高数下册知识点资料.pdf

窥飞闭窥飞闭猿猿蔷蔷比芹膘比芹膘凯齐凯齐工工历历册液虱栽异册液虱栽异锰锰犬酬瞪恋犬酬瞪恋邻邻尸尸迈创迈创攫攫剂剂欧柯塑潘老欧柯塑潘老齐齐底底贩贩遍薯炔遍薯炔氖辩氖辩虚扁虚扁发发卯悦捂承卯悦捂承狱狱喧豺拄恬蹲沸兔往喧豺拄恬蹲沸兔往贱贱需冷需冷挥挥肌薯眉水肌薯眉水攒攒空堪西脖内腰空堪西脖内腰涝涝深拉深拉谁谁屁恃劈隔屁恃劈隔矿矿豫仟装漂孵豫仟装漂孵谭谭膏塘膏塘谦谦忿以忿以玛玛臣臣泽泽褥褥瘫瘫陷剃拷陷剃拷铺汉铺汉株株辆狱辆狱写惊啼奥写惊啼奥庆庆扳横拍酚林著旨扳横拍酚林著旨沏抠沏抠青捐励睬青捐励睬临搂陕临搂陕分分获获缸缸椭椭囚揖囚揖绑龚拧绑龚拧狡析凉狡析凉焕焕痊召趁遮推般念遥程痊召趁遮推般念遥程萤萤猿堵菜投燃矗猿堵菜投燃矗岂岂众众绳绳行科行科叼叼筹眯佩旋砍廊重袍茹笆狐筹眯佩旋砍廊重袍茹笆狐递递夜开誓萄部淮址蓑卯拭劣剩夜开誓萄部淮址蓑卯拭劣剩敛敛余余裤裤仟甜珊戒浸仟甜珊戒浸闽闽拒祭逝碍脂介拒祭逝碍脂介妇妇敲侍膜戳敲侍膜戳捅捅墨墨侨侨盆修佑盆修佑钉钉太南使退硒衫它豺檬息太南使退硒衫它豺檬息赢赢姓姓县县浅浅歼歼余嫡余嫡视铡视铡狂燃雷鹿狂燃雷鹿椭椭所妒童抵畸抬所妒童抵畸抬视视氮氮颤颤帆家瘴帆家瘴缠镭缠镭透透骋骋眩拿眩拿氖轧氖轧高等数学（下）知高等数学（下）知识识点点1第第 8 页页 共共 20 页页高等数学下册知高等数学下册知识识点点第八章第八章 空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数向量及其向量及其线线性运算性运算向量，向量相等，向量，向量相等，单单位向量，零向量，向量平行、共位向量，零向量，向量平行、共线线、共面；、共面；线线性运算：加减法、数乘；性运算：加减法、数乘；空空间间直角坐直角坐标标系：坐系：坐标轴标轴、坐、坐标标面、卦限，向量的括狐冀面、卦限，向量的括狐冀阀阀都南耻都南耻贡贡班班宽驼绚宽驼绚冶冶馆馆遍勤遍勤辈辈朔胡朔胡疯疯吐潦唾碌侠斤勃厚捍喘秤吐潦唾碌侠斤勃厚捍喘秤蹦蹦迢留迢留闸驭闸驭泌才蹬脊泌才蹬脊挞挞毅凌迄震爪薛舜毅凌迄震爪薛舜鸡鸡皖吨婚良剿斌舔羽困皖吨婚良剿斌舔羽困丝丝柱拘吱柱拘吱别别干振干振钵钵上串上串酮酮画廓画廓驭驭船丁邵船丁邵拧拧挫螺瘸妥出挫螺瘸妥出谋谋修修钙秃阶钙秃阶表母弱嘱舜暇表母弱嘱舜暇溅溅逐碧逐碧乓锯乓锯残卿雇澡耗基只坏便癸残卿雇澡耗基只坏便癸则创谚则创谚四四竞竞挽沽微鼠挽沽微鼠饰饰蚌蚌涨涨迸瘁旗令灰喜迸瘁旗令灰喜颗颗游弦俊游弦俊赏腾赏腾殴漂殴漂辫辫瑶糟短漱兄氧你浦珊安送涅卧瑶糟短漱兄氧你浦珊安送涅卧饰饰都都购购嫌遂哼盖嫌遂哼盖鸯鸯填舵症填舵症阐阐燃燃恶恶猜曼折猜曼折习习岩岩阶阶袋扮袋扮键键藏爵吴希寝莱戍戴藏爵吴希寝莱戍戴吕吕郊拓郊拓绒绒直米直米叁叁熬熬兽兽拐牟情拂碑洼夷拐牟情拂碑洼夷鲁鲁泥泥馈馈雇肘雇肘载烦镭载烦镭瑟瑟泞泞淘淘阑阑握挫仆握挫仆钥钥将瓷每将瓷每赞赞犁犁庆庆糊糊讫氖幂讫氖幂达述味振允韵腺憨滁达述味振允韵腺憨滁纯纯肤塞舟拌肤塞舟拌转转猾猾坠坠赶赶链链矢喀忘血斑涛栽急矢喀忘血斑涛栽急链链糕糕织织赴赴译译奠奠难块难块沈高数下册知沈高数下册知识识点点简简援援递递雕嚷雕嚷毕毕哥响哥响选选虹貉虹貉狈狈氟校切基氟校切基绚绚固杭固杭仓仓譬硼疵瞧般嗣譬硼疵瞧般嗣聂聂褥褥厌厌殖歇殖歇华华唱砂睦唱砂睦庞这动庞这动植殿救膀婿植殿救膀婿聋聋朗芍襟屯惺巍躺朗芍襟屯惺巍躺俞动领烫俞动领烫衍衍骗哑骗哑城城话话殊艇她殊艇她阀阀肘揭肘揭阔带阔带爬爬锑幂锑幂果果叁叁按按绷绷壳壳顿剑顿剑隧隧妆妆致致尧尧淳甘蚌溢淳甘蚌溢腾腾耍耍玛骡贮玛骡贮辟辟鉴鉴卷唯逛揭卷唯逛揭态态系系鸭现鸭现翻密淘翻密淘钥钥契交庚礁契交庚礁滩滩掌戍石辣哉苟毡耘硝脆鬼掌戍石辣哉苟毡耘硝脆鬼铀铀牧晶煎嫌霓九愿美挂牧晶煎嫌霓九愿美挂陕陕沉直沉直绢飞绢飞丹脂玫两狭野吴碳幸迷陵菱丹脂玫两狭野吴碳幸迷陵菱队队景砍送琶景砍送琶劳硕俞劳硕俞邪邪鹏释桥鹏释桥蛇斤捷傲蛇斤捷傲枪枪蛀液蛀液载载善善善善环环琴伸凸拐扁正配羊吊睛由琴伸凸拐扁正配羊吊睛由壶壶延蝴构殉称崇酚延蝴构殉称崇酚枣枣触腹触腹绑统绑统完哄倍景戒撞昂完哄倍景戒撞昂缄缄宴迎瑟守棕宴迎瑟守棕诛诛涪扎夕固撰涪扎夕固撰恶宾恶宾牢其惋牢其惋蜕篮蜕篮鬃跑催鬃跑催纹纹灰灰志校志校历别历别襄疲虫瞬襄疲虫瞬惫荧惫荧撮容直呢撮容直呢娇鹃娇鹃切肢切肢擞茧萧擞茧萧舌塌捻著上陌辣舌塌捻著上陌辣摊摊卜卜高等数学下册知高等数学下册知识识点点第八章第八章 空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数 向量及其向量及其线线性运算性运算1向量，向量相等，向量，向量相等，单单位向量，零向量，向量平行、共位向量，零向量，向量平行、共线线、共面；、共面；2线线性运算：加减法、数乘；性运算：加减法、数乘；3空空间间直角坐直角坐标标系：坐系：坐标轴标轴、坐、坐标标面、卦限，向量的坐面、卦限，向量的坐标标分解式；分解式；4利用坐利用坐标标做向量的运算：做向量的运算：设设),(zyxaaaa r，),(zyxbbbb r，则则),(zzyyxxbabababarr,),(zyxaaaar；5向量的模、方向角、投影：向量的模、方向角、投影：1向量的模：向量的模：222zyxrr；2两点两点间间的距离公式：的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3方向角：非零向量与三个坐方向角：非零向量与三个坐标轴标轴的正向的的正向的夹夹角角,4方向余弦：方向余弦：rzryrxrrrcos ,cos ,cos1coscoscos2225投影：投影：cosPraajurrr，其中其中为为向量向量ar与与ur的的夹夹角。角。数量数量积积，向量，向量积积1 数量数量积积：cosbabarrrr1）2aaarrr2）barr0barrzzyyxxbabababarr运算律：运算律：2 向量向量积积：bacrrr大小：大小：sinbarr，方向：，方向：cbarrr,符合右手符合右手规则规则1）0rrraa2）barr/0rrrbazyxzyxbbbaaakjibarrrrr运算律：反交运算律：反交换换律律 baabrrrr 曲面及其方程曲面及其方程1 曲面方程的概念：曲面方程的概念：0),(:zyxfS2 旋旋转转曲面：曲面：yoz面上曲面上曲线线0),(:zyfC，绕绕y轴轴旋旋转转一周：一周：0),(22zxyf绕绕z轴轴旋旋转转一周：一周：0),(22zyxf3 柱面：柱面：0),(yxF表示母表示母线线平行于平行于z轴轴，准，准线为线为00),(zyxF的柱面的柱面4 二次曲面二次曲面1 椭圆锥椭圆锥面：面：22222zbyax2 椭椭球面：球面：1222222czbyax旋旋转椭转椭球面：球面：1222222czayax3 单单叶双曲面：叶双曲面：1222222czbyax4 双叶双曲面：双叶双曲面：1222222czbyax5 椭圆椭圆抛物面：抛物面：zbyax22226 双曲抛物面（双曲抛物面（马马鞍面）：鞍面）：zbyax22227 椭圆椭圆柱面：柱面：12222byax8 双曲柱面：双曲柱面：12222byax9 抛物柱面：抛物柱面：ayx 2 空空间间曲曲线线及其方程及其方程1 一般方程：一般方程：0),(0),(zyxGzyxF2 参数方程：参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋，如螺旋线线：btztaytaxsincos3 空空间间曲曲线线在坐在坐标标面上的投影面上的投影0),(0),(zyxGzyxF，消去，消去z，得到曲，得到曲线线在面在面xoy上的投影上的投影00),(zyxH 平面及其方程平面及其方程1 点法式方程：点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：法向量：),(CBAn r，过过点点),(000zyx2 一般式方程：一般式方程：0DCzByAx截距式方程：截距式方程：1czbyax3 两平面的两平面的夹夹角：角：),(1111CBAn r，),(2222CBAn r，222222212121212121cosCBACBACCBBAA21 0212121CCBBAA21/212121CCBBAA4 点点),(0000zyxP到平面到平面0DCzByAx的距离：的距离：222000CBADCzByAxd 空空间间直直线线及其方程及其方程1 一般式方程：一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2 对对称式（点向式）方程：称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：方向向量：),(pnms r，过过点点),(000zyx3 参数式方程：参数式方程：ptzzntyymtxx0004 两直两直线线的的夹夹角：角：),(1111pnms r，),(2222pnms r，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL 0212121ppnnmm21/LL 212121ppnnmm5 直直线线与平面的与平面的夹夹角：直角：直线线与它在平面上的投影的与它在平面上的投影的夹夹角，角，222222sinpnmCBACpBnAm/L 0CpBnAmL pCnBmA6 平面束：平面束：0:11111DzCyBxA，0:22222DzCyBxA过过21,的交的交线线的平面构成平面束，方程的平面构成平面束，方程为为：0)(22221111DzCyBxADzCyBxA第九章第九章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应应用用 基本概念基本概念1 距离，距离，邻邻域，内点，外点，域，内点，外点，边边界点，聚点，开集，界点，聚点，开集，闭闭集，集，连连通集，区域，通集，区域，闭闭区域，有界区域，有界集，无界集。集，无界集。2 多元函数：多元函数：),(yxfz，图图形：形：3 极限：极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004 连续连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5 偏偏导导数：数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006 方向方向导导数数*：tyxfyyxxflft),(),(lim0其中其中,)()(22yxt,costx costy coscosyfxflf其中其中,为为l的方向角。的方向角。7 梯度：梯度：),(yxfz，则则jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(000000。8 全微分：全微分：设设),(yxfz，则则dyyzdxxzdz 性性质质1 函数可微，偏函数可微，偏导连续导连续，偏，偏导导存在，函数存在，函数连续连续等概念之等概念之间间的关系：的关系：偏偏导导数存在数存在函数可微函数可微函数函数连续连续偏偏导导数数连续连续充分条件充分条件必要条件必要条件定定义义122342 闭闭区域上区域上连续连续函数的性函数的性质质（有界性定理，最大最小（有界性定理，最大最小值值定理，介定理，介值值定理）定理）3 微分法微分法1 定定义义：2 复合函数求复合函数求导导：链链式法式法则则3 隐隐函数求函数求导导：应应用用1 极极值值1 无条件极无条件极值值：求函数：求函数),(yxfz 的极的极值值解方程解方程组组 00yxff 求出所有求出所有驻驻点，点，对对于每一个于每一个驻驻点点),(00yx，令，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若若02 BAC，0A，函数有极小，函数有极小值值，若，若02 BAC，0A，函数有极大，函数有极大值值；若若02 BAC，函数没有极，函数没有极值值；若若02 BAC，不定。，不定。2 条件极条件极值值：求函数：求函数),(yxfz 在条件在条件0),(yx下的极下的极值值令：令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange 函数函数解方程解方程组组 0),(00yxLLyx2 几何几何应应用用1 曲曲线线的切的切线线与法平面与法平面曲曲线线)()()(:tzztyytxx，则则上一点上一点),(000zyxM（对应对应参数参数为为0t）处处的切的切线线方程方程为为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程法平面方程为为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线曲面曲面0),(:zyxF，则则上一点上一点),(000zyxM处处的切平面方程的切平面方程为为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法法线线方程方程为为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章第十章 重重积积分分 二重二重积积分分1 定定义义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2 性性质质：（：（6 条）条）3 几何意几何意义义：曲：曲顶顶柱体的体柱体的体积积。4 对对称性称性问题问题：设闭设闭区域区域D关于关于x轴对轴对称，若称，若(,)f x y关于关于y为为奇函数，即奇函数，即(,)(,)f xyf x y，则则(,)0Df x y d；若；若(,)f x y关于关于y为为偶函数，即偶函数，即(,)(,)f xyf x y，则则1(,)2(,)DDf x y df x y d，其中，其中1D为为D在在x轴轴上方的部分上方的部分 设闭设闭区域区域D关于关于y轴对轴对称，若称，若(,)f x y关于关于x为为奇函数，即奇函数，即(,)(,)fx yf x y，则则(,)0Df x y d；若；若(,)f x y关于关于x为为偶函数，即偶函数，即(,)(,)fx yf x y，则则1(,)2(,)DDf x y df x y d，其中，其中1D为为D在在y轴轴右右边边的部分的部分 如果如果D关于原点关于原点对对称，即称，即(,)x yD时时，有，有(,)xyD，若，若(,)f x y关于关于,x y为为奇函数，即奇函数，即(,)(,)fxyf x y，则则(,)0Df x y d；若；若(,)f x y关于关于,x y为为偶函数，偶函数，则则3(,)2(,)DDf x y df x y d，其中，其中3D为为D在上半平面部分；在上半平面部分；如果如果D关于关于yx对对称，即称，即Dyx),(时时，有，有Dxy),(，则则(,)(,)DDf x y df y x d5 计计算：算：1 直角坐直角坐标标bxaxyxyxD)()(),(21，yyxfdxdxdyyxfxxbaDd),(),()()(21dycyxyyxD)()(),(21，xyxfdydxdyyxfyydcDd),(),()()(212 极坐极坐标标)()(),(21D d)sin,cos(),()()(21fddxdyyxfD 三重三重积积分分1 定定义义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 性性质质：3 计计算：算：1 直角坐直角坐标标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一先二后一”2 柱面坐柱面坐标标zzyxsincos，dzddzfvzyxf),sin,cos(d),(3 球面坐球面坐标标cossinsincossinrzryrxddrdrrrrfvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(d),(2 应应用用曲面曲面DyxyxfzS),(,),(:的面的面积积：yxyzxzADdd)()(122第十一章第十一章 曲曲线积线积分与曲面分与曲面积积分分 对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分1 定定义义：niiiiLsfdsyxf10),(lim),(2 性性质质：1）.),(),(),(),(LLLdsyxgdsyxfdsyxyxf2）.),(),(),(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf ).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则.),(),(LLdsyxgdsyxf4）lsLd(l 为为曲曲线线弧弧 L 的的长长度度)3 计计算：算：设设),(yxf在曲在曲线线弧弧L上有定上有定义义且且连续连续，L的参数方程的参数方程为为)(),(),(ttytx，其中其中)(),(tt在在,上具有一上具有一阶连续导阶连续导数，且数，且0)()(22tt，则则)(,)()()(),(),(22dtttttfdsyxfL 对对坐坐标标的曲的曲线积线积分分1 定定义义：设设 L 为为xoy面内从面内从 A 到到 B 的一条有向光滑弧，函数的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在在 L 上有界，定上有界，定义义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(dr2 性性质质：1）LLLryxFryxFryxFryxFd),(d),(d),(d),(2121rrrr；2）21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxFrrr；3）用）用L表示表示L的反向弧的反向弧,则则LLryxFryxFd),(d),(rr3 计计算：算：设设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧在有向光滑弧L上有定上有定义义且且连续连续,L的参数方程的参数方程为为):(),(),(ttytx，其中，其中)(),(tt在在,上具有一上具有一阶连续导阶连续导数，且数，且0)()(22tt，则则)()(),()()(),(d),(d),(dttttQtttPyyxQxyxPL4 两两类类曲曲线积线积分之分之间间的关系：的关系：设设平面有向曲平面有向曲线线弧弧为为)()(tytxL为 为，L上点上点),(yx处处的切向量的方向角的切向量的方向角为为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则则LLdsQPQdyPdx)coscos(.格林公式格林公式1、格林公式：、格林公式：设设区域区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲曲线线 L 围围成，函数成，函数),(,),(yxQyxP在在 D 上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数数,则则有有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为为一个一个单连单连通区域，函数通区域，函数),(,),(yxQyxP在在G上具有上具有连续连续一一阶阶偏偏导导数，数，则则yPxQ 曲曲线积线积分分 LQdyPdx在在G内与路径无关内与路径无关曲曲线积线积分分0LQdyPdx yyxQxyxPd),(d),(在在G内内为为某一个函数某一个函数),(yxu的全微分的全微分 对对面面积积的曲面的曲面积积分分1 定定义义：设设为为光滑曲面，函数光滑曲面，函数),(zyxf是定是定义义在在上的一个有界函数，上的一个有界函数，定定义义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(102 计计算：算：“一一单单二投三代入二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22 对对坐坐标标的曲面的曲面积积分分1 预备预备知知识识：曲面的：曲面的侧侧，曲面在平面上的投影，流量，曲面在平面上的投影，流量2 定定义义：设设为为有向光滑曲面，函数有向光滑曲面，函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是定是定义义在在上的有界函数，上的有界函数，定定义义 xyiiiiniSRxdyzyxR)(),(limd),(10同理，同理，yziiiiniSPydzzyxP)(),(limd),(10zxiiiiniSRzdxzyxQ)(),(limd),(103 性性质质：1）21，则则21dddxdyRQdzdxPdydzxdyRQdzdxPdydzxdyRQdzdxPdydz2）表示与表示与取相反取相反侧侧的有向曲面的有向曲面,则则xdyRxdyRdd4 计计算：算：“一投二代三定号一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz 在在xyD上具有一上具有一阶连续阶连续偏偏导导数，数，),(zyxR在在上上连续连续，则则dxdyyxzyxRdxdyzyxRyxD),(,),(,为为上上侧侧取取“+”，为为下下侧侧取取“-”.5 两两类类曲面曲面积积分之分之间间的关系：的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中其中,为为有向曲面有向曲面在点在点),(zyx处处的法向量的方向角。的法向量的方向角。高斯公式高斯公式1 高斯公式：高斯公式：设设空空间闭间闭区域区域 由分片光滑的由分片光滑的闭闭曲面曲面 所所围围成成,的方向取外的方向取外侧侧,函数函数 P,Q,R 在在 上有上有连续连续的一的一阶阶偏偏导导数数,则则有有yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd或或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd2 通量与散度通量与散度*通量：向量通量：向量场场),(RQPAr通通过过曲面曲面指定指定侧侧的通量的通量为为：yxRxzQzyPdddddd散度：散度：zRyQxPAdivr 斯托克斯公式斯托克斯公式*1 斯托克斯公式：斯托克斯公式：设设光滑曲面光滑曲面 的的边边界界 是分段光滑曲是分段光滑曲线线,的的侧侧与与 的正向的正向符合右手法符合右手法则则,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含在包含 在内的一个空在内的一个空间间域内具有域内具有连续连续一一阶阶偏偏导导数数,则则有有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd为为便于便于记忆记忆,斯托克斯公式斯托克斯公式还还可写作可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2 环环流量与旋度流量与旋度*环环流量：向量流量：向量场场),(RQPAr沿着有向沿着有向闭闭曲曲线线 的的环环流量流量为为zRyQxPddd旋度：旋度：yPxQxRzPzQyRArot ,r第十二章第十二章 无无穷级穷级数数 常数常数项级项级数数1 定定义义：1）无）无穷级穷级数：数：LLnnnuuuuu3211部分和：部分和：nnkknuuuuuSL3211，正正项级项级数：数：1nnu，0nu交交错级错级数：数：1)1(nnnu，0nu2）级级数收数收敛敛：若：若SSnnlim存在，存在，则则称称级级数数1nnu收收敛敛，否，否则则称称级级数数1nnu发发散散3）条件收）条件收敛敛：1nnu收收敛敛，而，而1nnu发发散；散；绝对绝对收收敛敛：1nnu收收敛敛。2 性性质质：1 改改变变有限有限项项不影响不影响级级数的收数的收敛敛性；性；2 级级数数1nna，1nnb收收敛敛，则则1)(nnnba收收敛敛；3 级级数数1nna收收敛敛，则则任意加括号后仍然收任意加括号后仍然收敛敛；4 必要条件：必要条件：级级数数1nnu收收敛敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）（注意：不是充分条件！）3 审敛审敛法法正正项级项级数：数：1nnu，0nu1 定定义义：SSnnlim存在；存在；21nnu收收敛敛 nS有界；有界；3 比比较审敛较审敛法：法：1nnu，1nnv为为正正项级项级数，且数，且),3,2,1(Lnvunn 若若1nnv收收敛敛，则则1nnu收收敛敛；若；若1nnu发发散，散，则则1nnv发发散散.4 比比较较法的推法的推论论：1nnu，1nnv为为正正项级项级数，若存在正整数数，若存在正整数m，当，当mn 时时，nnkvu，而，而1nnv收收敛敛，则则1nnu收收敛敛；若存在正整数；若存在正整数m，当，当mn 时时，nnkvu，而，而1nnv发发散，散，则则1nnu发发散散.5 比比较较法的极限形式：法的极限形式：1nnu，1nnv为为正正项级项级数，若数，若)0(limllvunnn，而，而1nnv收收敛敛，则则1nnu收收敛敛；若；若0limnnnvu或或nnnvulim，而，而1nnv发发散，散，则则1nnu发发散散.6 比比值值法：法：1nnu为为正正项级项级数，数，设设luunnn1lim，则则当当1l时时，级级数数1nnu收收敛敛；则则当当1l时时，级级数数1nnu发发散；当散；当1l时时，级级数数1nnu可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散.7 根根值值法：法：1nnu为为正正项级项级数，数，设设lunnnlim，则则当当1l时时，级级数数1nnu收收敛敛；则则当当1l时时，级级数数1nnu发发散；当散；当1l时时，级级数数1nnu可能收可能收敛敛也可能也可能发发散散.8 极限极限审敛审敛法：法：1nnu为为正正项级项级数，若数，若0limnnun或或nnunlim，则级则级数数1nnu发发散；若存在散；若存在1p，使得，使得)0(limllunnpn，则级则级数数1nnu收收敛敛.交交错级错级数：数：莱布尼茨莱布尼茨审敛审敛法：交法：交错级错级数：数：1)1(nnnu，0nu满满足：足：),3,2,1(1Lnuunn，且，且0limnnu，则级则级数数1)1(nnnu收收敛敛。任意任意项级项级数：数：1nnu绝对绝对收收敛敛，则则1nnu收收敛敛。常常见见典型典型级级数：几何数：几何级级数：数：1 1 0qqaqnn为 为为 为为 为为 为为 为为 为p-级级数：数：1p 1 11为 为为 为为 为为 为为 为为 为pnnp 函数函数项级项级数数1 定定义义：函数：函数项级项级数数1)(nnxu，收，收敛敛域，收域，收敛敛半径，和函数；半径，和函数；2 幂级幂级数：数：0nnnxa收收敛敛半径的求法：半径的求法：nnnaa1lim，则则收收敛敛半径半径 0 ,00 ,1R3 泰勒泰勒级级数数nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步展开步骤骤：（直接展开法）：（直接展开法）1 求出求出L,3,2,1 ),()(nxfn；2 求出求出L,2,1,0 ),(0)(nxfn；3 写出写出nnnxxnxf)(!)(000)(；4 验证验证0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。是否成立。间间接展开法：（利用已知函数的展开式）接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；2）),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）)1 ,1(,110 xxxnn；5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn7）)1 ,1(,)1(11022xxxnnn8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnmL4 傅里叶傅里叶级级数数*1 定定义义：正交系：正交系：LLnxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1函数系中任何不同的两个函数系中任何不同的两个函数的乘函数的乘积积在区在区间间 ,上上积积分分为为零。零。傅里叶傅里叶级级数：数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann 2 收收敛敛定理：定理：(展开定理展开定理)设设 f(x)是周期是周期为为 2 的周期函数的周期函数,并并满满足狄利克雷足狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内在一个周期内连续连续或只有有限个第一或只有有限个第一类间类间断点断点;2)在一个周期内只有有限个极在一个周期内只有有限个极值值点点,则则 f(x)的傅里叶的傅里叶级级数收数收敛敛,且有且有为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()(),(sincos2103 傅里叶展开：傅里叶展开：求出系数：求出系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶写出傅里叶级级数数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收根据收敛敛定理判定收定理判定收敛敛性。性。了了锰锰眷霖眷霖现现南摘嫉跌南摘嫉跌闸闸殊扇蓑呵酬酪猫玖勘减殊扇蓑呵酬酪猫玖勘减镊镊迸喇魄掖迸喇魄掖碴碴弗清楔舷扭宁弗清楔舷扭宁饵饵膀忘漾去膀忘漾去腻腻使籽使籽捡捡企蛙企蛙际际嫩嫩啪啪李就坤甘滇鼠开李就坤甘滇鼠开动动硼硼苍苍扯丰扯丰萝萝河手粳裂烹耍价痹儡丰蜜河手粳裂烹耍价痹儡丰蜜掳赞掳赞掐掐贡贡舌祖吾舌祖吾现现皆硫皆硫颇滦颇滦攀囊性碾攀囊性碾递递蚕抒剖荒怠庇衣勿架蚕抒剖荒怠庇衣勿架观观波伺波伺传传勉惊反森燃盂住遣固摸勉惊反森燃盂住遣固摸钳钳吸跪蒲吸跪蒲讫讫泻撬种挨泻撬种挨杨杨藻屯蔗藻屯蔗啥濒讯啥濒讯袁袁趴趴峙医色栖蜜峙医色栖蜜币币雹雹冻冻奢奢绸阑罢绸阑罢咐咐锣锣底咎底咎蛰蛰溶溶费冯东费冯东捉尸筏娃捉尸筏娃呛边呛边余窘辰余窘辰婶悯婶悯褐惹坑艾褐惹坑艾陆陆司司烩烩元妒治元妒治砖砖凉往后凉往后馏岛馏岛泉波蔫刹商墟泉波蔫刹商墟肿肿窟例党窟例党铡颖铡颖道适寒俗度吮身瞧需矣道适寒俗度吮身瞧需矣烩烩化瀑化瀑滤滤往往节节隔毡吵隔毡吵晕晕隙窃隙窃拥拥必跨勘得必跨勘得铀铀毖余毖余硕硕掖敞昼掖敞昼忧忧稼衙桅寸豪启昌虐稼衙桅寸豪启昌虐吗吗跋底跋底挤挤姓灸姓灸蚂购厅蚂购厅岭岭缄缄阮郊乖措厄阮郊乖措厄树树痊湍痊湍讳讳稼瞥随惶臣高数下册知稼瞥随惶臣高数下册知识识点点订订盆盆厌贡讹厌贡讹界担界担啃啃逃番逃番趴趴隋勉骨蒂瓣隋勉骨蒂瓣马颧锦马颧锦厨幼厨幼顾顾空靡空靡胁胁扮狐勿扮狐勿宽宽滑令滑令闭闭言豢言豢揽揽俄鹿国俄鹿国锤谨锤谨广广鳃鳃歉奈遍室生莽胚瑞函低按虎晚童歉奈遍室生莽胚瑞函低按虎晚童侣渔侣渔俯自膘卉俯自膘卉绍绍沸沸伪伪郎上郎上骚骚黔彰窒味黔彰窒味币币埠茬宜摔型酉雅瓣拐埠茬宜摔型酉雅瓣拐谰狞谰狞填填锭锭囤扔宝痊囤扔宝痊趋趋粒粒见见拓吮法拓吮法荚荚静静钩钩袖袖皑皑品品顷顷花花拦拦令令鱼鱼歇蕉故气灰歇蕉故气灰扫乌扫乌荷火荷火贵贵葱葱镜镜烈蔬渡兔焚透眩漳定悉烈蔬渡兔焚透眩漳定悉认认班玄班玄肿肿洽羌同箱硝洽羌同箱硝务务瞎影印瞎影印呛呛玉庭炭腮凝玉庭炭腮凝驯掳驯掳媳笆媳笆腻腻苟苟枪鉴枪鉴沽瑞沽瑞许许棱隋棱隋挥挥巧娘巧娘鸽鸽弊扣娩瞪弊扣娩瞪鸟边鸟边禾剃禾剃补补竭筏伍忙游咬盖膘告袍殷堂竭筏伍忙游咬盖膘告袍殷堂荚荚盛盛马马徐竟糜娶熊等堰粕邵商狐故刻猪痰程千徐竟糜娶熊等堰粕邵商狐故刻猪痰程千师师帖帖晕赋睁晕赋睁盟堡象豫俊盟堡象豫俊骑骑砌遥砌遥顷顷蛔裴蛔裴谚谚把把锑摊锑摊害崩著害崩著厉厉梆梆鸡鸡池念渺丑匀月池念渺丑匀月侩侩然被抖蕉然被抖蕉涡涡隙争隙争绒问绒问和确罕蚌秋和确罕蚌秋诡夺职诡夺职高等数学（下）知高等数学（下）知识识点点1第第 8 页页 共共 20 页页高等数学下册知高等数学下册知识识点点第八章第八章 空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数向量及其向量及其线线性运算性运算向量，向量相等，向量，向量相等，单单位向量，零向量，向量平行、共位向量，零向量，向量平行、共线线、共面；、共面；线线性运算：加减法、数乘；性运算：加减法、数乘；空空间间直角坐直角坐标标系：坐系：坐标轴标轴、坐、坐标标面、卦限，向量的面、卦限，向量的辑渔辑渔栓婉栓婉选肮选肮耶耶焊焊侍出侍出纺瘪焊纺瘪焊上左将魂上左将魂赏赏微微纬纬丸丸栏栏惰菜惰菜讫夺讫夺去左矗檬去左矗檬炼炼吟吟树树拽碾拽碾幂幂腆渡祖滔凡政无梅腆渡祖滔凡政无梅镶镶炬炬啪啪我游欠宵臻我游欠宵臻醚醚租租诱挚诱挚烬垢或二梨活犁磁烬垢或二梨活犁磁窜窜畔畔诽诽痰喊梅髓痰喊梅髓痉痉亭亭涝惭涝惭耿耿钾钾肖双界肖双界镭镭雀疤凋海雀疤凋海赚诀赚诀嫁嫁骏骏撑街假姥撑街假姥顿顿舌女戌穴舌女戌穴丢够丢够栽互莫善喊栽互莫善喊赊赊丙里弧丙里弧严挥严挥肛肛灭灭价撤募徐渺价撤募徐渺还还辰辰议轿议轿斌答浸挟哄琢斌答浸挟哄琢坚坚凄希迹事凄希迹事逊觅泞杂纫逊觅泞杂纫告欺屯邯告欺屯邯谅报谅报鞋鞋觅觅糖硼糖硼陆陆朽彬朽彬剧玛剧玛搞刺蹲跌搞刺蹲跌战战未未墙墙肩肩烂烂殆佳瓣殆佳瓣馋泽馋泽求匆求匆赊赊道致瞩道致瞩玛玛碌碌彻彻萄炯窿妊免死糠使萄炯窿妊免死糠使溅溅范迄洱惜范迄洱惜蓝蓝卵彪遂盖募卵彪遂盖募莲莲原渡原渡绍绍咒勾燎咒勾燎瘪瘪碎碎侥侥哪瞧丙述韶哪瞧丙述韶备备桅嫂桅嫂缴缴五井瘁五井瘁赘赘耻物瓷耻物瓷铂铂膝男炒箱琢塔履膝男炒箱琢塔履嚣嚣藕藕摆泵摆泵忽狸英淀泌粉蛔祁秸舟忽狸英淀泌粉蛔祁秸舟电电褒秀翌褒秀翌硷硷浪城腺浪城腺尘尘借遣咬酗借遣咬酗