2020-2021九年级培优易错试卷二次函数辅导专题训练及答案解析.doc

2020-2021九年级培优易错试卷二次函数辅导专题训练及答案解析一、二次函数1如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x。（2）点B的坐标为：（4，4）。（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OBOP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标求POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出BOP的面积。【详解】解：（1）函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1。这个二次函数的解析式为y=x23x。（2）如图，过点B做BDx轴于点D，令x23x=0，解得：x=0或3。AO=3。AOB的面积等于6，AOBD=6。BD=4。点B在函数y=x23x的图象上，4=x23x，解得：x=4或x=1（舍去）。又顶点坐标为：（ 1.5，2.25），且2.254，x轴下方不存在B点。点B的坐标为：（4，4）。（3）存在。点B的坐标为：（4，4），BOD=45，。若POB=90，则POD=45。设P点坐标为（x，x23x）。若，解得x=4 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。若，解得x=2 或x=0（舍去）。当x=2时，x23x=2。点P 的坐标为（2，2）。POB=90，POB的面积为：POBO=8。2已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MAMC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可试题解析：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=x+3，设点P（x，x24x+3）PDy轴，点D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，当x=时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD=45+45=90，此时，点P（2，1）综上所述：点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：，直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=32+3=3，点M（2，3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，3），使|MAMC|最大点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键3在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2x+1（2）点P的坐标为（，1）（3）定点F的坐标为（2，1）【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标详解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2该抛物线经过点（4，1），1=4a，解得：a=，抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，解得：，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）点B（4，1），直线l为y=-1，点B的坐标为（4，-3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将A（1，）、B（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，直线AB的解析式为y=-x+，当y=-1时，有-x+=-1，解得：x=，点P的坐标为（，-1）（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M（m，n）为抛物线上一动点，n=m2-m+1，m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值，定点F的坐标为（2，1）点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组4一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车【解析】试题分析：（1）根据题目可知AB，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和做GH垂直AB交抛物线于H则可求解试题解析： (1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B、C的坐标代入，得 解得.抛物线的表达式是.(2) 可设N(5,)，于是.从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0)(7=2223).过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.5如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（1，）； 当PE=AE时，=，解得：n=2，此时点P坐标为：（1，2） 综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键6如图，直线y-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线yax2+bx3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DEx轴于点E，连接AD，DC设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若EADOBC，请直接写出此时点D的坐标【答案】(1)yx2+x3；(2)SADC=(m+3)2+；ADC的面积最大值为；此时D(3，)；(3)满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，根据SADCSADF+SDFC求出解析式，再求最值；（3）当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在yx3中，当y0时，x6，即点A的坐标为：(6，0)，将A(6，0)，B(2，0)代入yax2+bx3得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+x3；(2)设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，设DE与AC的交点为点F.DFm3(m2+m3)m2m，SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA(m2m)6m2m(m+3)2+，a0，抛物线开口向下，当m3时，SADC存在最大值，又当m3时，m2+m3，存在点D(3，)，使得ADC的面积最大，最大值为；(3)当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，由，解得或，此时直线AD与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21) 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题.7二次函数y=x2-2mx+3（m）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n0且n为整数），与y轴交于C点（1）若a=1，求二次函数关系式；求ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=【解析】试题分析：（1）首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积； （2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值试题解析：（1）a=1，A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，y=x2-4x+3；在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，A（1，0）、B（3，0）， AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3）， OC=3，ABC的面积=23=3；（2）y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，对称轴为直线x=m， 二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B点A和点B关于直线x=m对称， a+n-m=m-a， a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m）当a为整数，因为n0且n为整数 所以a+n是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=2， a=m-1，A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，m2-4=0，m=2，m=-2（舍去）， a=2-1=1， 当a不是整数，因为n0且n为整数 所以a+n不是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=3， a=m-A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3，m2=，m=，m=-（舍去），a=，综上所述：a=1或a=考点：二次函数综合题8在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x+a3，当a0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线ya上方的部分沿直线ya翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1）A（0，3），B（4，3）；（2）3a0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，ya要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，3），B（4，3）；（2）当函数经过点A时，a0，图形M与线段AB恰有两个公共点，ya要在AB线段的上方，a33a0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键9已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+6；（2）当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM，先求出直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6），则N（t，t+6），由SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PNOB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PHOB知DHAO，据此由OA=OB=6得BDH=BAO=45，结合DPE=90知若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案【详解】（1）抛物线过点B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为y=a（x6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=，所以抛物线解析式为y=（x6）（x+2）=x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6）其中0t6，则N（t，t+6），PN=PMMN=t2+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN（AG+BM）=PNOB=（t2+3t）6=t2+9t=（t3）2+，当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）如图2，PHOB于H，DHB=AOB=90，DHAO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PEx轴、PDx轴，DPE=90，若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，EDP与BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.10某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y；（2）W;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【解析】【分析】（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60x90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40x60时，当60x90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40x60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+21060-5400=3600，当60x90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3652+39065-9000=3675，于是得到结论【详解】解：（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为ykx+b，将（40，140），（60，120）代入得，解得：，y与x之间的函数关系式为yx+180；当60x90时，设y与x之间的函数关系式为ymx+n，将（90，30），（60，120）代入得，解得：，y3x+300；综上所述，y；（2）当40x60时，W（x30）y（x30）（x+180）x2+210x5400，当60x90时，W（x30）（3x+300）3x2+390x9000，综上所述，W；（3）当40x60时，Wx2+210x5400，10，对称轴x105，当40x60时，W随x的增大而增大，当x60时，W最大602+2106054003600，当60x90时，W3x2+390x9000，30，对称轴x65，60x90，当x65时，W最大3652+3906590003675，36753600，当x65时，W最大3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键11在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2x+1（2）点P的坐标为（，1）（3）定点F的坐标为（2，1）【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标详解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2该抛物线经过点（4，1），1=4a，解得：a=，抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，解得：，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）点B（4，1），直线l为y=-1，点B的坐标为（4，-3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将A（1，）、B（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，直线AB的解析式为y=-x+，当y=-1时，有-x+=-1，解得：x=，点P的坐标为（，-1）（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M（m，n）为抛物线上一动点，n=m2-m+1，m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值，定点F的坐标为（2，1）点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组12已知：如图，抛物线yax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x+3 （2）（，） （3）存在，P（2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为yx+3，设P（t，t22t+3）（3t0），则F（t，t+3），则PFt22t+3（t+3）t23t，根据SPABSPAF+SPBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3），PDt23t，由抛物线yx22x+3（x+1）2+4，由对称轴为直线x1，PEx轴交抛物线于点E，得yEyP，即点E、P关于对称轴对称，所以1，得xE2xP2t，故PE|xExP|22t|，由PDE为等腰直角三角形，DPE90，得PDPE，再分情况讨论：当3t1时，PE22t；当1t0时，PE2+2t【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点B（3，0），C（1，0） 解得：抛物线解析式为yx22x+3（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点Fx0时，yx22x+33A（0，3）直线AB解析式为yx+3点P在线段AB上方抛物线上设P（t，t22t+3）（3t0）F（t，t+3）PFt22t+3（t+3）t23tSPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB（t23t）（t+）2+点P运动到坐标为（，），PAB面积最大（3）存在点P使PDE为等腰直角三角形设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3）PDt22t+3（t+3）t23t抛物线yx22x+3（x+1）2+4对称轴为直线x1PEx轴交抛物线于点EyEyP，即点E、P关于对称轴对称1xE2xP2tPE|xExP|22t|PDE为等腰直角三角形，DPE90PDPE当3t1时，PE22tt23t22t解得：t11（舍去），t22P（2，3）当1t0时，PE2+2tt23t2+2t解得：t1，t2（舍去）P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）时使PDE为等腰直角三角形 【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.13 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可试题解析：解：（1）点D（m，n），点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），B（2m，2m），将n=m+1带入得到m=2，n=3；D（2，3），抛物线解析式为（3）如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时：根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60，AOP=AOP=30，MN=，抛物线需要向下平移的距离=如图，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，设A（p，3），则OA=OA=4，OE=3，EA=，AF=4，设P（4，c）（c0），在RtAFP中，（4）2+（3c）2=c2，c=，P（4，），直线OP解析式为y=x，N（2，），抛物线需要向下平移的距离=3=综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标14如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为求抛物线的解析式点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【答案】；当时，PBE的面积最大，最大值为；点N的横坐标为：4或或【解析】【分析】点B、C在直线为上，则B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，因此抛物线解析式：；先求出点P到BC的高h为，于是，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，所以解得（舍去），解得，（舍去），解得（舍去），【详解】解：点B、C在直线为上，B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，抛物线解析式：；由题意，得，由知，点P到BC的高h为，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，；，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐