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有限元网格划分及发展趋势
摘 要:总结近十年有限元网格划分技术发展状况。首先,研究和分析有限元网格划分的基本原则；其次,对当前典型网格划分方法进行科学地分类,结合实例,系统地分析各种网格划分方法的机理、特点及其适用范围,如映射法、基于栅格法、节点连元法、拓扑分解法、几何分解法和扫描法等；再次,阐述当前网格划分的研究热点,综述六面体网格和曲面网格划分技术；最后,展望有限元网格划分的发展趋势。
关键词:有限元网格划分；映射法；基于栅格法；节点连元法;拓扑分解法；几何分解法；扫描法；六面体网格

1 引言
作为有限元走向工程应用枢纽的有限元网格划分,是有限元法的一个非常重要的研究领域,经历了40多年的发展历程。有限元网格划分算法研究中的某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决,它们的解决对工程问题具有重要的现实价值和理论意义。有限元分析的基本过程可分为三个阶段:有限元模型的建立(即前处理)、有限元解算、结果处理和评定(即后处理)。根据经验,有限元分析各阶段所用的时间为:40%-45%用于模型的前处理,50%-55%用于后处理,而分析计算只占5%左右;更有文献指出有限元建模占有限元分析一半以上的工作量,甚至高达80%。因此,有限元分析的前后处理一直都是有限元分析的瓶颈问题,严重地阻碍着有限元分析技术的应用和发展。
许多学者对有限元网格生成方法近30年的研究进行了概括和总结,对某些重要分支领域的研究进展方面也做出了贡献。近年来,有限元网格生成方法研究有两个显著特点:(1)经历了一个进化过程,一些方法的研究与应用出现停滞,而另外一些方法在不断地深入、完善和发展,成为适应性强、应用范围广泛的通用方法;(2)领域和主题在不断扩展和深入,研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三维实体问题,从三角形、四面体网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动生成。
2 有限元网格划分的基本原则
有限元方法的基本思想是将结构离散化,即对连续体进行离散化,利用简化几何单元来近似逼近连续体,然后根据变形协调条件综合求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描述,另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。为正确、合理地建立有限元模型,这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。
2.1 网格数量
网格数量直接影响计算精度和计算时耗,网格数量增加会提高计算精度,但同时计算时耗也会增加。当网格数量较少时增加网格，计算精度可明显提高,但计算时耗不会有明显增加;当网格数量增加到一定程度后,再继续增加网格时精度提高就很小,而计算时耗却大幅度增加。所以在确定网格数量时应权衡这两个因素综合考虑。
2.2 网格密度
为了适应应力等计算数据的分布特点,在结构不同部位需要采用大小不同的网格。在孔的附近有集中应力,因此网格需要加密;周边应力梯度相对较小,网格划分较稀。由此反映了疏密不同的网格划分原则:在计算数据变化梯度较大的部位,为了较好地反映数据变化规律,需要采用比较密集的网格;而在计算数据变化梯度较小的部位,为减小模型规模,网格则应相对稀疏。
2.3 单元阶次
单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联,单元一般具有线性、二次和三次等形式,其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界,且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数,所以增加单元阶次可提高计算精度。但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加,在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大,因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。
2.4 单元形状
网格单元形状的好坏对计算精度有着很大的影响,单元形状太差的网格甚至会中止计算。在网格划分时应保证合理的单元形状,即使只有一个单元形状很差或畸形(畸形网格通常有单元节点交叉编号、节点重合、内角大于180°和单元面积为零等类型)时,也可能给计算结果带来很大的误差,甚至使得计算无法进行下去。单元形状评价一般有以下几个指标:
(1)单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准,理想单元的边长比为1,线性单元可接受的边长比小于3,二次单元小于10。
(2)扭曲度:单元面内的扭转和面外的翘曲程度。
(3)节点编号:节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因数有较大的影响,从而影响计算时耗和存储容量的大小。因此合理的节点编号有利于刚度矩阵对称、带状分布等求解效率,从而提高计算速度。
2.5 单元协调性
单元协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递给相邻单元。为保证单元协调,必须满足的条件是:
(1)一个单元的节点必须同时也是相邻点,而不应是内点或边界点。
(2)相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质，例如SHELL和SOLID两种单元,前者为六自由度,而后者为平动三自由度,所以SOLID只能向SHELL传递平动位移,不能传递转动位移。另外,有相同自由度的单元网格也并非一定协调。例如,BEAM3和SHELL41都具有三个自由度,但BEAM3具有三个平动自由度,SHELL41有两个平动自由度和一个转动自由度,所以SHELL41只能向BEAM3传递平动位移,却不能传递转动位移。
3 网格生成通用方法回顾
有限元网格划分方法难以准确分类,分类方法有很多,可以按产生的单元类型、生成单元的维数、自动化程度等进行分类。而且目前的网格生成法分类中,对某一具体的网格生成法叫法不一致,如有人将拓扑分解法叫做结构分解法,将节点连元法叫做填充法。本节仅对众多网格划分方法中的典型方法的算法思想进行回顾和总结。
3.1 映射法
映射法的基本思想是实际图形与标准图形的双向映射,具体有三个步骤:
(1)根据形体边界的参数方程,利用适当的映射函数,将待划分的物理域映射到参数空间,形成规则参数域;
(2)对参数域进行网格划分;
(3)将参数空间内单元的网格反向映射到欧氏空间,从而生成实际的网格。
这种网格控制机理有以下几个缺点:
(1)映射法不是完全面向几何特征的,所以很难完成自动化,尤其是对于3D区域;
(2)网格局部控制能力差;
(3)各映射块之间的网格密度相互影响程度很大,改变某一映射块的网格密度,其它映射块的网格都要做相应的调整;
(4)对于形状较为复杂的形体适应性差,要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割成一系列可映射的子区域。子域分解繁琐,所需人工交互多,难以实现网格自动的生成。
3.2 基于栅格法
基于栅格法(Grid-based Approach)也叫空间分解法,最早由Thacker等提出。该算法的基本流程:首先用一组不相交的栅格(cells)覆盖在物体之上,既可在栅格的规则点处布置节点,也可在栅格单元中随机布置节点;再对栅格和物体进行相交检测,保留完全或部分落在目标区域之内的栅格,删除完全落在目标区域之外的栅格;然后对与物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分解等操作,使其更准确地逼近目标区域;最后对内部栅格和边界栅格进行栅格级的网格剖分,进而得到整个目标区域的有限元网格。
3.3 节点连元法
节点连元法一般分为两步:(1)在物体的边界和有效区域内按照网格密度的要求均匀布点;(2)根据一定的准则将这些节点连接成三角形或四面体网格。最早提出的节点生成法是随机布点法,该方法不能保证布点的均匀性,同时为了确定可用节点,要进行点距检查和多次试探,算法效率低。近年出现的长方形网格直接布点法、等距水平扫描线直接布点法等方法在一定程度上提高了节点连元法的计算效率,但Delaunay三角剖分方法(简称DT法)的出现才真正使得节点连元法成为目前主流的全自动网格划分方法之一。
3.4 拓扑分解法
拓扑分解法(Topology Decomposition Approach),它首先是由英国剑桥大学的Wordenwaber提出来的。拓扑分解法是从形体的拓扑因素着手进行分割,而不过问元素的具体形状。首先假设网格顶点全部由目标边界顶点组成,那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。该方法生成的网格一般相当粗糙,必须与其它方法相结合,通过网格加密等过程,才能生成合适的网格。拓扑分解法的原理简单,易于处理,但它只从拓扑关系入手,不考虑几何因素,因此难以获得良好形状的单元网格,也不适用于含有曲面的三维形体。该方法现在已普遍使用于目标初始三角化,用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。
3.5 几何分解法
几何分解法(Geometry Decomposition Approach)最大的特点是节点和单元同步生成。该方法较多地考虑了待分域的几何特征,确保生成质量较好的网格单元。几何分解法可以进一步分成区域递归细分法、单元移去方法和子域分离方法。
(1)区域递归细分法(Recursive Subdivision Method)由Bykat A提出[45,46],他将实体分割成多个凸区域,并在分割线上按网格密度要求插入一组新的节点,分割的最终结果为三角形网格。
(2)单元移去方法(Element Removing Method)是从实体的边界向里一次移去一个单元网格,迭代执行下去,推进波前法就是该方法的成功代表。
推进波前法(Advancing Front Technique,AFT)最初是由Lo提出,AFT方法的基本流程是:首先离散待剖分域的边界,形成首尾相连的线段集合或拓扑相容的三角形面片集合,这种离散后的域边界称为前沿;再从前沿开始,依次插入一个节点,并连接生成一个新的单元,更新前沿,将前沿向待剖分域的内部推进。
(3)子域分离法是将问题区域一次移去一块,直到剩下最后一块。该方法一般可以分为两类:一类是每次分离出一个单元;另一类是每次分离出一个拓扑简单的子域块,然后利用其它划分算法细化子域块。这种方法一般以层次的形式利用大量的移去操作,并考虑当前的移去操作对以后的移去子块选择的影响。该方法的每一步移去操作所需的计算量很大,所以该算法在生成细化网格方面计算效率并不高,但是可以利用该算法,将整个区域分解为一个个易于网格化的子区域,其总的效率将会大大提高。
3.6 扫描法
扫描法是将离散化的基本单元形体进行旋转、扫描、拉伸等操作,获得高维网格的一种方法。这种方法难度较低,容易实现,在当今大多数商用CAD软件和有限元前置处理软件中均有这种功能。但是这种方法只适合于形状简单的三维物体,且主要靠人机交互来实现,自动化程度低。
4 研究热点
近年来有限元分析在各种工程领域中得到了广泛的应用,网格划分技术的理论基础已日趋成熟,特别是在二维空间以及三维空间的四面体网格划分方面。近几年有限元网格划分的研究领域已由二维平面问题转移到三维实体,研究重点已经由三角形(四面体)网格转变为四边形(六面体)网格,注重网格的全自动生成、网格自适应等研究,本章主要总结当前网格划分领域的研究热点。
4.1 六面体网格划分
尽管四面体网格划分技术已经非常成熟,并已广泛应用于有限元分析软件,但六面体网格的研究依然是学者们的研究热点。这主要是因为六面体具有四体无法比拟的优点和更高的计算精度。
当前,六面体单元网格生成算法主要有映射单元法、单元转换法、基于栅格法、扩展的推进波前法、多子区域法、扫描法和投影法等。
映射单元法先把三维实体分成几个大的20节点六面体区,然后使用形函数映射技术把各个六面体区域映射为很多细小的8节点六面体单元。这种方法易于实现,可以生成规整的结构化网格;但对于复杂结构,精度不高,且人机交互频繁,难以实现自动化。
单元转换法是通过其他单元转化为六面体单元。目前在三维网格的研究中,四面体网格自动生成的算法已经相当成熟,所以可以通过把四节点四面体单元分成四个六面体单元,这样可以把四面体网格自动地转化为六面体网格。但这种方法的边界拟合能力弱,生成的网格质量较差。左旭等对单元转换法进行了改进,将十节点曲边四面体转换为六面体,并采用非线性约束优化算法大幅度提高了六面体网格的单元质量。
基于栅格法首先产生六面体网格模板,将其覆盖到需要网格化的三维实体上。这种方法能实现网格生成的自动化,网格的生成速度也非常快。其最大弱点是边界单元的质量较差,网格密度很难控制。该方法已经成功地运用于有限元分析软件,如MARC等。
AFT方法的扩展主要有编须算法(Whisker Weaving)和粘贴算法(Plastering)。粘贴算法实际上是二维四边形网格逐层推进生成法(Paving Algorithm)在三维空间上的拓展,基于局部几何测试来推进网格,它始终维护网格前沿,即用来描述已剖分区域边界的四边形面片集。剖分器迭代地从网格前沿中选择一个或多个四边形,粘贴上相应的六面体并更新前沿,直到整个区域被剖分。但这种方法可能会留下一些孔洞,这些未被剖分的区域只能用四面体填充。
多子区域法分为三个主要步骤:首先将复杂目标域分解为一定数量的简单子区域,然后对每个子区域进行六面体网格划分,最后将各个子区域的网格组合成全局网格,从而形成目标域的整体网格。中轴面法就是多子区域法的典型代表,该方法已经运用于多种有限元分析软件。
扫描法是由二维四边形有限元网格通过旋转、扫描、拉伸等操作而形成六面体网格的一种方法。这种方法难度较低、较容易实现,在当今几乎所有的有限元分析软件中均有这种功能。但是,这种方法只能适用于形状简单的三维物体,且主要依靠人机交互来实现,自动化程度低。
投影法是利用良好的四面体网格(通常选择正方体或长方体网格)作为投影网格,即模板网格,通过模板网格节点与待分实体表面关键点的对应关系控制投影的路径与比例缩放情况。
4.2 曲面网格划分
工程结构中常用的薄壳结构,如飞机蒙皮、汽车外壳等,都是由自由曲面组合而成的。三维曲面是三维实体的退化,是一种特殊形式,三维曲面的有限元网格划分的应用范围很广。目前的曲面网格生成方法可粗略地分为直接法和映射法两种。
直接法的曲面网格划分是直接在曲面的物理空间进行,网格划分过程直接以曲面的局部几何形态为参考,并根据曲面的局部状况采取不同的剖分策略。直接法的研究起步较晚,目前主要有两个分支:曲面分解法和基于AFT的直接法。曲面分解法是基于四叉树理论,其基本思想是:将曲面递归分解成较小的面片,直到这些小面片在给定的逼近误差下可精确模拟原始曲面为止,然后再将小面片转换为单元网格,最终形成对原始曲面的单元划分。这种方法最大的优点就是具有曲面自适应能力,对复杂曲面的逼近程度较好。但执行速度较慢,缺乏网格的局部控制能力。其生成的网格能较好地逼近原始曲面,而且网格的质量也较高。基于AFT的直接法引入了新的判别算子,扩充了控制前沿网格生成的约束条件,使用投影算法保证插入节点在曲面上的精确定位。基于AFT的直接法具有灵活、可靠、简单等特点,可同时使用曲面曲率和密度函数控制网格,它不仅表现出良好的曲面适应能力,还具有网格的局部加密能力。
映射法首先将曲面边界映射到二维参数空间,在二维参数空间中进行网格划分,然后将划分结果反向映射到物理空间形成曲面网格,如图8所示。映射法具有实现简单、执行效率高、网格疏密度的可控性强、可局部加密和可重划分等优点。但参数空间上单元形状良好的网格映射到物理空间后可能会出现畸变。
5 展望
目前有限元网格生成技术已经相当成熟,可以实现三维领域的网格划分全自动,但在网格划分方面依然有很大的研究空间。有限元网格划分还有许多难题没有得到彻底解决,网格划分的效率、单元质量等还有待进一步提高。分析当前有限元网格划分技术,可以总结出有限元建模的发展趋势:
(1)集成CAD建模系统与CAE软件,实现有限元建模的参数化。以参数化CAD系统为平台,将参数化设计运用到网格划分,以设计参数来控制有限元网格,实现CAD建模系统的几何信息和非几何信息特征向有限元模型的自动转换。
(2)多种通用算法的结合使用。前面已经分析了各种算法的适用范围与优缺点,它们都各有千秋,如何实现多种算法的综合运用、扬长避短,一直是近年的研究热点。
(3)网格划分的全自动化。目前网格划分的全自动化已经应用于三维领域,但全自动生成的有限元网格在计算效率、网格质量等方面都存在不足。特别是六面体网格的全自动生成,目前基本没有有限元软件可以自动对复杂区域进行六面体网格划分,网格的自适应性就更难解决了。
(4)网格化分的自适应性。在工程分析中自适应网格可以通过有限元计算结果后的误差分析,重新优化有限元网格。自适应网格生成对于提高有限元分析的精度是非常有效的,随着有限元研究与应用领域的不断扩展,自适应网格生成算法也会不断发展。
(5)人工智能和专家系统的应用。有限元网格划分非常依赖经验,采用专家系统实行知识推理机制和人工智能将会大大提高有限元自动建模的效率和模型的正确性。
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