九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题.doc

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锐角三角函数：
知识点一：锐角三角函数的定义：
一、 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
则∠A的正弦可表示为：sinA= ，
∠A的余弦可表示为cosA=
∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数
2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】

例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
例2. 锐角三角函数求值：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例题：
类型一：直角三角形求值
1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．

2．如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，求AB及OC的长．

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4. 已知是锐角，，求，的值

对应训练：
1．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
A． B． C． D．2
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.
类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．

2． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．

4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．
5.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图6，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为 ( )

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7. 如图7，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若 ，则的长为( )
A． B． C． D．
8. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=求 ∠B的度数及边BC、AB的长.

类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．

例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．

对应训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是
A.2 cm2 .4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．

对应练习：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为
A. B. C. D.

3．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（ ）
A． B. 　　　C. D. 2

特殊角的三角函数值
锐角a
30°
45°
60°
sina

cosa

tana

当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
例1．求下列各式的值．
1）.计算：．

2）计算：.

3）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°

4．计算：．

5．计算： ；

例2．求适合下列条件的锐角a ．
(1) (2)

(3) (4)

（5）已知a 为锐角，且，求的值

（6）在中，若，都是锐角，求.

例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin A < ，那么∠A的取值范围是
A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
2. 已知A为锐角，且，则 （ ）
A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
例4. 三角函数在几何中的应用
1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD的值．

5.如图，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的长.

解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
①三边之间的等量关系：________________________________．
②两锐角之间的关系：__________________________________．
③边与角之间的关系：
______；_______；
_____；______．
④直角三角形中成比例的线段．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．

类型一
例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；

(2)已知：，，求∠A、∠B，c；

(3)已知：，，求a、b；

(4)已知：求a、c；

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．

例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

类型二：解直角三角形的实际应用
仰角与俯角：
例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．
200米
B．
200米
C．
220米
D．
100（）米

例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．

例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，
测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．

例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

例6．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）

A．
10米
B．
10米
C．
20米
D．
米

例7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

类型四. 坡度与坡角
例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（　　）
A．100m B．100m C．150m D．50m

类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)

综合题：
三角函数与四边形：
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= ．
(1) 求BD的长；
(2) 求AD的长．

2．如图，在平行四边形中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）若AE=4，AF=，，求CF的长．

三角函数与圆：
1. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

2.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.
（1）求证:BF是⊙O的切线;
（2）若, DE=9，求BF的长．

1．已知，则锐角A的度数是
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
A． B． C． D．2
3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.

4. 若，则锐角＝ .
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2， 则tanB的值是
A． B． C． D．

6．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是
A．　　　　　 B．2　　　 C．　　　　　 D．
7. △ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是
A. B.
C. D.

8．如图，在直角三角形中，斜边的长为，，
则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且OM : OP=4 : 5，则cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10， ， 则AB的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为　　 ．
13. 计算：

13．计算.

14．计算：．

15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解这个直角三角形

16. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．

调研课题：17．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端 处的俯角,荷塘另一端处、在同一条直线上，已知米，米，

除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）

合计 50 100%

（2）物品的独一无二
18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆
经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =．
（1）求证：BC是⊙O的切线；

送人□ 有实用价值□ 装饰□（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．

1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社 2003年2月

（一）大学生的消费购买能力分析
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．[来源:学|科|网]

3、你是否购买过DIY手工艺制品？

然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限，故也限制了我们一定的购买能力。因此在价格方面要做适当考虑：我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。一定会适合我们的学生朋友。

据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示
20．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
21．已知，如图，在△中，，以DC为直径作半圆，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，．
（1）求证：BF是的切线；
D
O
A
C
B
F
E

（2）若，，求的半径．

22．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60º，求楼AB的高．

23．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

24如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．

25．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： )
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