成人高考专升本高等数学二公式大全.doc

成人高考专升本高等数学二公式大全

资料仅供参考
第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则
如果那么

推广：上面法则能够推广到有限多个数列的情况。例如，若，，有极限，则：
特别地，如果C是常数，那么
2、函数极限的四算运则
如果那么

推论设都存在，为常数，为正整数，则有：

3、无穷小量的比较：

第二章节公式
1.导数的定义：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
3．导函数(导数)
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
4．几种常见函数的导数
(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1), (ex)′＝ex
(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)
(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx
(7) , (8)
(9) , (10)
(11) , (12)
5．函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′
′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．
(uvw)′＝u′vw＋uv′w+ uvw′
微分公式：
（1）

(7) , (8)
(9) , (10)
(11) , (12)
6．微分的四算运则
d(u±v)＝du±dv， d(uv)＝v du＋udv
d(ku)＝kdu(k为常数)．
洛必达法则：在一定条件下经过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

7.导数的应用：
=0 的点为函数的驻点，求极值；
(1)时，;,,;
(2)时，;,,;
(3) ;
=0 的点为函数的拐点，求凹凸区间；

第三章知识点概况
不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作，并称为积分符号，函数为被积函数，为被积表示式，x为积分变量。

不定积分的性质：

基本积分公式：

换元积分（凑微分）法：
1. 凑微分。对不定积分，将被积表示式g(x)dx凑成
2. 作变量代换。令3.用公式积分，，并用换式中的u
常见的凑微分公式主要有：

分部积分法：适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。
一些简单有理函数的积分，能够直接写成两个分式之和，或经过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。
定积分:
(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有
（2）在定积分的定义中，我们假定a<b;如果b<a，我们规定：
如果a=b,则规定：
（3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有
为奇函数 为偶函数
定积分的性质：
定积分的计算：
一、变上限函数
设函数在区间上连续，而且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为
这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，因此定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数
记为

推理：

定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为
图 5-11
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：
设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式一般也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
定积分的换元公式：
计算要领是：定积分的分部积分法：

y
a o b x
图5.8
5.4.2定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下面积的计算
(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.
(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.
下面用微元法求面积.
①取为积分变量，.
②在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积能够用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素
.
③写出积分表示式，即
.
⑶求由两条曲线，及直线所围成平
o x
y
d
y+dy
y

c

面图形（如图5.9）的面积.
这里取为积分变量，，
用类似 (2)的方法能够推出：
.

第四章知识点多元函数微分学
§4.1 偏导数与全微分
一. 主要内容：
㈠. 多元函数的概念
1. 二元函数的定义：
2. 二元函数的几何意义：
二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）
Z=ax+by+c表示一个平面；
表示球心在原点、半径为R的上半个球面；
，表示开口向上的圆锥面；
，表示开口向上的旋转剖物面。
㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)

则称
在点(x,y)处的全微分。
3. 全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：
1.

2.

㈥.隐含数的偏导数：
1.

2.

㈦.二阶偏导数：

（八）隐函数的导数和偏导数

(九).二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：

☆ 极大值和极小值统称为极值，
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

而非充分条件。
例：

∴驻点不一定是极值点。

3. 极值的充分条件：

求二元极值的方法：

二倍角公式：(含万能公式)
①
②
③ ④ ⑤
第五章排列与组合
（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。
（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。
排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：

第六章概率论
符号
概率论
集合论

　　样本空间
　　全集

　　不可能事件
　　空集

　　基本事件
　　集合的元素
　　　 A
　　事件
　　子集

　　A的对立事件
　　A的余集

　　事件A发生导致
　　事件B发生
　　A是B的子集
　　　A=B
　　A与B两事件相等
　　集合A与B相等

　　事件A与事件B
　　至少有一个发生
　　A与B的并集

　　事件A与事件B同时发生
　　A与B的交集
　　　A-B
　　事件A发生而事件B不发生
　　A与B的差集

　　事件A与事件B互不相容
　　A与B没有相同元素
由于随机事件都能够用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就能够用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，能够用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。
　　各事件的关系运算如图示：

　　9.完备事件组
　　n个事件，如果满足下列条件：
　　（1）；
　　（2），
　　则称其为完备事件组。
　　显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。
　　10.事件运算的运算规则：
　　（1）交换律
　　（2）结合律

　　（3）分配律

　　（4）对偶律
率的古典定义
　　定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。 概率的基本性质与运算法则
　　性质1.0≤P(A)≤1
　　特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1
　　性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)
　　性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。
　　推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)
　　推论2.对任一事件A,有
　　推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
条件概率、乘法公式、事件的独立性
条件概率
　　定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

　　类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

　　乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性
　　一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。
　　定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型
　　在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布
（一）随机变量
　　1.随机变量
　　定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。
　　2.离散型随机变量
　　定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。
　　（二）分布函数与概率分布
　　1.分布函数
　　定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。
　　分布函数F(x)有以下性质：

　　（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

　　（4）F(x)是右连续的，即
　　（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)
　　2.离散型随机变量的概率分布

　　则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。
　　离散型随机变量X的概率分布也能够用下列列表形式来表示：

　　3.分布函数与概率分布之间的关系
　　若X为离散型随机变量，则。
随机变量的数字特征
　　1.数学期望
　　（1）数学期望的概念
　　定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为
　　若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

　　（2）数学期望的性质
　①若C为常数，则E(C)=C
　　②若a为常数，则E(aX)=aE(X)
　　③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b
　　④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)
　　2.方差
　　（1）方差的概念
　　定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即
　　方差的算术平方根称为均方差或标准差，
　　对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，
　　则X的方差为
　　（2）方差的性质
　　①若C为常数，则D(C)=0
　　②若a为常数，则
　　③若b为常数，则D(X+b)=D(X)
　　④