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第四章导数的应用问题洛必达法则、函数的性质和图像第一节联结局部与整体的纽带 中值定理一、费马定理主要内容:二、中值定理一、费马定理一、费马定理局部概念局部概念极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能大于极大值可能大于极小值极小值,极大值也可能小于极小值极大值也可能小于极小值.例如例如,在极值点处的切在极值点处的切在极值点处的切在极值点处的切线是水平的，这线是水平的，这线是水平的，这线是水平的，这是一种偶然吗？是一种偶然吗？是一种偶然吗？是一种偶然吗？驻点驻点(0,0)(0,0)点是点是点是点是驻点驻点驻点驻点3xy=在在在在(0,0)(0,0)左侧的左侧的左侧的左侧的切线斜率切线斜率切线斜率切线斜率k k=1 1.在在在在(0,0)(0,0)右侧的右侧的右侧的右侧的切线斜率切线斜率切线斜率切线斜率k k=1=1.二、中值定理二、中值定理拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理物理含义：物理含义：这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.提示与分析：提示与分析：例例3 3证证由上式得由上式得00提示与分析：提示与分析：罗尔定理罗尔定理罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例几何解释几何解释:例例5 5证证由零点定理由零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,三、小结三、小结费马定理费马定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理罗尔定理作业：习题作业：习题4：1 1注意注意:定理成立的条件；定理成立的条件；利用中值定理证明等式与不等式的步骤利用中值定理证明等式与不等式的步骤.练练习习题题3,(1,2),(2,3),(3,4)恒为零恒为零 费马（16011665）法国著名数学家，被誉为法国著名数学家，被誉为“业余数业余数学家之王学家之王”。n 解析几何的发明者之一；解析几何的发明者之一；n 对于对于微积分微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨茨,概率论概率论的主要创始人；的主要创始人；n 独承独承1717世纪数论天地的人；世纪数论天地的人；n 对物理学也有重要贡献。对物理学也有重要贡献。费马猜想费马猜想:费马对古希腊数学家丢番图著算术一书中费马对古希腊数学家丢番图著算术一书中的数论问题有浓厚的兴趣的数论问题有浓厚的兴趣,当他读到命题当他读到命题“将将一个平方数分为两个平方数一个平方数分为两个平方数”时时,他想到了更他想到了更一般的问题一般的问题.于是于是,在页边空白处用拉丁文写了在页边空白处用拉丁文写了如下一段话如下一段话:“:“将一个立方数分为两个立方数将一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂一个四次幂分为两个四次幂,或者一般地将一或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可这是不可能的能的.关于此关于此,我确信已发现一种奇妙的证法我确信已发现一种奇妙的证法,可惜这里的空白太小可惜这里的空白太小,写不下写不下.”.”这段叙述用现代数学语言来说这段叙述用现代数学语言来说,就是就是:当整数当整数n2时，方程时，方程xn+yn=zn 没有正整数解没有正整数解.这就是费马猜想这就是费马猜想,又叫做费马问题又叫做费马问题,但更多地叫但更多地叫做费马最后定理做费马最后定理(FermatsLastTheorem).