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詹森不等式
（詹森(Jensen）不等式）若为上凹函数，则对任意，0（）,=1,有
（1）
证明 应用数学归纳法.当=2时，由凸函数定义命题显然成立.设=时命题成立.即对任意及
，，=1，
都有

现设及
,=1
令，，则=1.由数学归纳法假设可推得

=

=
=
这就证明了对任何正整数（），凸函数总有不等式（1）成立.
证明： 取函数，
因为<0，
所以 是区间上严格凹函数
则对及（），
（i） 若，则上式等号成立.
（ii） 若不全相等，则由詹森不等式.

即

=
因为在上单调递增
所以