题专项训练(一)12/1520（2010浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是n2+n第 1 列第 2 列第 3 列第 1 行123第 2 行246第 3 行369考点：等差数列；等差数列的通项公式。1021054专题：规律型。分析：由表格可以看出第 n 行第一列的数为 n，观察得第 n 行的公差为 n，这样可以写出各行的通项公式，本题要的是第 n 行第 n+1 列的数字，写出通项求出即可解答：解：由表格可以看出第 n 行第一列的数为 n，观察得第 n 行的公差为 n，第 n0行的通项公式为 an=n0+（n1）n0，为第 n+1 列，可得答案为 n2+n故答案为：n2+n点评：本题主要考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题这是一个考查学生观察力的问题，主要考查学生的能力21如表给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数第三列前 n 项和为 n2；数阵中数 100 共出现 6次考点：等差数列。1021054专题：综合题。分析：分析第三列的各个数字，因为此数列成等差数列，所以找出数列的首项和公式，写出数列的前 n 项和即可；设每行数列的公差为 d，首项都为 1，得到每行数列的通项公式，让其等于 100，根据 n 取正整数，利用 d 的值讨论即可得到满足题意的 n 的值，即可得到 100 出现的次数解答：解：第三列的各项为：1，3，5，7，因为此数列为等差数列，则首项 a1=1，公差 d=31=2，则前 n 项和 Sn=n+2=n2；设每行数列的公差为 d，因为首项都为 1，所以通项公式 an=1+（n2）d，当 an=100 时，得到1+（n2）d=100解得 n=+2，因为 n 为正整数，所以 d 可能等于 1，3，9，11，33，99，所以 100 出现了 6 次故答案为：n2，6数列填空题专项训练(一)13/15点评：此题考查学生会利用首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题22一同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的的个数是 14考点：等差数列；进行简单的合情推理。1021054专题：规律型。分析：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于 2，3，4，所以这就是一个等差数列根据等差数列的求和公式可以算出第 120 个圆在第 15 组，且第 120 个圆不是实心圆，所以前 120 个圆中有 14 个实心圆解答：解：将圆分组：第一组：，有 2 个圆；第二组：，有 3 个圆；第三组：，有 4 个圆；每组圆的总个数构成了一个等差数列，前 n 组圆的总个数为sn=2+3+4+（n+1）=，令 sn=120，解得 n14.1，即包含了 14 整组，即有 14 个黑圆，故答案为 14点评：解题的关键是找出图形的变化规律，构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式计算23做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在 A、B、C、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 100 的样本，若在 B 单位抽取 20 份问卷，则在 D 单位抽取的问卷份数是10份考点：等差数列；分层抽样方法。1021054专题：计算题。分析：由分层抽样的特点和等差数列的定义可知，从回收的问卷中按单位分层抽取的问卷分数也成等差数列，故本题转化成已知一个等差数列的第 2 项和前 4 项之和，求第 4 项的问题，把这四项分别设为30d，d，30+d，30+2d，列方程求解即可解答：解：在 A，B，C，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，从回收的问卷中按单位分层抽取的问卷分数也成等差数列，B 单位抽 30 份，设公差为 d，则 A，C，D 依次为 30d，30+d，30+2d共 100 份，（30d）+30+（30+d）+（30+2d）=100d=10D 单位应抽取 30+2（10）=10（份）故答案为 10 点评：本题综合考查了分层抽样的特点和等差数列的定义及通项公式，关键是这四项的设法，可以有效地简化计算24（2006重庆）在数列an中，若 a1=1，an+1=an+2（n1），则该数列的通项 an=2n1数列填空题专项训练(一)14/15考点：等差数列的通项公式。1021054专题：计算题。分析：利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项解答：解：由 an+1=an+2（n1）可得数列an为公差为 2 的等差数列，又 a1=1，所以 an=2n1故答案为 2n1点评：本题考查等差数列的定义、等差数列的通项公式25数列an中，是等差数列，则 a11=考点：等差数列的通项公式。1021054专题：计算题。分析：设数列的公差为 d，根据等差数列的性质，求出 d，在根据等差数列的性质，即可求出 a11解答：解：设数列的公差为 d数列an中，是等差数列将 a3=2，a7=1 代入得：d=a11=故答案为：点评：本题从等差数列的性质出发，避免了从首相入手的常规解法，起到简化问题的作用，属于基础题26已知等差数列an的首项为 1，公差为 2，则通项公式 an=2n1考点：等差数列的通项公式。1021054专题：计算题。分析：由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d，代入可求解答：解：由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1故答案为 2n1点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础试题27在等差数列an中，若 a3+a4+a5=12，a6=2，则 a2+a3=11考点：等差数列的通项公式。1021054专题：计算题。数列填空题专项训练(一)15/15分析：因为数列 an为等差数列且已知第 6 项的值和 a3+a4+a5=12，所以可设首项为 a1，公差为 d解答：解：有题意可设首项为 a1，公差为 d，列式如下：a2+a3=2a1+3d=11 故答案为：11点评：此题主要考查了等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式是高考常见类型并且符合平时教学中的重视基础28已知数列中，a1=5，a8=19，an=pn+q（p，q 为常数）（nN*），则 a5=13考点：等差数列的通项公式。1021054专题：计算题。分析：令 n=1，8 代入 an=pn+q 中求出 p，q 然后再令 n=5 即可求出 a5解答：解：a1=5，a8=19，an=pn+qp+q=5，8p+q=19p=2，q=3an=2n+3a5=25+3=13故答案为 13点评：本题主要考查利用等差数列的通项公式求数列的项解题的关键是要利用题中的条件求出 p，q 的值！