定积分计算公式和性质.doc

第二节定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数在区间上连续,并且设x为上的任一点,于是,在区间上的定积分为

这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限ｘ在区间上任意变动，则对于每一个取定的ｘ值,定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以ｘ为自变量的函数,我们把称为函数在区间上变上限函数
记为
图 5—１０
从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点,从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5—１０）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道:如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为
图 5—1１

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到ｔ＝b所经过的路程应该是（见图5－1１)

即

由导数的物理意义可知:即是一个原函数，因此,为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可．
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法:
设函数在闭区间上连续,是的一个原函数,即,则

这个公式叫做牛顿—莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。
例１ 计算
因为是的一个原函数所以
例 2 求曲线和直线x＝0、x=及y=0所围成图形面积A(5—12）
解这个图形的面积为

图 5—12

二、定积分的性质
设、在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以得到定积分以下几个简单性质：
性质１ 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)
性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3积分的上、下限对换则定积分变号,即

以上性质用定积分的定义及牛顿－莱布尼兹公式均可证明,此处证明从略。
性质4如果将区间分成两个子区间及那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义,对性质4加以说明。
当a〈c<ｂ时,从图5—13a可知，由y=f与和x＝a x=b及x轴围成的曲边梯形面积:

图 5－13ａ

图 5—13b

因为所以
即性质4成立。
当a＜ｂ〈c时,即点c在外,由图５—1３b可知，

显然,性质4也成立.
总之，不论c点在内还是外,性质4总是成立的.
例３求

例 4求
解=

例　 5求
解

所以

例 6求
解
于是，

例 7 设求
解因为
所以
=
==
例８ 火车以v=72km/ｈ的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=—5m/刹车。问从开始刹车到停车,火车走了多少距离？
解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为当火车停住时，速度,故从
解得
于是在这段时间内,火车走过的距离为

　＝
即在刹车后,火车需走过40ｍ才能停住。

习题 5—2
１ 求下列定积分：
(１) 　 (２）
(3） (4)　
（5)(6)
(7)
(8） 　 　（９） 　 　　 　 (1０)
（１1）设
２.求由与直线ｘ＝1,x=2及x轴所成的图形的面积。