数列中的奇数项和偶数项问题.doc

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1设数列{an}的首项a1=a≠，且,
记，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),
猜想：{bn}是公比为的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·

2 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（I）证明：由题设可知，，，，，
。
从而，所以，，成等比数列。
（II）解：由题设可得
所以

.
由，得 ，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。

设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I） 求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解析：（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，

（2009北京文）（本小题共13分）
设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）由题意，得，解，得. .
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.
（Ⅱ）由题意，得，
对于正整数，由，得.
根据的定义可知
当时，；当时，.
∴

.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴ 存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，. .

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有
?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立，
即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（I）当时，
又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴， …………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知

∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分

数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
解: (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
(1)当n = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，

设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
20．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．

等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．

，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

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