张禾瑞近世代数基础(复习要点·定理).doc

定理

同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21

左右逆元的统一性 P33-34
左右逆元的唯一性 P36
（由此可称为幺元而省掉“左右”）

群的两个定义的等价性 P33

群满足消去律（由逆元的存在性） P38

仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39

群的几个分类标准：
1、 有限 / 无限 ——元素个数
2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律
3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元

P35 ： 是正整数 （由结合律知其有意义）
的阶： 对群中的元，若存在最小正整数m，使得，
则m称为 的阶；否则我们称是无限阶的

P37 群中幂形式的元的运算法则：
若规定：，
则对任意整数m,n 有：，
（由结合律易得）

两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群

同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构
任何一个有限群 有一个置换群与之同构

任何一个无限循环群 与整数加群同构
任何一个有限循环群 与剩余类加群同构

子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数

群的阶： 群中元素的个数

对有限群而言： 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群的阶
（即都整除群的阶）
中任意元的阶，都整除群的阶（因为任意元可生成循环子群）

子群充要条件： P63 定理2

子群正规充要条件： P72 定理2
（首先N须得是一个子群，然后再有…）