【中考数学】2019备战专题练习(全国通用)-二次函数与一次函数的综合应用(含答案).docx

2019备战中考数学专题练习（全国通用）-二次函数与一次函数的综合应用（含答案）
一、单选题
1.二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（   ）
A. a=3±2        
B. ﹣1≤a＜2       
C. a=3+2 或﹣ ≤a＜2       
D. a=3﹣2 或﹣1≤a＜﹣
2.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（   ）
A. a≤﹣1或 ≤a＜                
B. ≤a＜                 [*&#@*~%%^#&*#@ASW!^]
C. a≤ 或a＞                
D. a≤﹣1或a≥
3.已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（   ）
A. 1                                          B. 9                                          C. 16                                          D. 24
4.过点F（0，）作一条直线与抛物线y=4x2交于P，Q两点，若线段PF和FQ的长度分别为p和q，则等于（  ）
A. 2                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 16 [*#~#@~%^&*#%^@ASW!@]
5.已知 的图像如图所示，则 的方程的两实根 ，则满足（    ）
A.              B.              C.              D. 
6.函数y=2x+1的图象与函数y=x2+2x-3的图象交点的个数为   （   ）
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
7.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（   ）

A. x＜0                               B. 0＜x＜2                               C. x＞2                               D. x＜0或 x＞2
二、填空题
8.已知二次函数y＝x2－4ax＋4a2＋a－1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝t1 ， a＝t2 ， a＝t3 ， a＝t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的表达式是________．

9.直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是________.
10.若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,(abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系,此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,则m+n=________
11.如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A（3，0），在直线AB：y=kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A,B,P,Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为________.

12.如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是________． [*%#@^~#%^&*#@A~*SW!]

13.若直线y=ax-6与抛物线y=x2-4x+3只有一个交点，则a的值是________.
三、解答题 [*#@~%%^&*&#^@AS*W~!]
14.已知，关于x的二次函数，y=2x2+4x+k-1（k为正整数）. [*~#@@*~^%#^&*#@ASW!]

（1）若二次函数y=2x2+4x+k-1的图象与x轴有两个交点，求k的值. [*##@~%&^&*~@%#@ASW!]
（2）若关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）都在二次函数y=2x2+4x+k-1（k为正整数）图象上，求使y1≤y2≤y3成立的m的取值范围.
（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，且图象过点（1，2），与一次函数y=x+m的图象交于（0，－1）．
求两个函数解析式；
求两个函数图象的另一个交点．
16.如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为y＝x2+x(0≤x≤10)．发射3 s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水面的R处雷达站测得AR的距离是2 km，再过3 s后，导弹到达B点．

(1)求发射点L与雷达站R之间的距离；
(2)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．
四、综合题
17.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． [*#@~%@^&%*#@A~S^W!#]

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
18.已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点.
[*~^#@~%&^%&*#@AS*W!]
（1）求这个二次函数以及直线BC的解析式；
（2）直接写出点A的坐标；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值. [*#@~~%%^&*#@ASW!#^*]
[*#@~@~%^&*%#@AS&#W!]
答案解析部分 [*#@~%@^&*#@A&SW!^#~]
一、单选题
1.【答案】D
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a﹣3）2﹣12=0a=3±2
当a=3+2 时，此时x=﹣ ，不满足题意，当a=3﹣2 时，此时x= ，满足题意，当△＞0时，令y=x2+（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤- ，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；
当a=﹣ 时，此时x=2或x= ，不满足题意．
综上所述：a=3﹣2 或﹣1≤a＜- ．
故答案为：D
【分析】二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，故方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，由△=0得出方程，求解并检验即可得出a的值；由△＞0时，令y=x2+（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1，故（a+1）（2a+1）≤0解得﹣1≤a≤- ，从而得出答案。
2.【答案】A [*#@&~%^&*#^@A%SW@!*]
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1； [*#@~%^~&^*#*@#AS@W!]
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥ ，
∵直线MN的解析式为y=- x+ ，
由 ，消去y得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜ ，
∴ ≤a＜ 满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或 ≤a＜ ，
故答案为：A．
【分析】此图有两种情况,根据抛物线的特点及线段两个端点画出简易图像，观察图象可知①当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；②当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，故a≥，用待定系数法求出直线MN的解析式，解联立MN的解析式与抛物线的解析式，根据它们有两个不同的交点得出△＞0，从而得出不等式求出得出a＜,故≤＜,综上所述得出答案。
3.【答案】A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，

由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1， [*#@#~%~^@&&*#@ASW!^]
故答案为：A．
【分析】由题意可知直线y=-2，而直线y=-2与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，所以点A、B、C、D的纵坐标都是-2，再将纵坐标-2代入函数y==3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，则a+b的值可求解。
4.【答案】D
【考点】二次函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】过点F（0，)作一条直线平行于x轴，则其函数式为y=，且与抛物线y=4x2交于P，Q两点，易知，抛物线y=4x2 ， 抛物线开口向上，以y轴为对称轴。直线PQ∥x轴，P点坐标为（x1 ， )，Q点坐标为（x2 ， )。
把y=代入抛物线y=4x2 ， 解得x1=-，x2=。所以，PF的长度p=，FQ的长度q=|-|=。
把p，q值代入等于16.
故选D。
【点评】难度中等。主要要把握住一次函数图像与抛物线图像的特点，利用函数式求出相交点的坐标。选择特殊情况作一条直线平行于x轴来达到消除k值未知的难题，从而更简单地从y=入手来代入抛物线y=4x2来取得该情况下p，q的值。
5.【答案】D
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
在图形中作出y=n（0＜n＜2），两交点的横坐标分别为x1 ， x2 ， [*#@#~%*^%@&*#~@ASW!]
则0＜x1＜1，且x2＞3．
故答案为：D.
【分析】根据题意知，方程ax2+bx+c=n ( a ≠ 0 , 0 ≺ n ≺ 2 ) 的两实根 x1 , x2分别代表了二次函数 y=ax2+bx+c( a ≠ 0 ) 和y=n（0＜n＜2）的图像的交点的x坐标，故画出大致图像，可直接判断出答案为D。
6.【答案】C
【考点】二次函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】联立y=2x+1与y=x2+2x-3解方程组。
【解答】联立、解方程组得：

解得：
，，
∴两函数图象交点有两个，且为：（2，5)、（-2，-3)，故选C.
【点评】找两个函数图象的交点的方法也可以通过画出图像等方法。
7.【答案】B
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0<x<2，
∴不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0<x<2.
故答案为：B. [*~#@~%^&*#@A#S*&W!%]
【分析】由图像知，不等式﹣x2+4x＞2x的解集即为曲线高于直线的部分的x的取值范围。所以可得解集是0<x<2。
二、填空题
8.【答案】y＝ x－1
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】y=x2-4ax+4a2+a-1=（x-2a） 2+a-1，∴抛物线顶点坐标为：（2a，a-1），
设x=2a①，y=a-1②，
①-②×2，消去a得，x-2y=2，
即y=  x-1． [*#@~%%^&^&**#@ASW!#]
故答案为：y= x-1．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再用x、y分别代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a就可得出y与x 的关系式。
9.【答案】（-1，1）和（2，4）
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】由题意可得：  ，解得：  ，  .
∴直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是：（-1，1）和（2，4）.
【分析】求抛物线与直线的交点坐标，就是求直线解析式与抛物线的解析式组成的方程组的解的问题。
10.【答案】0
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y=mx+1与y轴的交点为（0,1），∴抛物线 经过点（0,1），
代入计算可得n=1，
∴抛物线 的顶点为 ，
∵抛物线 的顶点为 在直线y=mx+1上，
∴m+1=0，
解得m=-1.
∴m+n=-1+1=0.
故答案为0.
【分析】由定义可知，直线与抛物线都经过y轴的同一点，则由直线y=mx+1可求得与y轴的交点（0，1），代入抛物线即可求得n的值，从而求出抛物线的顶点，再将顶点代入直线y=mx+1即可求得m的值.
11.【答案】-5或-7
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】首先根据点A的坐标得出直线的函数解析式，然后根据题意求出点B的坐标，根据正方形的性质分别过点A和点B作AB的垂线，求出交对称轴和函数的交点坐标，根据正方形的性质求出c的值.【分析】利用点A再直线y=kx+3上，求出k的值，就可得出一次函数解析式，再求出点B的坐标，然后分别过点A和点B作AB的垂线，求出交对称轴和函数的交点坐标，根据正方形的性质求出c的值。 [*#@~@&*%%^&*#@ASW!^]
12.【答案】
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】由图可知，当二次函数的图象在一次函数图象的上方时，所对应的x的取值范围是-1<x<2，
∴当 时，x的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，从图形中获取信息。解决本题的关键是从图中找出两函数交点的横坐标，再根据两函数的上下位置关系，求出当  y1 ≥ y2  时，x的取值范围。
13.【答案】2或-10
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知：x2−4x+3=ax−6，
整理得,x2−(4+a)x+9=0，
∵只有一个交点，
∴△=(4+a)2−4×1×9=0，
解得a1=2,a2=−10
【分析】由题意将直线和抛物线的解析式联立解方程组整理可得关于x的一元二次方程，根据题意知，，再将a、b、c的值代入即可求解。
三、解答题
14.【答案】解：（1）∵二次函数y=2x2+4x+k-1的图象与x轴有两个交点 ， [**#@~#%~^&*&#@AS@W!]
∴△=16-8（k-1)＞0，∴16-8k+8＞0，解得k<3.
∵k为正整数，∴k=1、2.
(2) ∵关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解,
∴k=1  ∴y=2x2+4x.
∴y1=2m2+4m, y2=2(m+1)2+4(m+1),y3=2(m+2)2+4(m+2)
∴,解得m≥.
(3) 存在.因为内心在y轴上，所以∠ACO=∠BCO,找A点关于y轴的对称点A ′(1，2),直线A ′B：y=6x-4，与y轴的交点即为所求C点，坐标为（0，-4）.
【考点】二次函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，知一元二次方程有两不相等的实数根，从而根的判别式大于0,解不等式求出正整数解即可;
(2)由关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解得到k=1,从而得到函数解析式为,进而根据y1≤y2≤y3列不等式组求解即可;
（3）根据轴对称性质求解即可.
15.【答案】解：设二次函数的解析式为y=a +h，将点(1,2)和点(0，－1)代入
可得： 解得： ∴二次函数的解析式为：y=－ +3
将(0，－1)代入y=x+m得：m=－1    ∴一次函数的解析式为：y=x－1
根据题意可得：－ +3=x－1 解得：x=0或x=3 [*#@~%@~^&#*#@A*SW^!]
当x=0时，y=－1；当x=3时，y=2     ∴另一个交点的坐标为(3,2).
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】已知抛物线的对称轴是直线x=2，因此可设函数解析式为顶点式，再将点（1,2）和（0，-1）分别代入函数解析式，建立方程求解即可得出抛物线的函数解析式；将点（0，-1）代入一次函数解析式，求出m的值，就可得出一次函数解析式；再将两函数联立方程组，解方程组就求出两个函数图象的另一个交点。
16.【答案】(1)把x＝3代入y＝x2＋x，
得y＝1，即AL＝1
在Rt△ARL中，AR＝2，
∴LR＝＝.
(2)把x＝3＋3＝6代入y＝x2＋x，得y＝3，即BL＝3.
∴tan ∠BRL＝＝＝.
答：(1)发射点L与雷达站R之间的距离为km
(2)雷达站测得的仰角的正切值为.
【考点】二次函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】考查二次函数与一次函数的交点问题。
四、综合题
17.【答案】（1）解:设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得： ，
∴y=﹣2x+60 [*##@~%*^&~*#@A%SW!&]
（2）解:p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣ =20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元
【考点】二次函数与一次函数的综合应用 [*#@^~~%^&*#@A*SW!#&]
【解析】【分析】（1）由待定系数法求一次函数解析式。（2）利用利润等于销量乘以单件利润，求出函数解析式，再由顶点公式求出最值.
18.【答案】（1）解：联立
化简可得：x2-（4+k）x-1=0，
∴△=（4+k）2+4＞0，
故直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）解：当k=-2时，
∴y=-2x+1
过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，

∴联立
解得： 或
∴A（1- ，2 -1），B（1+ ，-1-2 ）
∴AF=2 -1，BE=1+2
易求得：直线y=-2x+1与x轴的交点C为（ ，0）
∴OC=1
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
= OC•AF+ OC•BE
= OC（AF+BE）
= ×（2 -1+1+2 ）
=2 .
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将两函数联立方程组，利用加减消元法消去y，得到关于x的一元二次方程，再证明b2-4ac＞0，就可解答。
（2）将两函数解析式联立方程组，求出两函数的交点A、B的坐标，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，就可求出AF、BE的长，再求出直线AB与x轴的交点坐标，然后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC ， 计算可解答。
19.【答案】（1）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1.
由题意知，点B(3, 0)和点C(0, -3)在直线BC上，故将点B和点C的坐标分别代入直线BC的解析式，得
，
解之，得
.
∴直线BC的解析式为y=x-3.
由题意知，点B(3, 0)和点C(0, -3)在二次函数的图象上，故将点B和点C的坐标分别代入二次函数的解析式，得 [*%&#@~~%^&*#@^ASW!@]
，
解之，得
.
∴该二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
综上所述，该二次函数的解析式为y=x2-2x-3，直线BC的解析式为y=x-3.
（2）解：点A的坐标为(-1, 0). 具体求解过程如下.
根据题意，将y=0代入该二次函数的解析式，得
x2-2x-3=0，
解这个关于x的一元二次方程，得 [*~#@~%#^&&*#@%A*SW!]
x1=3，x2=-1.
∵点B的坐标为(3, 0)，
∴点A的坐标为(-1, 0)
（3）解：由函数的图象可知，在位于点C与点B之间的部分图象中，一次函数的图象在二次函数图象的上方.
∵点B的坐标为(3, 0)和点C的坐标为(0, -3)，
∴当0<x<3时，一次函数的值大于二次函数的值.
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；将B,C两点的坐标分别代入二次函数 y=x2+bx+c，即可得出一个关于b,c的二元一次方程组，求解即可得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入该二次函数的解析式得出一个关于x的一元二次方程，求解得出x的值，从而得出A点的坐标；
（3）求x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值，利用图像就是求一次函数的图像位于抛物线的上方的时候对应的自变量的取值。