弹性力学试题及标准答案样本.doc

弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、 填空题
1、 弹性力学研究弹性体由于受外力作用、 边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。
2、 在弹性力学中规定, 线应变以伸长时为正, 缩短时为负, 与正应力的正负号规定相适应。
3、 在弹性力学中规定, 切应变以直角变小时为正, 变大时为负, 与切应力的正负号规定相适应。
4、 物体受外力以后, 其内部将发生内力, 它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的, 是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、 弹性力学的基本假定为连续性、 完全弹性、 均匀性、 各向同性。
6、 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、 已知一点处的应力分量MPa, MPa, MPa, 则主应力150MPa, 0MPa, 。
8、 已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa, 则主应力512 MPa, -312 MPa, -37°57′。
9、 已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa, 则主应力1052 MPa, -2052 MPa, -82°32′。
10、 在弹性力学里分析问题, 要考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件, 分别建立三套方程。
11、 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、 边界条件表示边界上位移与约束, 或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。
13、 按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构, 然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、 每个单元的位移一般总是包含着两部分: 一部分是由本单元的形变引起的, 另一部分是由于其它单元发生了形变而连带引起的。
16、 每个单元的应变一般总是包含着两部分: 一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的, 是各点不相同的, 即所谓变量应变; 另一部分是与位置坐标无关的, 是各点相同的, 即所谓常量应变。
17、 为了能从有限单元法得出正确的解答, 位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变, 还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、 为了使得单元内部的位移保持连续, 必须把位移模式取为坐标的单值连续函数, 为了使得相邻单元的位移保持连续, 就不但要使它们在公共结点处具有相同的位移时, 也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、 在有限单元法中, 单元的形函数Ni在i结点Ni=1; 在其它结点Ni=0及∑Ni=1。
20、 为了提高有限单元法分析的精度, 一般能够采用两种方法: 一是将单元的尺寸减小, 以便较好地反映位移和应力变化情况; 二是采用包含更高次项的位移模式, 使位移和应力的精度提高。

二、 判断题( 请在正确命题后的括号内打”√”, 在错误命题后的括号内打”×”)
1、 连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满, 不留下任何空隙。( √)
5、 如果某一问题中, , 只存在平面应力分量, , , 且它们不沿z方向变化, 仅为x, y的函数, 此问题是平面应力问题。( √)
6、 如果某一问题中, , 只存在平面应变分量, , , 且它们不沿z方向变化, 仅为x, y的函数, 此问题是平面应变问题。( √)
9、 当物体的形变分量完全确定时, 位移分量却不能完全确定。( √)
10、 当物体的位移分量完全确定时, 形变分量即完全确定。( √)
14、 在有限单元法中, 结点力是指结点对单元的作用力。( √)
15、 在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。( √ )

三、 分析计算题
1、 试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件, 并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
( 1) , , ;
( 2) , , ;
其中, A, B, C, D, E, F为常数。
解: 应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件: ( 1) 在区域内的平衡微分方程; ( 2) 在区域内的相容方程; ( 3) 在边界上的应力边界条件; ( 4) 对于多连体的位移单值条件。
( 1) 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程, 必须A=-F, D=-E。另外还应满足应力边界条件。
( 2) 为了满足相容方程, 其系数必须满足A+B=0; 为了满足平衡微分方程, 其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的, 因此, 此组应力分量不可能存在。
2、 已知应力分量, , , 体力不计, Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1, C2, C3。
解: 将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x, y的任意性, 得

由此解得, , ,
3、 已知应力分量, , , 判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解: 将已知应力分量, , , 代入平衡微分方程

可知, 已知应力分量, , 一般不满足平衡微分方程, 只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程:

将已知应力分量, , 代入上式, 可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程:

将已知应力分量, , 代入上式, 可知满足相容方程。
4、 试写出平面问题的应变分量存在的必要条件, 并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
( 1) , , ;
( 2) , , ;
( 3) , , ;
其中, A, B, C, D为常数。
解: 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件, 即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程, 可知:
( 1) 相容。
( 2) ( 1分) ; 这组应力分量若存在, 则须满足: B=0, 2A=C。
( 3) 0=C; 这组应力分量若存在, 则须满足: C=0, 则, , ( 1分) 。
5、 证明应力函数能满足相容方程, 并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题( 体力不计, ) 。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解: 将应力函数代入相容方程

可知, 所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力, 对应的应力分量为
, ,
对于图示的矩形板和坐标系, 当板内发生上述应力时, 根据边界条件, 上下左右四个边上的面力分别为:
上边, , , , , ;
下边, , , , , ;
左边, , , , , ;
右边, , , , , 。
可见, 上下两边没有面力, 而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此, 应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力( b>0) 和均布压力( b<0) 的问题。
6、 证明应力函数能满足相容方程, 并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题( 体力不计, ) 。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解: 将应力函数代入相容方程

可知, 所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力, 对应的应力分量为
, ,
对于图示的矩形板和坐标系, 当板内发生上述应力时, 根据边界条件, 上下左右四个边上的面力分别为:
上边, , , , , ;
下边, , , , , ;
左边, , , , , ;
右边, , , , , 。
可见, 在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a, 而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此, 应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、 如图所示的矩形截面的长坚柱, 密度为, 在一边侧面上受均布剪力, 试求应力分量。
O
x
y
b
q
rg

解: 根据结构的特点和受力情况, 能够假定纵向纤维互不挤压, 即设。由此可知

将上式对y积分两次, 可得如下应力函数表示式

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

这是y的线性方程, 但相容方程要求它有无数多的解( 全柱内的y值都应该满足它) , 可见它的系数和自由项都应该等于零, 即
,
这两个方程要求
,
代入应力函数表示式, 并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后, 便得

对应应力分量为

以上常数能够根据边界条件确定。
左边, , , , 沿y方向无面力, 因此有

右边, , , , 沿y方向的面力为q, 因此有

上边, , , , 没有水平面力, 这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零, 即

将的表示式代入, 并考虑到C=0, 则有

而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力, 这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零, 即
,
将的表示式代入, 则有

由此可得
, , , ,
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处( y=0) 的边界条件, 但按照圣维南原理, 在稍远离y=0处这一结果应是适用的。

8、 证明: 如果体力分量虽然不是常量, 但却是有势的力, 即体力分量能够表示为, , 其中V是势函数, 则应力分量亦可用应力函数表示为, , , , 试导出相应的相容方程。
证明: 在体力为有势力的情况下, 按应力求解应力边界问题时, 应力分量, , 应当满足平衡微分方程
( 1分)
还应满足相容方程
( 对于平面应力问题)
( 对于平面应变问题)
并在边界上满足应力边界条件( 1分) 。对于多连体, 有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为

这是一个齐次微分方程组。为了求得通解, 将其中第一个方程改写为

根据微分方程理论, 一定存在某一函数A( x, y) , 使得
,
同样, 将第二个方程改写为
( 1分)
可见也一定存在某一函数B( x, y) , 使得
,
由此得

因而又一定存在某一函数, 使得
,
代入以上各式, 得应力分量
, ,
为了使上述应力分量能同量满足相容方程, 应力函数必须满足一定的方程, 将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程, 得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程, 得

简写为

9、 如图所示三角形悬臂梁只受重力作用, 而梁的密度为, 试用纯三次的应力函数求解。
O
x
y
a
rg

解: 纯三次的应力函数为

相应的应力分量表示式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。
上边, , , , 没有水平面力, 因此有

对上端面的任意x值都应成立, 可见

同时, 该边界上没有竖直面力, 因此有

对上端面的任意x值都应成立, 可见

因此, 应力分量能够简化为
, ,
斜面, , , , 没有面力, 因此有

由第一个方程, 得

对斜面的任意x值都应成立, 这就要求

由第二个方程, 得

对斜面的任意x值都应成立, 这就要求
( 1分)
由此解得
( 1分) ,
从而应力分量为
, ,
设三角形悬臂梁的长为l, 高为h, 则。根据力的平衡, 固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0, 沿y方向的分量为。因此, 所求在这部分边界上合成的主矢应为零, 应当合成为反力。

可见, 所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、 设有楔形体如图所示, 左面铅直, 右面与铅直面成角, 下端作为无限长, 承受重力及液体压力, 楔形体的密度为, 液体的密度为, 试求应力分量。
r2g
r1g
a
y
x
O

解: 采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点, 每一个应力分量都将由两部分组成: 一部分由重力引起, 应当与成正比( g是重力加速度) ; 另一部分由液体压力引起, 应当与成正比。另外, 每一部分还与, x, y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2, 和的量纲是L-2MT-2, 是量纲一的
量, 而x和y的量纲是L, 因此, 如果应力分量具有多项式的解答, 那么它们的表示式只可能是, , , 四项的组合, 而其中的A, B, C, D是量纲一的量, 只与有关。这就是说, 各应力分量的表示式只可能是x和y的纯一次式。
其次, 由应力函数与应力分量的关系式可知, 应力函数比应力分量的长度量纲高二次, 应该是x和y纯三次式, 因此, 假设

相应的应力分量表示式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。
左面, , , , 作用有水平面力, 因此有

对左面的任意y值都应成立, 可见

同时, 该边界上没有竖直面力, 因此有

对左面的任意y值都应成立, 可见

因此, 应力分量能够简化为
, ,
斜面, , , , 没有面力, 因此有

由第一个方程, 得

对斜面的任意y值都应成立, 这就要求

由第二个方程, 得

对斜面的任意x值都应成立, 这就要求

由此解得
,
从而应力分量为

, ,