专题一-第二讲.doc

第二讲　转化化归要规范
一、条件转换要全面
在对题目进行分析时，条件的梳理、转化是解题的重点，在条件转化时，一定要对条件全面考虑，挖掘隐含条件，不能顾此失彼，造成转换不等价．
例1　函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
分析　由抽象不等式转化为一般不等式的过程中，一定要注意到定义域和单调区间，不能认为f(x)在定义域D上单调递增．
解　(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．①
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式①等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.
解得－≤x<－或－<x<3或3<x≤5.
∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}．
跟踪训练1　(1)已知集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0}，且N⊆M，则实数a的值是________．
答案　0，，－1
解析　M＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
当a＝0时，N＝∅，符合题意．
当a≠0时，N＝{x|ax＋2＝0}＝，
若－＝－3，则a＝；若－＝2，则a＝－1.
故a的值为0，，－1.
(2)定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 (　　)
A．0 B．1 C．3 D．5
答案　D
解析　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又因为T是函数f(x)的一个正周期，
所以f(T)＝f(－T)＝f(0)＝0.
又f＝f＝f，
且f＝－f，
∴f＝f＝0，
故f(x)＝0在闭区间[－T，T]上根的个数为5.
跟踪训练2　 已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
答案　
解析　∵≤f(x)≤，
∴≤≤.
令t＝，则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值，当t＝时，y有最大值.
∴g(x)的值域为.
二、转换过程要准确
解题过程中运用一些定理、公理或结论时，必须保证过程准确，不能错用或漏用条件，和公理、定理的适用条件进行比对，转换过程中推理变形要等价．
例2　在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．
分析　本题是几何概型的概率问题，根据题意，选择角度作为几何概型的度量．本题易发生的错误是认为点M随机落在线段AB上，认为线段AB为基本事件的区域，认为是长度型的几何概型．
解　由于在∠ACB内作射线CM，所以CM在∠ACB内等可能分布(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，在AB上取点C′，使得AC′＝AC，
所以P(AM<AC)＝＝＝.
跟踪训练3　(1)一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率是________．
答案　
解析　由于此蚂蚁是在三角形的边上爬行，因此选择线段长度进行概率计算可得.
(2)一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁离三角形三个顶点的距离均超过1的概率是________．
答案　1－π
解析　由于此蚂蚁是在三角形内爬行，因此选择面积进行概率计算可得1－π.
跟踪训练4　在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若a＝1，求b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求a，b.
解　(1)由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，
即1＋b2－b＝4.
解得b＝(舍去)，或b＝.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，
得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，
即(sin Bcos A＋cos Bsin A)＋(sin Bcos A－cos Bsin A)＝2sin 2A，
所以sin Bcos A＝2sin Acos A.
若cos A＝0，则A＝，a＝＝，b＝acos ＝.
若cos A≠0，则有sin B＝2sin A．由正弦定理，得b＝2a.
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C，即a2＋4a2－2a2＝4.
解得a＝.
而b＝2a＝.
综上，a＝，b＝或a＝，b＝.
三、转换思路要灵活
解决数学问题的过程就是一个由条件到结论的等价转化的过程，数学中的解题即转化过程往往不是唯一的．在解题时我们要从条件出发，灵活转化，从不同的角度解决问题．
例3　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2.
(1)求四棱锥P—ABCD的体积；
(2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
(3)求证：CE∥平面PAB.
分析　在证明线面关系时，可以利用线线关系，也可以利用面面关系，第(3)步证明中既可在平面PAB中作一直线，使其和CE平行；也可以过CE作一平面，使其和平面PAB平行．
(1)解　在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴BC＝，AC＝2.
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4.
∴SABCD＝AB·BC＋AC·CD
＝×1×＋×2×2＝.
则V＝××2＝.
故四棱锥P—ABCD的体积为.
(2)证明　∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，
∴EF∥CD，则EF⊥PC，∵AF∩EF＝F，
∴PC⊥平面AEF.
(3)证明　方法一　
取AD中点M，连接EM，CM.如图所示．
则EM∥PA，∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥ 平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.
∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.
∵CE⊂平面EMC，∴CE∥平面PAB.
方法二　延长DC，AB，设它们交于点N，连接PN.如图所示．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．
∵E为PD的中点，∴CE∥NP.
∵CE⊄平面PAB，NP⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB.
跟踪训练5　(2013·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)·(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．
答案　16
解析　依题意，f(x－2)为偶函数，
f(x－2)＝(－x2＋4x－3)[x2＋(a－4)x＋4－2a＋b]，
其中x3的系数为8－a，故a＝8，
x的系数为28＋4b－11a，故b＝15，
令f′(x)＝0，得x3＋6x2＋7x－2＝0，
由对称轴为x＝－2可知，
将该式分解为(x＋2)(x2＋4x－1)＝0，
可知其在－2和－－2处取到最大值，最大值为16.
跟踪训练6　设椭圆M：＋＝1(a>)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)，求·的最大值．
解　(1)由题设知，A，F1(，0)，
由＋2＝0，
得＝2，
解得a2＝6.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)·＝(－)·(－)
＝(－－)·(－)＝2－2
＝2－1.
从而将求·的最大值转化为求2的最大值．
因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)
所以＋＝1，即x＝6－3y.
因为点N(0,2)，
所以2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因为y0∈[－，]，所以当y0＝－1时，2取得最大值12.
所以·的最大值为11.