平口单峰之我见.doc

2019.4.23
平口单峰之我见
--北京张立祥

武汉四调一出，平口单峰再现江湖，到底什么是平口单峰呢，好多老师觉得不太理解，遇到有人问题也只是甩下“平口单峰”，好像就已经解决了一样，听得问题人一脸蒙蔽，觉得自己见识太浅，不敢再问。由于这种情况的增多，小编决定把自己理解的平口单峰分享给大家（特别感谢杨岸杰老师给出的不断指导）
首先，这个名词是由重庆南开野猪（吴剑）老师提出，后被群内推广。

首先看一个题
例1、 已知函数,当时设的最大值为，则的最小值为_______
这里的我们可以理解为函数和直线的铅锤距离的最大值，由于没有限制，所以我们可以规定任意直线.
比如我们先假设直线有斜率，此时M应该为图中所标长度还是呢？应该是，因为这两个函数是同一个，所以要求横坐标相等的时候纵坐标的差最大，此时M=5;

那么我们再来看下图，此时M等于多少呢？应该是图中的长度，具体等于多少需要计算.有人可能有疑问，在的右侧有没有可能有一条直线比还长呢？其实是有可能的，这时候的计算方法应该是用直线的解析式减去抛物线的解析式再求解，但是M会大于2.

我们再来几个图来感受一下

也就是说，在斜率存在情况下，M的值总会比2大，读者可自行再多画几个体会一下.

此时我们再来体会一下当斜率为0的情况下，M的变化过程。

此时我们发现有最小值可以为2，由于没有限定，所以我们可以令，此时的最小值为2.
也就是对于两端点相等的单峰曲线，铅锤距离最大值的最小值应该在两端点连线和最低点平行的直线的中间产生.（我并没有给出证明，读者可自行百度野猪平口单峰进行参考）

到此，我们就可以试着理解平口单峰了，若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为（也就是（最大-最小））。当且仅当时取得.

现在我们可以来几个题练习一下

例2.已知函数,当时设的最大值为，则的最小值为_______
解析：可看作，和的铅锤距离的最大值，而这个最大值是不断变化的，在变化中，我们需要求出它的最小值.

此时我们发现最小值应该是两条直线铅锤距离的一半，即在图中两直线的中间直线产生，此时.

例3.设函数，若，总,使得成立，则实数的取值范围为________,

解析：存在使得，即的最大值，而的最大值又是不短变化的，在变化过程中有最小值，我们要求的就是这个最小值.
此时我们发现不是平口单峰函数，那怎么办，没关系，我们可以构造一个平口单峰函数.
令，此时，可看作和直线的铅锤距离最大值的最小值问题了。

此时我们发现最小值应该是两条直线铅锤距离的一半，即在图中两直线的中间直线产生，此时.

例4.设函数,若对任意的实数和实数,总存在使得成立，则实数的取值范围是_______

解析：还是求最大值的最小值问题，分成一条曲线和一条直线，发现在不是平口单峰，故构造平口单峰。
令，此时，可看成和铅锤距离最大值的最小值问题.
也就是只需求在上的最大值和最小值，所以，并且此时，所以。

例5、已知函数在区间内的最大值为为常数)，且存在实数使得的最小值为2，则
解析：在不是平口单峰，故构造函数，故此时，可看作与直线的铅锤距离最大值的最小值问题，此时的最大值为0，因为的最小值为2，所以最小值为，为中间直线此时所以.

至此，对于求的最大值的最小值问题，总结一下我理解的平口单峰的使用条件：
①函数在两端点的函数值相等，且为单峰函数；
②直线可自由移动，不受限制；

另外，如果把进行旋转，变成下面这个样子，就是切比雪夫最佳逼近定理，
中间的直线就是最佳逼近直线，最大值的最小值就是上下两直线铅锤距离的一半

以上仅是我个人的理解，如有不到位的地方，欢迎大家批评指正.
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