23直线的参数方程.pptx

第二讲第二讲 参数方程参数方程直线的参数方程直线的参数方程两点式两点式:点斜式点斜式:一般式一般式:直线的普通方程都有哪些直线的普通方程都有哪些?M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点M(xM(x，y)y)，则，则，则，则xOy所以，直线的参数方程为：所以，直线的参数方程为：已知一条直线经过点已知一条直线经过点M(x0,y0)，倾斜角，倾斜角，求这条直线的参数方程求这条直线的参数方程事实上事实上 所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数t t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点MM到定到定到定到定点点点点MM0 0的距离的距离的距离的距离.|t t|=|=|MM0 0M M|M0MxOy当当当当000sin0，直线的单位方向向量直线的单位方向向量直线的单位方向向量直线的单位方向向量总是向上的，因此有结论：总是向上的，因此有结论：总是向上的，因此有结论：总是向上的，因此有结论：t0t0：则：则：则：则的方向向上，即的方向向上，即的方向向上，即的方向向上，即MM在在在在MM0 0的上方；的上方；的上方；的上方；t0t0时时.其中的其中的 t 才具有上述几何意义。才具有上述几何意义。MM(-1(-1，2)2)ABx xy yO O 例例例例1.1.已知直线已知直线已知直线已知直线 l l:x+y-1=0:x+y-1=0与抛物线与抛物线与抛物线与抛物线 y=xy=x2 2 交于交于交于交于A,BA,B两点两点两点两点,求线段求线段求线段求线段ABAB的长度和点的长度和点的长度和点的长度和点M(-1,2)M(-1,2)到到到到A,BA,B两点的距离之积两点的距离之积两点的距离之积两点的距离之积 方法一：方法一：方法一：方法一：用普通方程去解用普通方程去解用普通方程去解用普通方程去解方法二：方法二：方法二：方法二：用参数方程去解；用参数方程去解；用参数方程去解；用参数方程去解；点点点点MM是否在直线上？是否在直线上？是否在直线上？是否在直线上？解：解：解：解：直线的参数方程为：直线的参数方程为：直线的参数方程为：直线的参数方程为：代入抛物线得：代入抛物线得：代入抛物线得：代入抛物线得：由参数的几何意义得：由参数的几何意义得：由参数的几何意义得：由参数的几何意义得：直线直线 （t为参数）与曲线为参数）与曲线y=f(x)交于交于M1,M2两点，对应的参数分别为两点，对应的参数分别为t1,t2（1）曲线的弦）曲线的弦M1M2的长是多少？的长是多少？（2）线段）线段M1M2的中点的中点M对应的参数对应的参数t的值是多少？的值是多少？探究思考探究思考B练习：练习：思考思考:若直线的参数方程为若直线的参数方程为(t为参数为参数)|AB|为多少？为多少？B456 例例例例2 2、经过点经过点经过点经过点M(2,1)M(2,1)作直线作直线作直线作直线l l，交椭圆，交椭圆，交椭圆，交椭圆 于于于于A,BA,B两点两点两点两点.如果点如果点如果点如果点MM恰好为线段恰好为线段恰好为线段恰好为线段ABAB的中点的中点的中点的中点,求直线求直线求直线求直线l l的方程的方程的方程的方程.解：设过点解：设过点解：设过点解：设过点M(2,1)M(2,1)的直线的直线的直线的直线 l l 的参数方程为的参数方程为的参数方程为的参数方程为:（t t为参数），为参数），为参数），为参数），代入椭圆方程，整理得代入椭圆方程，整理得代入椭圆方程，整理得代入椭圆方程，整理得 因为点因为点因为点因为点MM在椭圆内，这个方程必有两个实根，设在椭圆内，这个方程必有两个实根，设在椭圆内，这个方程必有两个实根，设在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,BA,B两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2，则，则，则，则点点点点MM为线段为线段为线段为线段ABAB的中点，所以的中点，所以的中点，所以的中点，所以于是直线于是直线于是直线于是直线l l的斜率的斜率的斜率的斜率因此，直线的方程是因此，直线的方程是因此，直线的方程是因此，直线的方程是:即即即即例例3 当前台风中心当前台风中心P在某海滨城市在某海滨城市O向东向东300km处生成，处生成，并以并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移动度方向移动.已知距台风已知距台风中心中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?PMOyx 解：解：解：解：以以以以OO为原点为原点为原点为原点,OP,OP为为为为x x轴建立坐标系轴建立坐标系轴建立坐标系轴建立坐标系,则则则则 P(300,0),P(300,0),圆的方程为圆的方程为圆的方程为圆的方程为当台风中心在圆当台风中心在圆当台风中心在圆当台风中心在圆OO上或内部时台风将影响该岛上或内部时台风将影响该岛上或内部时台风将影响该岛上或内部时台风将影响该岛解得解得解得解得大约大约2小时以后，将受台风影响小时以后，将受台风影响.设台风中心所在射线设台风中心所在射线设台风中心所在射线设台风中心所在射线l l的参数方程为的参数方程为的参数方程为的参数方程为由此可有由此可有由此可有由此可有即即PMOyx思考：思考：如果台风侵袭的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当比如：当前半径为前半径为250km，并以，并以10km/h的速度不断增大的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？那么问题又该如何解决？思考：思考：海滨城市海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？受台风侵袭大概持续多长时间？大概持续大概持续 6.7 小时小时圆圆O的方程可改为的方程可改为 x2+y2=(250+10t)2由此可有由此可有OCADB21xyP 例例4 如图，如图，AB,CD是中心为点是中心为点O的椭圆的两条相的椭圆的两条相交弦，交点为交弦，交点为P，两弦，两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为与椭圆长轴的夹角分别为1，2，且，且1=2，求证：，求证：|PA|PB|=|PC|PD|PA|PB|=|PC|PD|小结小结1.直线参数方程直线参数方程2.利用直线参数方程中参数利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化求直线的几何意义，简化求直线上两点间的距离上两点间的距离.3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.探究探究:直线的参直线的参数方程形式是数方程形式是不是唯一的不是唯一的|t|=|M0M|例例例例1 1 已知过点已知过点已知过点已知过点P(2,0)P(2,0)，斜率为，斜率为，斜率为，斜率为4/34/3的直线和抛物线的直线和抛物线的直线和抛物线的直线和抛物线y y2 2=2x=2x相交于相交于相交于相交于A,BA,B两点，设线段两点，设线段两点，设线段两点，设线段ABAB的中点为的中点为的中点为的中点为MM，求点，求点，求点，求点MM的坐标的坐标的坐标的坐标例题选：例题选：例题选：例题选：一、求直线上点的坐标一、求直线上点的坐标一、求直线上点的坐标一、求直线上点的坐标解：解：解：解：设过点设过点设过点设过点P(2,0)P(2,0)的直线的直线的直线的直线ABAB的倾斜角为的倾斜角为的倾斜角为的倾斜角为,由已知可得：由已知可得：由已知可得：由已知可得：所以，直线的参数方程为所以，直线的参数方程为所以，直线的参数方程为所以，直线的参数方程为(t(t为参数为参数为参数为参数)代入代入代入代入y y2 2=2x=2x，整理得，整理得，整理得，整理得中点中点中点中点MM的相应参数是的相应参数是的相应参数是的相应参数是所以点所以点所以点所以点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是 例例例例2 2 求点求点求点求点A A（1 1，2 2）关于直线）关于直线）关于直线）关于直线l l：2 2x x 3 3y y+1=0+1=0的的的的对称点对称点对称点对称点A A 的坐标。的坐标。的坐标。的坐标。解：解：解：解：由条件，设直线由条件，设直线由条件，设直线由条件，设直线AAAA 的参数方程为的参数方程为的参数方程为的参数方程为:A A到直线到直线到直线到直线l l的距离的距离的距离的距离d d=，t t=AAAA=代入直线的参数方程得代入直线的参数方程得代入直线的参数方程得代入直线的参数方程得A A(33/13(33/13，4/13)4/13)二、求解中点问题二、求解中点问题二、求解中点问题二、求解中点问题 例例例例1 1 已知双曲线已知双曲线已知双曲线已知双曲线 ，过点，过点，过点，过点P P（2 2，1 1）的直）的直）的直）的直线交双曲线于线交双曲线于线交双曲线于线交双曲线于P P1 1,P,P2 2，求线段，求线段，求线段，求线段P P1 1P P2 2的中点的中点的中点的中点MM的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。解：解：解：解：设设设设MM(x x0 0，y y0 0)为轨迹上任一点，为轨迹上任一点，为轨迹上任一点，为轨迹上任一点，则直线则直线则直线则直线P P1 1P P2 2的方程是的方程是的方程是的方程是代入双曲线方程得：代入双曲线方程得：代入双曲线方程得：代入双曲线方程得：(2cos(2cos2 2 sinsin2 2)t t2 2+2(2+2(2x x0 0coscos y y0 0sinsin)t t+(2+(2x x0 02 2 y y0 02 22)=02)=0由题意由题意由题意由题意t t1 1+t t2 2=0=0，即，即，即，即2 2x x0 0coscos y y0 0sinsin=0=0，得，得，得，得 2x2 y2 4x+y=0为所求的轨迹的方程为所求的轨迹的方程 即即三、求定点到动点的距离三、求定点到动点的距离三、求定点到动点的距离三、求定点到动点的距离 例例例例1 1 直线直线直线直线 l l 过点过点过点过点P P(1(1，2)2)，其参数方程为，其参数方程为，其参数方程为，其参数方程为 直线直线直线直线l l与直线与直线与直线与直线 2 2x x+y y 2=0 2=0 交于点交于点交于点交于点Q Q，求，求，求，求PQPQ。解：解：解：解：将将将将l l 参数方程化为参数方程化为参数方程化为参数方程化为“标准形式标准形式标准形式标准形式”代入代入代入代入 2 2x x+y y 2=0 2=0得得得得 t t=PQPQ=|=|t t|=|=。例例例例2 2 经过点经过点经过点经过点P(1P(1，2)2)，倾斜角为，倾斜角为，倾斜角为，倾斜角为/4/4 的直线的直线的直线的直线 l l 与圆与圆与圆与圆 x x2 2+y+y2 2=9=9相交于相交于相交于相交于A A，B B两点，求两点，求两点，求两点，求PA+PB PA+PB 和和和和 PA PBPA PB的值的值的值的值PA PA PB=PB=|t t1 1 t t2 2|=4|=4 解：解：解：解：直线直线直线直线l l的方程可写成的方程可写成的方程可写成的方程可写成代入圆的方程整理得：代入圆的方程整理得：代入圆的方程整理得：代入圆的方程整理得：t t2 2+t t4=04=0设点设点设点设点A A，B B对应的参数分别是对应的参数分别是对应的参数分别是对应的参数分别是t t1 1 ，t t2 2，由由由由t t1 1与与与与t t2 2的符号相反的符号相反的符号相反的符号相反则则则则 t t1 1+t t2 2=t t1 1 t t2 2=4=4，所以所以所以所以 PAPA+PBPB=|t|t1 1|+|+|t t2 2|=|=|t t1 1 t t2 2|=|=例例例例1 1 求经过点（求经过点（求经过点（求经过点（1 1，1 1）。倾斜角为）。倾斜角为）。倾斜角为）。倾斜角为1351350 0的直线截椭圆的直线截椭圆的直线截椭圆的直线截椭圆所得的弦长所得的弦长所得的弦长所得的弦长解：解：解：解：由条件可知直线的参数方程是：由条件可知直线的参数方程是：由条件可知直线的参数方程是：由条件可知直线的参数方程是：代入椭圆方程代入椭圆方程代入椭圆方程代入椭圆方程:(t(t为参数为参数为参数为参数)设方程的两实根分别为设方程的两实根分别为设方程的两实根分别为设方程的两实根分别为则直线截椭圆的弦长是则直线截椭圆的弦长是则直线截椭圆的弦长是则直线截椭圆的弦长是:四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长 例例例例2 2 已知抛物线已知抛物线已知抛物线已知抛物线y y2 2=2=2pxpx，过焦点，过焦点，过焦点，过焦点F F作倾斜角为作倾斜角为作倾斜角为作倾斜角为 的直的直的直的直线交抛物线于线交抛物线于线交抛物线于线交抛物线于A A，B B两点，求证：两点，求证：两点，求证：两点，求证：AB=AB=解：解：解：解：设设设设ABAB的方程为的方程为的方程为的方程为代入抛物线方程得代入抛物线方程得代入抛物线方程得代入抛物线方程得 t t2 2 sin sin2 2 2 2pt pt coscos p p2 2=0=0，由韦达定理：由韦达定理：由韦达定理：由韦达定理：ABAB=|=|t t1 1 t t2 2|=|=例例例例3 3 已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在x x轴上，过椭圆轴上，过椭圆轴上，过椭圆轴上，过椭圆左焦点左焦点左焦点左焦点F F且倾斜角为且倾斜角为且倾斜角为且倾斜角为6060的直线交椭圆于的直线交椭圆于的直线交椭圆于的直线交椭圆于A A，B B两点，若两点，若两点，若两点，若FA=2FBFA=2FB，求则椭圆的离心率，求则椭圆的离心率，求则椭圆的离心率，求则椭圆的离心率 FA=2FB FA=2FB 转化成直线参数方程中的转化成直线参数方程中的转化成直线参数方程中的转化成直线参数方程中的 t t1 1=2t=2t2 2或或或或|t|t1 1|=2|t|=2|t2 2|解：设椭圆方程为解：设椭圆方程为解：设椭圆方程为解：设椭圆方程为直线直线直线直线ABAB的方程为的方程为的方程为的方程为代入椭圆得代入椭圆得代入椭圆得代入椭圆得(b b2 2+a a2 2)t t2 2 b b2 2ct ct b b4 4=0=0，由于由于由于由于t t1 1=2=2t t2 2,则则则则 2 22+2+得：得：得：得：将将将将b b2 2=a a2 2 c c2 2代入代入代入代入,得得得得 8 8 c c2 2=3=3 a a2 2+a a2 2 c c2 2 B练习：练习：思考思考:若直线的参数方程为若直线的参数方程为(t为参数为参数)|AB|为多少？为多少？