2020-2021九年级培优易错试卷二次函数辅导专题训练及答案解析.doc

2020-2021九年级培优易错试卷二次函数辅导专题训练及答案解析

一、二次函数
1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】
解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。
∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6。∴BD=4。
∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，
∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点。
∴点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
设P点坐标为（x，x2﹣3x）。
∴。
若，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。
若，解得x="2" 或x=0（舍去）。
当x=2时，x2﹣3x=﹣2。
∴点P 的坐标为（2，﹣2）。
∴。
∵∠POB=90°，∴△POB的面积为：PO•BO=××=8。

2．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

4．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B、C的坐标代入，得

解得.
∴抛物线的表达式是.
(2) 可设N(5,)，
于是.
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．

6．如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面积最大值为；此时D(﹣3，﹣)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】
解：(1)在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
(2)设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，
设DE与AC的交点为点F.
∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝DF•AE+•DF•OE
＝DF•OA
＝×(﹣m2﹣m)×6
＝﹣m2﹣m
＝﹣(m+3)2+，
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，
又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，
∴存在点D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面积最大，最大值为；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y＝x+9，
由，解得或，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

7．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；
（2）求证：a=m-；
（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．
【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；
（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值．
试题解析：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x2-4x+3；
②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC的面积=×2×3=3；
（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B关于直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，
∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，
∴m2=，
∴m=，m=-（舍去），
∴a=−，
综上所述：a=1或a=−．
考点：二次函数综合题．

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；
【详解】
解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；
（2）当函数经过点A时，a＝0，
∵图形M与线段AB恰有两个公共点，
∴y＝a要在AB线段的上方，
∴a＞﹣3
∴﹣3＜a≤0；
【点睛】
本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．

9．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•（AG+BM）
=PN•OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

10．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得，
解得：，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

12．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣，） （3）存在，P（﹣2，3）或P（，）
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．

【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.

13． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：

根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．

14．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．
【解析】
【分析】
①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；
②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【详解】
解：①∵点B、C在直线为上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式：；
②由题意，得，
，，
由①知，，
∴点P到BC的高h为，
∴，
当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC的距离，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设，则、，
易证△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
Ⅲ．，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐