-圆锥曲线知识点总结与经典例题.doc

圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 点到直线的距离 夹角公式：直线 夹角为， 则（3）弦长公式直线上两点间的距离 （4）两条直线的位置关系（） =-1 （） 或者（）两平行线距离公式 距离 距离二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图形方程标准方程(0)(a0,b0)参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)准 线x=准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1焦半径P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线：（1）抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-，开口向上；抛物线=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.（2）抛物线=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离（3）设抛物线的标准方程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1PF22F1F2224，得2a4.又c1，所以b23.所以椭圆的标准方程是1. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且2a10，求椭圆的标准方程解：由椭圆定义知c1，b.椭圆的标准方程为1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知1，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为 中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得， 为所求五、求椭圆的离心率问题。例 已知椭圆的离心率，求的值 解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得当椭圆的焦点在轴上时，得由，得，即满足条件的或 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故顶点C的轨迹方程为1.又A、B、C三点构成三角形，所以y0.所以顶点C的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)2已知椭圆的标准方程是1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求ABF2的周长因为F1F28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a，所以ABF2的周长为4a4.3设F1、F2是椭圆1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF22:1，求PF1F2的面积解析：由椭圆方程，得a3，b2，c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为PF1PF2244.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得 将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析：由于，则的取值范围为，分别进行讨论解：（1）当时，所给方程表示椭圆，此时，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）（2）当时，所给方程表示双曲线，此时，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）（3），时，所给方程没有轨迹说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面三、求与双曲线有关的角度问题。例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解：点在双曲线的左支上说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积解：为双曲线上的一个点且、为焦点,在中，说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线，所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线例:是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值分析：利用双曲线的定义求解解：在双曲线中，故由是双曲线上一点，得或又，得说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或 六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的、的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆的半径为（1）与内切，点在外，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，双曲线方程为（2）与、都外切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：，所求的双曲线的方程为：（3）与外切，且与内切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，所求双曲线方程为：说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程解：（1），焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，当时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是：当时，抛物线开口向左，焦点坐标是，准线方程是：综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k解法一：设、，则由：可得：直线与抛物线相交，且，则AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）故所求直线方程为：解法二：设、，则有两式作差解：，即，故或（舍去）则所求直线方程为：三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点则有： ，即（2），底边长为，三角形高点P在x轴上，设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（1，0）或（5，0）四、与抛物线有关的最值问题例4定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为例已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_分析：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决解：如图，由定义知，故取等号时，、三点共线，点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为