巴特沃斯低通滤波器设计.doc

课程设计报告

题 目:巴特沃思低通滤波器的设计

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目 录
低通滤波器设计要求： 1
滤波器简介 2
设计原理与设计过程 3
1、滤波器设计中的归一化与去归一化 3
2、滤波器设计中的逼近问题 3
3、巴特沃思（Butterworth）响应 4
4、电路实现 7
5、matlab仿真 9
小结 13

13

低通滤波器设计要求：
通带角频率=90rad/s
阻带角频率=150rad/s
通带内允许最大衰减=3dB
阻带内允许最小衰减=10dB

滤波器简介
滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。滤波器是给出规定响应的一个网络，是用一组激励——响应关系表征的系统，如图1所示。滤波器的主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的反射。按处理信号的不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可处理模拟的或连续时间信号，数字滤波器可处理数字信号；按输出信号的不同频率，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。其中模拟滤波器，按构成元件的不同又可分为有源滤波器和无源滤波器两种。

图 1-1
通常用滤波器的转移函数表征滤波器的特性，设响应的象函数为，激励的象函数为，则转移函数为

在正弦情况下，，相应地，上式的频域响应函数可写为

其中，为幅频函数。
定义相频函数

定义群时延函数为

滤波器的幅频函数和相频函数或群时延函数，共同表征了这个滤波器的特性。

设计原理与设计过程
1、滤波器设计中的归一化与去归一化
对于实际电路，电路中的电阻元件、电容元件、电感元件的数值分布范围很大，在电路分析、设计的计算过程中，所需处理的数据的大小相差甚远，这样，往往容易产生计算误差。同时，综合的理论依据和方法与函数的大小无关，因此，为便于理论分析和计算，通常将电路参数作归一化处理，以便产生通用的计算公式和图表。采用归一化的方法，不仅便于分析和计算，也可避免误差的产生。
归一化处理包括阻抗归一化和频率归一化两种。如果将网络的全部阻抗除以常数，相当于所有的电阻值、电感值除以，电容值乘以，这一过程称为阻抗归一化，称为阻抗归一化系数。同理，可将角频率除以常数，这一变换称为频率归一化，称为频率归一化系数。为使网络函数不受频率变换的影响，变换前后各元件的阻抗值应保持不变，因此，电阻值R不受变换的影响，电感值L和电容值C应乘以。
在设计过程中，按各种综合方法得到的网络参数通常为归一化参数，因此还需要将这些参数转换为满足实际要求的参数，这一逆运算称为去归一化。

2、滤波器设计中的逼近问题
各种理想滤波器的幅频特性不具有可实现性，因为它们具有非因果性。对于RLC电路来说，转移函数的幅度通常是角频率的函数，因此，在角频率0~之间，幅度不可能是常数，若幅度在角频率0~之间是常数，则它在所有角频率范围即0~处都是常数。
因此，必须对理想特性作一定的修正，使其具有可实现性，同时修改后的性能在一定误差范围内也能满足要求。这就是所谓的逼近问题，即用具有可实现性的转移函数来描述所需的技术要求，它的幅频特性、相频特性或群时延函数与所求电路的特性近似。通常，修正的方式为，允许幅频函数在通带内有一定的衰减，在阻带内有微弱的信号存在，并在两者之间增加过渡带，如图1所示，称为滤波器的容差图。其中，为通带内允许最大衰减，为阻带内允许最小衰减，称为通带角频率，称为阻带角频率。

图1 滤波器的容差图
在模拟滤波器的逼近问题中，有两个基本约束条件。第一是关于传递函数的性质。由网络理论中有关网络函数的基本定理可知，一个具有可实现的模拟滤波器的转移函数是实有理函数。第二是关于构造过程中的约束。构造的转移函数只能唯一满足幅频函数的要求或唯一满足相频函数的要求，而不可能同时满足幅频函数和相频函数的要求。
关于逼近问题已有许多成熟的方法，如巴特沃斯（Butterworth）响应，切比雪夫（Chebyshev）响应、倒切比雪夫响应、椭圆响应、贝塞尔-汤姆逊响应等，它们各具有不同的特性。

3、巴特沃思（Butterworth）响应
一个n阶低通巴特沃思滤波器的幅频函数为

式中，为通带下边界角频率；是小常数，其值应满足。可看出该幅频函数在处具有最大平直的特点，而且随着的增大而单调下降，因此，它可以用来逼近低通滤波器，逼近的程度随n的增大而增高。
令，
则其归一化表达式可写为

将带入上式可得

令，可解出的极点，其表达式为

所以的全部极点位于一个单位圆上，位于左半平面的极点有
k=1,2,3,…,n
用位于左半平面的这些极点构造的的分母多项式称为巴特沃思多项式，相应地，n阶巴特沃思低通函数可写为

表1 给出了n=1,2，…，7时的巴特沃思多项式。

n

1

2

3

4

5

6

7

表1 巴特沃思多项式

上式中，常数的作用是调整通带内允许的最大衰减，使其可小于3dB。逼近过程中，需要确定的参数为和巴特沃斯多项式的阶数n，其中，通带内允许最大衰减确定了的大小；阶数n的大小取决于阻带内允许的最小衰减。首先，推导的计算。习惯上，多用衰减（分贝数）表示幅频特性，令

则巴特沃斯低通响应

当时，产生通带内最大衰减，即

解上式可得

当时，产生阻带内最小衰减

上式可写为

对式求解，可得

将式代入可得

代入=90rad/s，=150rad/s，=3dB，=10dB；得

取n=4

即4阶巴特沃思函数可满足要求。
查表1可得

上式为归一化表达式。
去归一化，用

代替上式等号右边表达式中的可得

4、电路实现
由于n阶巴特沃思滤波器分母多项式是霍尔维兹多项式，并且全部传输零点在处，因而可以用图示达林顿电路结构实现。一般情况电路都是在匹配情况下工作，所以取信号源内阻和负载电阻相等。此时满足

其中是表1中所列的巴特沃思多项式。由上式得到归一化的反射系数

用达林顿电路实现时，策动点阻抗函数

上式表示具有巴特沃思滤波特性的电路有两种可能的综合形式：
和
本设计中选取

其中

则

展开成连分式表示

其中，是归一化电感、电容值，其实现电路如下图2所示，
图2中的元件都是对频率和信号源内阻归一化的。

图2 归一化电路图

在实际实现电路时，需要把原型滤波器的元件值对频率和内阻去归一化。电阻值恢复原来值即可，实际电容、电感值可由下式求出

根据原型电路图对各元件去归一化，其中Rs取600Ω：

标准化参数，取

5、matlab仿真
仿真电路如图3所示。

图3 simulink仿真电路

用matlab软件仿真后，所得波特图如图4所示。通过波特图可以看出所设计滤波器满足要求的技术指标。

图4 simulink仿真波特图

在上述仿真电路输入端分别加两个正弦电压源信号，AC1为10V电压，60Hz频率；AC2为1V电压，600Hz频率。得到仿真结果如图5所示。其中，图5下面部分为输入的两交流电压源的叠加信号，上面部分为通过滤波器后的输出信号。通过对比可以看出，滤波器作用显著。

图5高频、低频叠加信号输入及输出波形

图6为60Hz交流电压源单独作用是的仿真结果。下面部分为输入信号，上面部分为输出信号。

图6低频输入及输出波形

图7 为600Hz交流电压源单独作用仿真结果，下面部分为输入信号，上面部分为输出信号。可以看到高频信号的幅值从-1v~1v衰减到 -1.5×v~1.5×v，衰减了
6.7×倍，滤波效果显著。

图7高频输入及输出波形

小结
在本次滤波器课程设计中，根据设计要求，通过分析计算选用了4阶巴特沃思型滤波器，根据滤波器设计原理，求出系统的归一化传递函数，通过去归一化得到具体实际电路，求出理论的电容电感参数，然后，根据实际选取相关标准化参数，并用Matlab/Simulink软件进行了仿真实验，由输出波形和波特图看出，电路很好的实现了滤波的功能。在制作实际电路中，由于电容电感可能会存在误差，并且根据环境的不同，实现的效果可能跟电路仿真的结果有差距，这就需要在制作的时候，综合考虑各个因素，并在不断试验中，选出最佳的参数。