人教版选修【1-2】1.1《回归分析的基本思想及其初步应用》习题及答案.doc

数学·选修1－2(人教A版)

1．1 回归分析的基本思想及其初步应用

►达标训练

1．下列结论正确的是(　　)
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④

解析：根据函数关系、相关关系、回归关系的概念可知选C.
答案：C

2．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是(　　)
A．总偏差平方和 B．残差平方和
C．回归平方和 D．相关指数R2

答案：B

3．下表是某工厂6～9月份用电量(单位：万度)的一组数据：

月份x
6
7
8
9
用电量y
6
5
3
2

由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－1.4x＋a，则a等于(　　)
A．10.5 B．5.25
C．5.2 D．14.5

解析：

答案：D

4．(2013·广东四校联考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元

答案：B

5．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如右图)，以下结论正确的是(　　)

A．直线l过点(，)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样 本点的个数一定相同

答案：A

6．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1：相关指数R2为0.98
B．模型2：相关指数R2为0.80
C．模型3：相关指数R2为0.50
D．模型4：相关指数R2为0.25

答案：A

►素能提高

1．对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是(　　)
A．由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本点的中心(，)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．在研究身高和体重关系时，求得R2＝0.64，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大

解析：R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合程度效果越好．
答案：C

2．(2014·深圳市高三第一次调研)相关x，y的样本数据如下表：

x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6

经回归分析可得y＝2x线性相关，并由最小乘法求得回归直线方程为＝1.1x＋，则＝(　　)
A．0.1　　　　　　　B．0.2
C．0.3 D．0.4

解析：＝－＝3.6－3.3＝0.3

答案：C

3．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是____________．

答案：①③④

4．(2013·广州一模)某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料：

x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0

根据上表可得回归方程＝1.23x＋，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约________万元(结果保留两位小数)．

答案：12.38

5．已知x，y之间的一组数据如下：

x
0
1
2
3
y
8
2
6
4

则线性回归方程＝＋x所表示的直线必经过点________．

答案：

6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5

(1)请画出上表数据的散点图．
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝x＋.
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

解析：(1)所求散点图如下图所示：

(2)iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
＝＝
＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故所求线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65吨标准煤．

7．关于x与y有如下数据：

x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70

有如下两个线性模型：①＝6.5x＋17.5；②＝7x＋17.试比较哪个拟合效果好．

解析：
由①可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20

(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.
(yi－i)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R1＝1－＝1－＝0.845.
由②可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－1
－5
8
－9
－3
yi－
－20
－10
10
0
20
(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180.
(yi－i)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R2＝1－＝1－＝0.820.
∴R1>R2，∴①的拟合效果好于②的似合效果．

8．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

解析：所求散点图如下图所示：

(2)求y与x之间的回归方程；

解析：由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则得下列数据表：

x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算器算得＝0.69x＋1.112，则有
＝e0.69x＋1.112.

(3)计算残差、相关指数R2，并描述解释变量与预报变量之间的关系．

解析：(3)由题意得：

6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.9
y
6
12
25
49
95
190
2i＝(yi－i)2＝3.164 3，
(yi－i)2＝－n 2＝25 553.3，
R2＝1－≈0.999 9.

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99 %。

►品味高考

1．(2013·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.347x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④

解析：由回归直线方程＝x＋，知当＞0时，y与x正相关；当＜0时，y与x负相关．∴①④一定错误．故选D.
答案：D

2．(2013·福建卷)已知x与y之间的几组数据如下表：

x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.＞b′，＞a′ B.＞b′，＜a′
C.＜b′，＞a′ D.＜b′，＜a′

解析：＝＝，＝，代入公式求得＝＝，
＝－－＝－×＝－，
而b′＝2，a′＝－2，∴＜b′，＞a′，故选C.
答案：C

3．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；

解析：由题意知：n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2.
又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求回归方程为：y＝0.3x－0.4.

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

解析：由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

解析：将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为：y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为＝x＋.