北邮计算机仿真设计报告.doc

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计算机控制仿真课程设计

学院 自动化学院
专业 自动化专业
班级
学号 10212006（03）
10212012（09）
10212014（12）
指导教师

2013年7月

目录
一、引言1
1.1课程设计简介1
1.2选题与小组分工1
二、数字PID闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现2
2.1课程设计的基本理论知识2
2.1.1 数字PID的控制算法2
2.1.2 PID调节器参数对控制性能的影响4
2.1.3 采样时间T的选择4
2.2 课程设计的设计要求5
2.3 课程设计的总体方案设计6
2.4 课程的详细设计6
2.4.1 模拟PID控制器的设计6
1.4.2 数字PID控制器的设计9
2.4.3 仿真结果分析12
2.5调试Simulink仿真12
2.5.1 当Kp变化时12
2.5.2 当Ti变化，即Ki变化时14
2.5.3 当Td变化，即Kd变化时18
2.6设计总结21
三、大林算法计算机控制系统设计与仿真实现21
3.1 设计要求21
3.2 总体方案设计22
3.3 基本理论知识22
3.4 详细设计25
3.5 调试Simulink仿真26
四、二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计与其参数整定30
4.1 设计要求30
4.2 总体方案设计31
4.3 基本理论知识31
4.4 详细设计34
4.5 分析与总结40
五、二阶系统串联校正装置的设计与分析40
5.1 设计要求40
5.2 基本理论知识40
5.3 详细设计42
5.4 调试Simulink仿真45
5.5 设计总结46
六、单级倒立摆的最优控制器设计47
6.1 设计要求47
6.2 总体方案设计47
6.3 基本理论知识48
6.4 详细设计49
6.6 调试Simulink仿真56
6.6 设计总结57
参考文献58

58 / 61

一、 引言
1.1课程设计简介
计算机仿真技术是一种借助高速、大存储量数字计算机与相关技术，对复杂真实系统的运行过程或状态进行数字化模拟的技术。随着技术的发展，计算机仿真的应用领域越来越广，在通信，控制，航天等领域得到了广泛的应用。
MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的界面友好的用户环境。由控制领域专家推出的MATLAB工具箱之一的控制系统(Control System)，在控制系统计算机辅助分析与设计方面获得了广泛的应用，并且MATLAB工具箱的容还在不断增加，应用围也越来越宽。控制系统的分析与设计方法，不论是古典的还是现代的，都是以数学模型为基础进行的。MATLAB可以用于以传递函数形式描述的控制系统。
在本文中，我们将以数字PID闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现、大林算法计算机控制系统设计、二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计与其参数整定、二阶系统串联校正装置的设计与分析、单级倒立摆的最优控制器设计为例，说明如何使用MATLAB进行辅助分析。Simulink仿真、计算传递函数零极点、计算闭环系统对单位阶跃输入的响应等等，都会有所涉与。
1.2选题与小组分工
1.2.1选题
选题：第一题：数字PID闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现
第三题：大林算法计算机控制系统
第四题：二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计与其参数整定
第五题：二阶系统串联校正装置的设计与分析
第六题：单级倒立摆的最优控制器设计
1.2.2分工
分工：组长 10212006 负责第一、六题；
组员 10212014 负责第三、四题；
10212012 负责第五题。

二、数字PID闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现
2.1课程设计的基本理论知识
2.1.1 数字PID的控制算法
在模拟调节系统中，PID算法的表达式为：

式中：
—调节器的输出信号；
—调节器输入的偏差信号，它等于测量值与给定值之差；
—调节器的比例系数；
—调节器的时间积分常数；
—调节器的时间微分常数。
对上式进行离散化，用数字形式的差分方程代替连续系统的微分方程，此时积分项和微分项可用求和与增量式表示：

式中：
—采样周期；
e(k)—第k次采样时的偏差值；
e(k-1)—第k-1次采样时的偏差值；
k—采样序号，k=0,1,2···
u(k)—第k次采样时调节器的输出。
则有：

上面两式相减：

式中：
—积分系数；
—微分系数。
位置式PID控制算法：

图2-1 位置式PID控制算法结构框图

增量式PID控制算法

图2-2 增量式PID控制算法结构框图

2.1.2 PID调节器参数对控制性能的影响
1、不同Kp对控制性能的影响
(1) 对动态性能的影响
比例控制参数Kp加大，使系统的动作灵敏，速度加快；Kp偏大，振荡次数加多，调节时间加长；当Kp太大时，系统会趋于不稳定；若Kp太小，又会使系统的动作缓慢。
(2) 对稳态性能的影响
加大比例控制系数Kp，在系统稳定的情况下，可以减小稳态误差提高控制精度，却不能完全消除稳态误差。
2、积分控制参数TI对控制性能的影响
(1) 对动态性能的影响
积分控制参数TI通常使系统的稳定性下降。TI太小系统将不稳定，TI偏小，振荡次数较多，TI太大，对系统性能的影响减少。
(2) 对稳态性能的影响
积分控制参数TI能消除系统的稳态误差，提高控制系统的控制精度。但TI太大时，积分作用呆太弱，以至不能减少稳态误差。
3、微分控制参数TD对控制性能的影响
微分控制可以改善动态特性，如超调量减少，调节时间缩短，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高控制精度。当TD偏大时，超调量较大，当TD偏小时，超调量也较大，调节时间也较长。
2.1.3 采样时间T的选择
（1）T越小，随动性和抗干扰性能越好。
（2）必须满足采样定理的要求，对于随动系统，为系统的开环截止频率。若单路采样时间为，则采样周期，N为测量控制回路数。
（3）选择采样周期T太小，将使微分积分作用不明显。
（4）快速系统的T应取小，反之，T可取大些。
（5）执行机构动作惯性大时，T应取大些。
2.2 课程设计的设计要求
已知某晶闸管直流单闭环调速系统的转速控制器选用 PID控制器，结构如图1-3所示。

图2-3 某晶闸管直流单闭环调速系统结构框图
要求：
1、运用 MATLAB/Simulink 软件对控制系统进行建模并对模块进行参数设置；
2、封装PID模块的控制图；
3、使用期望特性法来确定 Kp、 Ti、Td以与采样周期 T，期望系统对应的闭环特征根为：-300，-300，-30+j30和-30-j30，观察其单位阶跃响应曲线，得出仿真结果并进行仿真分析；
4、记录在改变PID控制某一控制参数（比例系数或积分系数或微分系数）时，该系统对应的阶跃响应曲线的变化，并观察阐述发生这种变化的规律；
5、总结P、I、D控制参数的改变对系统控制效果的影响。

2.3 课程设计的总体方案设计
首先，运用MATLAB/Simulink软件对控制系统进行建模并对模块进行参数设置，然后使用期望特性法来确定Kp、Ti、Td以与采样周期T，得到期望系统对应的闭环特征根，最后通过改变PID的某一个参数，观察此参数变化对系统的影响。
2.4 课程的详细设计
2.4.1 模拟PID控制器的设计
假设PID控制器的传递函数为：

闭环系统的传递函数为：

希望的闭环极点为-300，-300，-30+j30，-30-j30，得到的期望特征方程为：

两极点方程对应项系数相等，可解得：

1、设计框图

图2-4 Simulink设计框图

封装PID模块的控制图如图2-5所示

图2-5 封装PID模块的控制图

2、系统仿真
期望的系统的参数设置如图2-6所示：

图2-6 期望的系统的参数设置

仿真结果如图2-7所示：

图2-7 仿真结果
超调量为：6.82% 上升时间：0.0121s 调节时间：0.0784s

1.4.2 数字PID控制器的设计
位置式PID控制算法：

两式相减，得：

式中
—积分系数；
—微分系数。
由前面算得：

由经验法得到T为0.002s，则：

1、设计框图

图2-8 Simulink设计框图

封装PID模块的控制图如图2-9所示：

图2-9封装PID模块的控制图
2、系统仿真
期望的系统的参数设置如图2-10所示：

图2-10 期望的系统的参数设置
仿真结果如图2-11所示：

图2-11 仿真结果
超调量为，调节时间，上升时间。
2.4.3 仿真结果分析
根据仿真结果，我们可以得到数字PID控制器控制的系统输出，超调量为，调节时间，上升时间。系统可快速达到稳态，但是相对于模拟PID控制器的输出，系统的快速性、稳定性均有一定程度的降低。

2.5调试Simulink仿真
2.5.1 当Kp变化时
当Kp=1时：

图2-12 当Kp=1时的仿真结果
超调量:27.5% 上升时间：1.02s 调节时间:0.85s，。

当Kp=8时：

图2-13 当Kp=8时的仿真结果
超调量：88.7% 上升时间：1.017s 调节时间：4.5s

当Kp=15时：

图2-14 当Kp=15时的仿真结果
此时系统已不稳定

结论：
比例系数只改变系统的增益，对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上。比例系数KP太小，系统动作缓慢，增大比例系数可提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，提高响应速度但会降低系统的相对稳定性，过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生震荡，使稳定性变差。

2.5.2 当Ti变化，即Ki变化时
当Ki=1时：

图2-15 当Ki=1时的仿真结果
超调量：45.75% 上升时间：0.017s 调节时间：9.997s

当Ki=10时：

图2-16 当Ki=10时的仿真结果
超调量：45.29% 上升时间：0.0165s 调节时间：2.9s

当Ki=50时：

图2-17 当Ki=60时的仿真结果
超调量：48.86% 上升时间：0.0171s 调节时间：0.5s

当Ki=100时：

图2-18 当Ki=100时的仿真结果
超调量：56.85% 上升时间：0.017s 调节时间：0.35s

当Ki=200时：

图2-19 当Ki=200时的仿真结果
超调量：69.93% 上升时间：0.0175s 调节时间：0.4s
当Ki=400时：

图2-20 当Ki=400时的仿真结果
超调量：96.81% 上升时间：0.0175s 调节时间：0.4s

当Ki=500时：

图2-21 当Ki=500时的仿真结果
超调量：110% 上升时间：0.0175s 调节时间：0.4s
结论：
积分控制主要目的使系统无稳态误差。主要改善系统的稳态性能。减小积分时间有利于减小超调，减小震荡，使系统的稳定性增加，但是系统静差消除时间变长。
2.5.3 当Td变化，即Kd变化时
当Kd=0.001时：

图2-22 当Kd=0.001时的仿真结果
超调量：88.43% 上升时间：0.0278s 调节时间：2.21s

当Kd=0.01时：

图2-23 当Kd=0.01时的仿真结果
超调量：78.94% 上升时间：0.026s 调节时间：0.92s

当Kd=0.05时：

图2-24 当Kd=0.05时的仿真结果
超调量：60.43% 上升时间：0.0193s 调节时间：0.43s

当Kd=0.10时：

图2-25 当Kd=0.10时的仿真结果
超调量：62.02% 上升时间：0.016s 调节时间：0.41s

当Kd=0.2时

图2-26 当Kd=0. 5时的仿真结果
超调量：79.72% 上升时间：0.0125s 调节时间：1.82s

当Kd=0.3时

图2-27 当Kd=0. 3时的仿真结果
结论：
微分系数能预测误差变化得趋势，能抑制误差的控制作用等于0，避免被控量的严重超调。主要改善系统的动态性能。
增大微分时间常数Td（即减小微分系数Kd=Kp/Kd）有利于加快系统的响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。微分系数Kd对系统超调的抑制作用非常明显。

2.6设计总结
P、I、D控制是经典常用的控制方法，在现实中有着广泛的应用。了解P、I、D参数的改变对系统控制效果的影响十分重要。
PID控制的结构比较简单，但三个系数有着比较明显的意义：比例控制其直接响应与当前的误差信号，一旦发生误差信号，则控制其立即发生作用以减少偏差，Kp的值增大则偏差将减小，然而这不是绝对的，考虑根轨迹分析，Kp无限增大会使闭环系统不稳定。
积分控制器对以往的误差信号发生作用，引入积分环节能消除控制中的静态误差，但Ki的值增大可能增加系统的超调量。积分作用太强也会引起振荡，太弱会使系统存在余差。
微分控制对误差的导数，即变化率发生作用，有定的预报功能，有超前调节的作用，能在误差有大的变化趋势时施加合适的控制，Kd的值增大能加快系统的响应速度，减少调节时间。对滞后大的对象有很好的效果。但不能克服纯滞后，使用微分调节可使系统收敛周期的时间缩短。微分时间太长也会引起振荡。
三、大林算法计算机控制系统设计与仿真实现
3.1 设计要求
已知被控对象的传递函数为：

采样周期为T=0.5s，用大林算法设计数字控制器D(z)，并分析是否会产生振铃现象。
要求：
1、用大林算法设计数字控制器D(z)；
2、在 Simulink 仿真环境画出仿真框图与得出仿真结果，画出数字控制；
3、绘制并分析数字控制器的振铃现象；
4、对振铃现象进行消除；
5、得出仿真结果并进行仿真分析；
6、程序清单与简要说明；
7、撰写设计报告（列出参考文献，以与仿真结果与分析）。
3.2 总体方案设计

图3-1 系统控制框图

3.3 基本理论知识
3.3.1大林控制算法的设计目标
大林控制算法的设计目标是使整个闭环系统所期望的传递函数相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串联，即：

整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象的纯滞后时间一样。闭环系统的时间常数为，纯滞后时间y与采样周期T有整数倍的关系，。
3.3.2大林算法的D(z)基本形式
带有纯滞后的一阶惯性环节：

其与零阶保持器相串联的脉冲传递函数为：

于是相应的控制器形式为：

3.3.3振铃现象与其抑制
（1）定义：
控制量以1/2的采样频率（即二倍采样周期）振荡的现象称为“振铃”。这种振荡一般是衰减的。
（2）产生原因：
如果在U(z)的脉冲传递函数表达式中，包含有在z 平面单位圆接近-1的实数极点，则会产生振铃现象。
（3）解决办法：
令数字控制器中产生振铃现象的极点（左半平面上接近-1的极点）的因子中的z=1，就可以消除振铃现象。
3.3.4振铃现象的消除
被控对象为一阶惯性环节。
当被控对象为纯滞后一阶惯性环节是，数字控制器D(z)为：

由此可以得到振铃幅度为：
于是，如果选择 ，则，无振铃现象；如果选择，则有振铃现象。由此可见，当系统的时间常数大于或是等于被控对象的时间常数时，即可消除振铃现象。
将D(z)的分母进行分解可得：

由上式，z=1处的极点不会引起振铃现象。可能引起振铃现象的因子为：

当N=0时，此因子消失，无振铃可能。
当N=1时，有一个极点在
，当远小于T时，，即当远小于T时，将产生严重的振铃现象。
当N=时，极点为
当远小于T时，，于是，有严重的振铃现象。
以N=2时为例，数字控制器的形式为：

当远小于T时，有严重的振铃现象，产生振铃现象的极点为式中的，于是令式中z=1，于是该因子变为：

故消除振铃现象后，D(z)的形式为：

3.4 详细设计
3.4.1 设计大林控制器
已知某控制系统被控对象的传递函数为

则可得，连同零阶保持器在的系统广义被控对象的传递函数：

其广义对象的z传递函数：

大林算法的设计目标就是设计一个数字控制器，使整个闭环系统的z传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，若，则可得：

则大林控制器为：

3.4.2 振铃现象分析与消除
由D(z)得到振铃幅度为：

由于RA>0，则有振铃现象。
从D(z)得其三个极点为：

根据判定结论，处的极点不会引起振铃现象。所以，引起振铃现象的极点为：

依据大林消除振铃现象的方法，应去掉分母中的因子，即令z=1，代入上式即可。此时，

3.5 调试Simulink仿真
3.5.1大林控制器设计
通过前面的分析，我们得到大林控制器为：

则Simulink仿真程序如图3-2所示：

图3-2 仿真程序
为了验证是否有振铃现象，我们将控制器的输入端加单位阶跃信号，观察其输出控制量波形，如图3-3所示：

图3-3 控制器在单位阶跃输入作用下的输出控制量波形
从上图，我们观察到，数字控制器的输出以接近2T的周期大幅度上下摆动。因此该控制器有振铃现象，需要消除振铃。
系统的输出曲线如图3-4所示：

图3-4 输出曲线
3.5.2 消除振铃现象
根据前面分析的结果，为了消除振铃，我们将控制器设置为：

则Simulink仿真程序如图3-5所示：

图3-5修正后的仿真程序
此时我们观察修正后的控制器在单位阶跃输入作用下的输出控制量波形，如图3-6所示，我们发现，控制器的输出不再以接近2T的周期大幅度上下摆动，振铃现象被消除。

图3-6 修正后的控制器在单位阶跃输入作用下的输出控制量波形

修正后系统的输出曲线如图3-7所示：

图3-7修正后的输出曲线
系统的超调量σ%=1.5%，调节时间Ts=7.14s。
从本题我们得到以下结论，虽然振铃现象已消除，但是系统的快速性有所降低，系统需要更长的时间达到稳态，而未消除振铃之前，系统能够迅速达到稳态，但是由于存在振铃，会降低设备的寿命，因此实际生产过程中，我们往往需要多方面考虑问题，避免顾此失彼。
四、二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计与其参数整定
4.1 设计要求
考虑弹簧－阻尼系统如图4-1所示，其被控对象为二阶环节，传递函数G(s)如下，参数为M=1kg，b=2N.s/m，k=25N/m，F(s)=1。

图4-1 弹簧－阻尼系统示意图

弹簧－阻尼系统的微分方程和传递函数为：

图4-2 闭环控制系统结构图

要求完成：
1、控制器为P控制器时，改变比例带或比例系数大小，分析对系统性能的影响并绘制相应曲线；
2、控制器为PI控制器时，改变积分时间常数大小，分析对系统性能的影响并绘制相应曲线；(当kp=50时，改变积分时间常数)
3、设计PID控制器，选定合适的控制器参数，使阶跃响应曲线的超调量σ%<20%,过渡过程时间ts<2s, 并绘制相应曲线。
4.2 总体方案设计

图4-3闭环控制系统结构图
将控制器分别设计成P、PI、PID三种控制器，并比较观察其各自特点。
4.3 基本理论知识
4.3.1比例（P）控制
比例(P)控制是一种最简单的控制方式，其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳定误差。
比例控制器的传递函数为：

式中，Kp称为比例系数或增益（视情况可设置为正或负），一些传统的控制器又常用比例带（Proportional Band，PB），来取代比例系数Kp，比例带是比例系数的倒数，比例带也称为比例度。
对于单位反馈系统，0型系统响应实际阶跃信号的稳态误差与其开环增益K近视成反比，即：

对于单位反馈系统，I型系统响应匀速信号的稳态误差与其开环增益Kv近视成反比，即：

P控制只改变系统的增益而不影响相位，它对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上，增大比例系数可提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但这会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定，因此，在系统校正和设计中P控制一般不单独使用。
4.3.2 比例积分(PI)控制
比例积分(PI)控制具有比例加积分控制规律的控制称为比例积分控制器，即PI控制，PI控制的传递函数为：

其中，Kp 为比例系数，Ti称为积分时间常数，两者都是可调的参数.控制器的输出信号为：

PI控制器可以使系统在进入稳态后无稳态误差。
PI控制器在与被控对象串联时，相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差,改善系统的稳态性能，而增加的负实部零点则可减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性与动态过程产生的不利影响.在实际工程中，PI控制器通常用来改善系统的稳定性能。
4.3.3 比例积分微分(PID)控制
具有比例+积分+微分控制规律的控制称为比例积分微分控制，即PID控制，PID控制的传递函数为：

其中， Kp 为比例系数，Ti为微分时间常数，为微分时间常数，三者都是可调的参数。PID控制器的输出信号为：

PID控制器的传递函数可写成：

PI控制器与被控对象串联连接时，可以使系统的型别提高一级，而且还提供了两个负实部的零点。与PI控制器相比，PID控制器除了同样具有提高系统稳定性能的优点外，还多提供了一个负实部零点。因此在提高系统动态系统方面提供了很大的优越性。在实际过程中，PID控制器被广泛应用。
PID控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超调量，加快反应，是综合了PI控制与PD控制长处并去除其短处的控制。从频域角度看，PID控制通过积分作用于系统的低频段，以提高系统的稳定性，而微分作用于系统的中频段，以改善系统的动态性能。
PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心容。它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行 PID控制器参数的整定步骤如下：(1)首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作；(2)仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；(3)在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。
4.4 详细设计
4.4.1 P控制器
P控制器的传递函数为：

系统传递函数：

用matlab作出Kp分别为20、40、60、80的阶跃响应曲线：
z=[20:20:80];i=1;
hold on
for kp=z
subplot(2,2,i);
num=kp;den=[1,2,25+kp];
step(num,den); i=i+1; %依次为Kp等于20,40,60,80的阶跃响应图
end
title('Step Response');hold off
仿真图如下：

图4-4 依次为Kp=20、40、60、80的情况
由图可看出，随着Kp加大，曲线图波动变大，稳定性变差，准确性变好，系统响应时间加快。
系统的超调量σ%和调节时间Ts：
Kp=20，σ%=62.2%，Ts=3.86s；
Kp=40，σ%=67.5%，Ts=3.83s；
Kp=60，σ%=71.0%，Ts=3.76s；
Kp=80，σ%=73.5%，Ts=3.64s；
4.4.2 PI控制器
PI控制器的传递函数为：

Simulink建立的仿真模型为：

图4-5 PI控制的仿真建模

图4-6 在Kp=50的情况下Ki为20的情况

图4-7 在Kp=50的情况下Ki为40的情况

图4-8 在Kp=50的情况下Ki为60的情况

图4-9 在Kp=50的情况下Ki为80的情况
系统传递函数：

用matlab作出Kp=50时，Ki分别为20、40、60、80的阶跃响应曲线：
kp=50;z=[20:20:80];i=1;
hold on
for ki=z
subplot(2,2,i); num=[kp, ki];den=[1,2,25+kp,ki];
step(num,den);i=i+1; % 依次为Ki等于20,40,60,80的阶跃响应图
end
title('Step Response');hold off

图4-10 在Kp=50的情况下Ki分别为20、40、60、80的情况
由图可看出，在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，PI控制器可以使系统在进入稳态后无稳态误差。几个曲线图比较发现后，Ki变大,波形图略微变化，稳定性变差，准确性变好，响应时间稍微变快。
系统的超调量σ%和调节时间Ts：
Ki=20，σ%=18.7%，Ts=10.5s；
Ki=40，σ%=24.4%，Ts=7.39s；
Ki=60，σ%=29.9%，Ts=5.95s；
Ki=80，σ%=35.4%，Ts=5.93s；
4.4.3 PID控制器
PID控制器的传递函数为：

Simulink建立的仿真模型为：

图4-11 PID控制的仿真建模
经过多轮调试当Kp=20，Ki=70，Kd=10满足使阶跃响应曲线的超调量σ%<20%，过渡过程时间Ts<2s。

图4-12 PID控制仿真结果
系统的超调量σ%=3.4999%，调节时间Ts=1.7421s。
4.5 分析与总结
（1）P控制器只改变系统的增益而不影响相位，它对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上，增大比例系数可提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但这会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定。
（2）PI控制器消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能。
（3）PID控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超调量，加快反应,是综合了PI控制与PD控制长处并去除其短处的控制。从频域角度看，PID控制通过积分作用于系统的低频段，以提高系统的稳定性，而微分作用于系统的中频段，以改善系统的动态性能。

五、二阶系统串联校正装置的设计与分析
5.1 设计要求
设某被控系统的传递函数G(s)如下：

选用合适的方法设计一个串联校正装置K(s)，使闭环系统的阶跃响应曲线超调量，过渡过程时间，开环比例系数，并分析串联校正装置中增益、极点和零点对系统性能的影响。
5.2 基本理论知识
基于系统频率特性的串联校正设计方法在工程中被大量采用，主要分为相位超前、相位滞后以与相位滞后—超前校正设计等三种方法。相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性，对于系统的稳态精度影响较小。相位滞后校正可以明显地改善系统的稳态性能，但会使动态响应过程变缓；而相位滞后超前校正则把两者的特性结合起来，用于动态、静态特性要求较高的系统。
如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调整时间、超调量、阻尼系统、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用根轨迹法校正。
根轨迹法校正的基本思路为借助根轨迹曲线进行校正。
如果系统的期望主导极点往往不在系统的根轨迹上，由根轨迹的理论，添加上开环零点或极点可以使根轨迹曲线形状改变。若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则只要加上一对零、极点，使零点位置位于极点右侧。如果适当选择零、极点的位置，就能够使系统根轨迹通过期望主导极点s1，并且使主导极点在s1点位置时的稳态增益满足要求。此即相当于相位超前校正。
如果系统的期望主导极点若在系统的根轨迹上，但是在该点的静态特性不满足要求，即对应的系统开环增益K太小。单纯增大K值将会使系统阻尼比变小，甚至于使闭环特征根跑到复平面S的右半平面去。为了使闭环主导极点在原位置不动，并满足静态指标要求，则可以添加上一对偶极子，其极点在其零点的右侧。从而使系统原根轨迹形状基本不变，而在期望主导极点处的稳态增益得到加大。此即相当于相位滞后校正。
根轨迹超前校正的主要步骤为：
（1）依据要求的系统性能指标，求出主导极点的期望位置。
（2）观察期望的主导极点是否位于校正前的系统根轨迹上。
（3）如果需要设计校正网络，设计校正网络。
（4）校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极点位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加一个相位超前网络的实零点。
（5）校正网络极点的确定。确定校正网络极点的位置，使期望的主导极点位于校正后的根轨迹上。利用校正网络极点的相角，使得系统在期望主导极点上满足根轨迹的相角条件。
（6）估计在期望的闭环主导极点处的总的系统开环增益。计算稳态误差系数。如果稳态误差系数不满足要求，重复不述步骤。
（7）利用根轨迹设计相位超前网络时，超前网络的传递函数可表示为：

其中|z|<|p|。
（8）设计超前网络时，首先应根据系统期望的性能指标确定系统闭环主导极点的理想位置，然后通过选择校正网络的零、极点来改变根轨迹的形状，使得理想的闭环主导极点位于校正后的根轨迹上。
5.3 详细设计
5.3.1 建立校正前系统模型
因为开环比例系数，即，得。
取k=20，在matlab下建立校正前系统模型：
>> num=[20];den=[1,2,0];
>> Gs=tf(num,den);
>> G=feedback(Gs,1);
在控制器C取值为常数1的情况下，绘制此单位负反馈线性系统的根轨迹图、系统的伯德图以与闭环阶跃响应曲线：
>> sisotool(Gs)
>> step(G)

图5-1 校正前根轨迹图、系统的伯德图以与闭环阶跃响应曲线

图5-2 校正前的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线可以看到，此时在没有串联校正装置情况下，超调量为48.5% > 20%，过渡过程时间Ts=3.78s>1.5s，达不到指标要求。

5.3.2 设计根轨迹校正器
在SISO Design Tool 窗口中，对控制器C进行设置。利用增加和删除零极点的设置菜单，对控制器C的零极点任意设置。同时对控制器C的增益进行设置。
在系统设计完成后，需要对其做进一步分析。在matlab中分析校正后闭环系统的阶跃响应，计算超调量、调整时间等指标，以确保系统满足设计要求。若不满足设计要求，则重复上述步骤，不断调整Gc的零极点，最终达到设计要求。
重复执行多次上述步骤后，可得出串联校正装置中增益、极点和零点对系统性能产生一定的影响。
（1）校正装置中增益对系统性能的影响：
可以改变开环增益的大小，从而改善稳态误差。
（2）校正装置中极点对系统性能的影响：
增加开环极点，使得原系统根轨迹的整体走向在S平面向右移，使系统稳定性变坏。
（3）校正装置中零点对系统性能的影响：
增加开环零点，使得原系统根轨迹的整体走向在S平面向右移，使系统稳定性得到改善。
经过多次调节后，最终得到理想结果。

图5-3 得到理想效果时的零极点配置

5.3.3 分析校正后系统的稳态性能
Matlab如下：
>> numc=[0.25,1];denc=[0.067,1];
>> Gc=tf(numc,denc)
>> G=Gc*Gs;
>> G=feedback(G,1)
Transfer function:
5 s + 20
------------------------------
0.04 s^3 + 1.08 s^2 + 7 s + 20
>> step(G)

图5-4 校正后的阶跃响应曲线

经计算，超调量12.1% < 20%，过渡过程时间Ts = 1.04s<1.5s满足设计要求。
所以超前校正装置函数为：

5.4 调试Simulink仿真

图5-5 simulink建模示意图

图5-6 添加校正器后的仿真响应图

由图可知，系统的仿真结果与图5-4中的阶跃响应曲线完全一致，从而验证了系统设计的正确性。

5.5 设计总结
当性能指标以时域特征量给出时，采用根轨迹法进行校正比较方便。根轨迹法校正的优点是根据根平面上闭环零、极点的分布位置，可直接估算系统的动态性能。
如果原系统动态性能不能满足要求，则可采取串联超前校正装置进行校正。串联超前校正的基本出发点，是先设置一对能满足性能指标要求的共扼主导极点，称为希望主导极点。由于原系统不满足动态性能要求，希望主导极点自然不会在原系统的根轨迹上。使超前网络的零点落在原系统主导实数极点(坐标原点的极点除外) 附近，以构成偶极子，使已校正系统根轨迹形状改变，向左移动，以增大系统的阻尼和带宽，并使希望主导极点落在已校正系统的根轨迹上，从而满足性能指标要求。

六、单级倒立摆的最优控制器设计
6.1 设计要求
某倒立单摆系统如图6-1所示，其状态方程已知。

图6-1 倒立单摆系统如示意图

其中小车的质量为M=0.5kg，倒立单摆的质量为m=0.2kg，小车的摩擦系数为b=0.1N/m/s，端点与倒立单摆质心的距离为l=0.3m，倒立单摆的惯量I=0.006kg*m2，输入量u=F是施加在小车上的外力，四个状态变量分别是小车的坐标x，x的一阶导数，倒立单摆的垂直角度Φ，Φ的一阶导数。输出的被控量分别是小车的坐标x和倒立单摆的垂直角度Φ。
试根据误差指标J最优意义下最优的规则设计线性二次型最优控制器，利用SIMULINK搭建系统框图进行仿真，满足以下指标：
1、输出量x和Φ的过渡过程时间小于2s