一.分数乘法-1.知识点汇总.docx

知识点、考点、解题思想、方法和技巧 汇总
1．倒数的认识
【知识点解释】
若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

【解题思路点拨】
求倒数的方法：
1. 求一个分数的倒数，例如，我们只须把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为．
2. 求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为．
3. 求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．

【注意事项】
0没有倒数．

【命题方向】
常考题型：
例1：0.3的倒数是　　．
分析：根据倒数的定义求解．
解：0.3＝的倒数是．
故答案为：．
点评：
此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
例2：一个数除以等于的倒数，求这个数．
分析：根据题意，的倒数是1÷，再乘上即可．
解：1÷×，
＝×，
＝；
答：这个数是．
点评：根据题意，先求出的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．
2．小数大小的比较
【知识点归纳】
小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较．
因此，
比较两个小数的大小：
1. 先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；
2. 如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；
3. 如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大．

【命题方向】
常考题型：
例1：整数都比小数大．　×　（判断对错）．
分析：
因为小数包括整数部分和小数部分，所以本题可以举整数部分不为0的反例去判断．
解：比如：整数2比小数3.9小，这与题干的说法相矛盾，
所以，“整数都比小数大”这个判断的是错误的；
故答案为：×．
点评：
比较整数和小数的大小时，
要先比较整数部分的位数，
它们的数位如果不同，那么数位多的那个数就大，
如果数位相同，相同数位上的数大的那个数就大；
如果整数部分相同，然后再比较小数部分的十分位、百分位、千分位…

例2：在0.3，0.33，0.，34%，这五个数中，最大的数是　34%　，最小的数是　0.3　，相等的数是　0.　和　　．
分析：有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案．
解：34%＝0.34，＝0.，
因为0.34＞0.＝0.＞0.33＞0.3，
所以34%＞0.＝＞0.33＞0.3，
所以在0.3，0.33，0.，34%，这五个数中，最大的数是34%，最小的数是0.3，相等的数是0.和．
故答案为：34%，0.3，0.，．
点评：
解决有关小数、百分数、分数之间的大小比较，
一般都把分数、百分数化为小数再进行比较，
从而解决问题．
3．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）

【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（　　）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．

例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（　　）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
4．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．
注意：
带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．

分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：
三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，
或者
先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．

分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．

【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是　5　千克，6千克减少它的后是　4　千克．
分析：
（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）6﹣＝5（千克）；
（2）6﹣6×＝6﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：
解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：
第一个分数是一个具体的数量，
第二个分数表示是某一个数量的几分之几，
由此灵活选择合理算法解答即可．

例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（+）km，那么第三周修了：（+）﹣
解：（+）﹣，
＝﹣+，
＝+，
＝+
＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
5．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1） 分数乘以整数或整数乘以分数：
由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，
分数乘以整数或整数乘以分数，
都可以
转化成分数乘以分数的形式．
因此，
在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．
在乘的过程中，
如果有可以约分的数，可以先约分，
这样，
可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2） 分数乘以分数：
用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．
为了使计算简便，
在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3） 带分数乘法：
先把带分数化成假分数，然后再乘．
结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：
方法1：
三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，
方法2：
先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，
它们的积相等．
（4） 乘法分配律：
两个分数的和与一个分数相乘所得的积，
等于
每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（　　）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作单位“1”，乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．

例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小．　×　．（判断对错）
分析：
本题的说法是错误的：
（1） 当这个数为零时，积总为零．
（2） 假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．
（3） 真分数＜1，只有当分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，
积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
6．分数的简便计算
【知识点归纳】
整数的简便计算同样适用于分数的简便计算
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：
方法1：
三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，
方法2：
先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，
它们的积相等．
（4） 乘法分配律：
两个分数的和与一个分数相乘所得的积，
等于
每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，
等于
这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；
或者
用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．

【命题方向】
常考题型：
例：脱式计算（能简算的要简算）
（1）（ +﹣）×24
（2）（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）
（3）2007×
分析：
（1）根据数字特点，运用乘法分配律简算；
（2）通过观察发现规律，每一个假分数（除了倒数第二项，因为它后面不再有对应的了）出现以后，在后面都会出现它的倒数，（除了倒数第二项，因为它后面不再有对应的了），最后只剩下第二项和倒数第二项，所以原式＝×；
（3）把2007看作（2006+1），然后运用乘法分配律简算；
解：（1）（+﹣）×24，
＝×24+×24﹣×24，
＝8+6﹣1，
＝13；

（2）（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣），
＝××××…××，
＝×，
＝；

（3）2007×，
＝（2006+1）×，
＝2006×+，
＝2005+，
＝2005
点评：
此题考查学生从数字特点出发，巧妙灵活地运用所学定律或性质、以及运算技巧，
得以简算的能力．
7．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
①分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序一致，
⑴先算括号内的数（按照小括号、中括号、大括号的顺序），
同一括号内或括号外的数，要按照先算乘除、后算加减的顺序进行计算．
⑵如果是同级运算，要按照从左到右的顺序，依次进行．
②繁分数：
⑴繁分数的定义：
在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这种形式的分数，叫做繁分数．
繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线），主分线比其他分数线要长一些．
⑵繁分数的化简：
①先找出中主分线，确定分子部分和分母部分，
然后，这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，
最后，改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果．
②根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后，通过计算，化为最简分数或整数．

【命题方向】
常考题型：
例1：比的少的数是（　　）
分析：
求一个数的几分之几用乘法，得出的是：×；
再求一个数比另一个数少几分之几的数，先求这个数占一个数的几分之几：1﹣，
最后求一个数的几分之几用乘法：（×）×（1﹣）．
解：（×）×（1﹣），
＝×，
＝；
故选：D．
点评：
此题考查了分数的四则混合运算．
求比一个数少几分之几的数，把一个数看作“1”，用乘法来解答．

例2：下面各题．
①×+÷＝
②7÷[1÷（4﹣）]＝
分析：按运算顺序计算即可．
解：①×+÷，
＝+×，
＝+2，
＝2；

②7÷[1÷（4﹣）]，
＝7÷[1÷]，
＝7÷，
＝24
点评：本题主要考查分数四则混合运算的计算顺序．
8．单位“1”的认识及确定
【知识点认识】
在分数中，单位“1”表示可以平均分的任何事物．
单位“1”的确定：
①“的几分之几”前面的量，如：a是b的，单位“1”为b；
②“比”后面的量，如：c比d多，单位“1”为d．

【命题方向】
常考题型：
例1：“小羊只数是大羊只数的”，（　　）是单位“1”．
分析：
小羊只数是大羊只数的，
根据分数的意义，
本题是把大羊的只数当做单位“1”平均分成8份，
小羊只数占大羊只数的．
解：根据分数的意义，本题是把大羊的只数当做单位“1”．
故选：B．
点评：在确定单位“1”时，一般“是谁、占谁”谁就是单位“1”．

例2：如果甲数的等于乙数的（甲、乙两数都不等于零），那么（　　）
A、甲＞乙 B、甲＜乙 C、甲＝乙 D、无法判断
分析：甲数的等于乙数的，那么甲：乙＝：＝15：8，所以甲＞乙．
解答：解：甲：乙＝：＝15：8；
所以甲＞乙．
故选：A．
点评：
已知一个数的几分之几等于另一个数的几分之几，
通过两个分数的比就能求出这两个数的大小．

9．图文应用题
【知识点归纳】
1．读懂图的意思．
2．将图转化成数学量，并且找出这些数学量之间的关系式．
3．带入关系式，运算出结果．

【命题方向】
常考题型：
例1：看图列式计算：

分析：
根据图意，汽车每小时的速度一定，行驶的路程和时间成正比例，由此列比例解答．
解：设还需要x小时到乙地，
40×4.5：3＝40x：7，
3×40x＝180×7，
x＝，
x＝10.5；
答：还需要10.5小时达到乙地．
点评：此题的解答主要根据速度一定，行驶的路程和所用时间成正比例．由此解答即可．

例2：看图列式

列式：　28÷＝49（米）；　 列式：　120÷（1+）＝90（只）　．
分析：
（1） 把水渠的全长看成单位“1”，已经修了全长的，它对应的数量是28米；
由此 用除法求出全长．
（2） 白兔的只数是单位“1”，灰兔的只数是白兔的（1+），它对应的数量是120只，
求出白兔的只数用除法．
解：（1）28÷＝49（米）；
答：水渠的全长是49米．
（2）120÷（1+），
＝120÷，
＝90（只）；
答：白兔有90只．
故答案为：28÷＝49（米）；120÷（1+）＝90（只）．
10．分数加减法应用题
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法的意义完全相同，在应用题中的关系也有很多相同的地方．
分数加减法应用题的难点在于有时候分数表示与单位1相对应的分率．
判断的标准是看有没有单位，注意单位1．

【命题方向】
常考题型：
例1：李明计划三天读完一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了全书的30%，剩下的第三天看完，第三天看了全书的（　　）
A、70% B、30% C、 D、10%
分析：
把这本书的总页数120看作单位“1”，
因为
前两天所看的页数对应的标准量都是120页，剩下的页数第三天看完，
所以，
第三天看的页数应是标准量的（1﹣﹣30%）＝30%．
解：1﹣﹣30%，
＝1﹣40%﹣30，
＝30%；
答：第三天看了全书的30%．
故选：B．
点评：解答此题的关键是确定标准量，即单位“1”．

例2：电视机厂四月上旬完成计划的，中旬完成计划的，下旬完成计划的．这个月完成计划的情况是（　　）
A、正好完成 B、超额完成 C、没有完成
分析：
把计划的量看作单位“1”，
把上旬完成计划的，中旬完成计划的，下旬完成计划的，加在一起，
再与单位“1”进行比较即可．
解：++，
＝++，
＝，
＝1；
1＞1，
所以是超额完成．
故选：B．
点评：本题运用异分母分数的计算法则进行解答即可．
11．分数乘法应用题
【知识点归纳】
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
解题关键：
准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，
然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．

【命题方向】
常考题型：
例1：一根钢材长4米，用去后，又用去米，还剩（　　）米．
A、 B、 C、2
分析：
根据题意，
用去后，把4米看作单位“1”，
剩下的占4米的（1﹣），
根据一个数乘分数的意义，用乘法解答，
又用去米，米是一个具体长度，
根据求剩余问题直接用减法解答．
解：4×（1﹣）﹣，
＝4×﹣，
＝3﹣，
＝2（米）；
答：还剩2米．
故选：B．
点评：此题解答关键是理解和米的意义，是分率，米是一个具体数量．

例2：某体操队的人数增加了后，又减了，现在的人数和原来相比（　　）
A、增加了 B、减少了 C、不变 D、不能确定
分析：
此题没有具体数量，
就把体操队的原有人数看做“1”，当做具体数量1，
第一个是把体操队的原有人数看做单位“1”，
第二个是把体操队的增加人数后的人数看做单位“1”，
由此分清单位“1”，列式解答，
算出的数据比“1”大，就比原来人数多；
反之，就比原来人数少．
解：设操队的原有人数看做“1”，
1×（1+）×（1﹣），
＝1××，
＝，
因为＜1，所以现在的人数比原来的人数减少了．
故选：B．
点评：
解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，
再把数据设出，问题容易解决．
12．分数四则复合应用题
【知识点归纳】

【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（　　）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：
一瓶油千克，先倒出它的，还剩×（1﹣）＝（千克），
再加千克，这时油重（+）千克，
计算即可．
解：现在油重：
×（1﹣）+，
＝×+，
＝+，
＝（千克）；
原来油重：
＝（千克）；
因为＞．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：
解答此题应分清两个“”的区别，
第一个“”表示分率，
第二个“”表示数量，
在列式时不要混淆．
13．正方形的周长
【知识点归纳】
正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，
所以，正方形周长＝边长×4．
用字母表示为c＝4a．

【命题方向】
常考题型：周长与边长的关系
例1：正方形的边长是周长的（　　）
A、 B、 C、 D、
分析：
因为
正方形的周长是四条边的和，并且正方形的4条边都相等，
所以
正方形的边长是周长的．
解：正方形的周长＝边长×4，所以正方形的边长是周长的．
故选：A．
点评：
此题主要考查正方形的边长和周长的关系，
根据正方形周长是边长的4倍即可得出二者的关系．

例2：一个边长2分米的正方形，如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，那么它周长与原来比，结果是（　　）
A、减小 B、不变 C、增加
分析：正方形对边相等，所以减去后周长不变．
解：因为正方形对边相等，所以减去后周长不变．
故选：B．
点评：此题考查学生对空间的想象力．

【解题思路点拔】
（1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得．
14．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：
由于长方形的周长＝（长+宽）×2，
所以用48除以2先求出长加宽的和，
再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而
求出长和宽分别是多少，
最后
根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：
本题考查了按比例分配的应用，
同时
也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．

例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：
（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，
利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．

【解题思路点拨】
（1） 常规题：
1. 求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；
2. 求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法：可通过分割补，灵活性高．

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日期：2019/11/4 21:40:22；用户：朱老师；邮箱：13316601019；学号：18813415

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