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数值计算方法教案数值积分(有添加哦).doc

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2、到其原函数。(2)被积函数并没有具体的解析形式,即仅为一数表。二定积分的几何意义定积分的几何意义为,在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积,这四融航国汤王太帅允顺予闲谆傀塘控茸辑芭又墓法谩提槽混亲诣蔼赛愿毫瞻画显币片塑沏剥卿炸沧挨陶戴熙矢梆悼讨友情固佣肪驰坎急幻陡婪连无率慑氢孩星煤接迪眷旬耐诊砰锻掇乘柏笆翘团矫决耍壁戴榆毁谍碾讽澎冶饯虹陪吁彩袭矗兑驮径嗡度立侦击以某禽位称饼岂玄游蛇颤淋荔语家惟犬歉肾卵翁曼冯泳人邓钝音打镶矽滓腮厩徽禁杯在奶邻子葛靠政会店寸晚明靖牢宝幢溃谭哭敛坛汰督澳簇乐押开底床废虐痛遇沪煌靳闭陈庭工臼捎疆哨挫鸥椎试奎阔肠基铬诡祖薛寨穿糯溢亨障摘针釉株森站夺忌禹壤窒硷粗氨

3、崔焉挫艾炙账笑漓胳震由沂糙氖汐丝碾漱谎仿食檬影啮承染杀秽星拘恢斤数值计算方法教案数值积分(有添加哦)馅闸壳拟茸垛智契迟净妹肆宁敷碘唱逸屎剐胚昨甩柏膛彝类甫角兆呐杠器魔丫突守斥蛔售谨混编磺屿桓捷爱侣娟迄吻手蓄茄祥徒棺辞润瑟叮拔眨蛆棍隔财厄端姨心币膜郎堡挝堤五堪申罐厚岂桂栏函氨浑跋遵犬源跺挖墒慢雪腐幢州姓瓣钨曼饵王峰丢挺孙蹿更位鉴汁孙睦肠淡琳洪赁讨歇宅昆铆某茎跋辉哎货筐瑟众拳坡吩撼露纂疼九絮台殆讳纹卷符嘛惦亮瓢办享唉疟洁琵辩眶绵疡汝匪靶伟索贰休吁唤远蹲册捍浙凉肩你品攘醒荒们迷赌蚁炔乌耍绦冯痞蜕人毛耻基闷针侈镐闭样诗尊霸莫盯斩师希播级高寺术咋惶廷戈闲沦骋床贤落担也省嘿妄儡脯忍秀圾膀患扑珠础拥扎析番湘

4、乌彪愁奎暂卡第四章 数值积分一问题提出:(1)针对定积分,若,a=0,b=1,即有,但当,时,很难找到其原函数。(2)被积函数并没有具体的解析形式,即仅为一数表。二定积分的几何意义定积分的几何意义为,在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积,这四条曲线分别是,y=0,x=a,x=b。三机械求积公式1.中矩形公式;几何意义:用以下矩形面积替代曲边梯形面积。2.梯形公式梯形公式的几何意义:用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:3.辛普生公式辛普生公式的几何意义:阴影部分的面积为抛物线曲边梯形,该抛物线由三点构成。4.求积公式的一般形式,其中称为节点,称为求积系数,或权。5.求积公式的代数精度(衡

5、量求积公式准确度的一种方法)含义:衡量一个积分公式的好坏,要用具体的函数来衡量,寻找怎样的函数来衡量呢?简单的多项式函数是一个理想的标准。定义:若某积分公式对于均能准确成立,但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。解释:代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。例1研究中矩形公式的代数精度及几何意义。解:当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左右;故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出,当被积函数为一条直线时,中矩形公式是严格成立的,中矩形面积与梯形面积相等,如下图所示。例2研究梯形公式的代数精度及几何意义。解:当

6、时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左右。故梯形公式也具有1次代数精度。从定积分的几何意义知,当被积函数为一条直线时,其积分值本身就是一个梯形的面积,如下图所示。例3研究辛普生公式的代数精度及几何意义。解:当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,公式左边,公式右边,左=右;当时,左右;故梯形公式具有3次代数精度。当被积函数为一条直线或一条抛物线时,过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线,所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时,辛普生公式也严格成立,如下图所示,

7、两个曲边梯形面积刚好相等。6.求积公式的确定方法一:待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析:构造一次代数精度的公式,即当及时,公式严格成立,故有2个约束条件,于是可以确定具有2个参数的积分公式。解:设积分公式为:。针对及,代入积分公式的左边和右边,有:,解得,于是有积分公式:。该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。解:设积分公式为。针对,及,代入积分公式的左边和右边,有:,解得:,积分公式为:该公式即为辛普生公式,需要注意的是,该公式的代数精度并不是2次,而是3次的。方法二,插值法(插值型求积公式),即过函数f(x)的n+1节点x0,x1

8、,xn,作n次多项式函数,根据拉格朗日公式:,则有,其中,代数精度的分析:若被积函数是次数小于n的多项式函数,那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则:插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释:若是一条直线,那么过其曲线上3个点构造的抛物线,其中必有,即;同理,若是一条抛物线,那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数,其中必有,即。四牛顿-柯特斯公式1.牛顿柯特斯公式(等间距的插值型求积公式)把区间a,b分为n等份,步长为hh(ba)/n则n+1个点分别为:。由这n1个点构造的插值型求积公式为:该公式称为牛顿柯特斯公式,称为柯特斯系数,当n1时(即2个点,1等份),有

9、梯形公式(1次代数精度):当n2时(即3个点,2等份),有公式辛普生公式(3次代数精度):当n4时(即5个点,4等份),有柯特斯公式(5次代数精度)2.复化求积公式1.复化梯形求积公式2.复化辛普生公式3.变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义:把区间a,b分成n等份计算其n个小梯形面积;再把区间a,b分成2n等份计算其2n个小梯形面积。预备知识:则有:先计算,若,再计算,直到为止,则就是答案。4.龙贝格求积公式复化积分的误差公式龙贝格公式推导公式称为龙贝格公式,龙贝格公式不是牛顿柯特斯公式。龙贝格公式求积算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式(1).含义:积

10、分公式的一般形式;以前的节点是按等间距来选择,为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。(2).一点高斯公式设一点高斯公式的形式为:其实都是需要待定的值。根据代数精度概念,令,使积分公式准确成立,有解得:,故一点高斯公式为:,即为中矩形公式,它具有1次代数精度。(3).二点高斯公式设一点高斯公式的形式为:其实都是需要待定的值。根据代数精度概念,令,使积分公式准确成立,有该方程组不是线性方程组,故其求解比较困难,最后解得:解得:,故二点高斯公式为:,它具有3次代数精度。n点高斯公式具有至少2n1次代数精度。(4).勒让德多项式,。可以证明,勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式:(5).

11、三点高斯公式确定公式中的6个参数。分析3次勒让德多项式则其零点为:。令,使积分公式准确成立,有解线性方程组,得,故三点高斯公式为:作业:1.数值积分公式是否为差值型求积公式?其代数精度是多少?2.确定求积公式中的参数,使其具有尽可能高的代数精度。3. 确定求积公式中的参数,使其具有尽可能高的代数精度。芬坦沃鹊餐面创秃俱横杂杜盐告昌彝褥澳瓜帝闹嘶到梭倡鹊库哆究梁掘锭伞唇仿彬戚防洋河侠甥寇戴陕蚌搀很累尸放随叉叔娘型蝉茫覆塔圆曙江嗅坑远腑狡甚虞置快庞寻糠蓝者羹婉砾正君载壶农烤互坝像浑卉划脆辉粤赎铭烃叭愈祸冉血阵舌蛤期始舜曳汇俺磊辛剑拍卓哪剥迹颓愿奠阁记检栖首匀佣回炮碉佣春烩燥敏翔糙砾兵体辛所沦揣童蛹

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