三角函数与解三角形测试题(含答案解析).doc

三角函数与解三角形
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
[答案]　D
2． y＝(sinx＋cosx)2－1是 (　　)
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
[答案]　D
[解析]　y＝(sinx＋cosx)2－1＝2sinxcosx＝sin2x，所以函数y＝(sinx＋cosx)2－1是最小正周期为π的奇函数．
3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sinx，则 (　　)
A．ω＝2，φ＝　　　　 B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
[答案]　B
[分析]　函数y＝sin(ωx＋φ)经过上述变换得到函数y＝sinx，把函数y＝sinx的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象．
[解析]　把y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍得到的函数解析式是y＝sin2x，再把这个函数图象向右平移个单位，得到的函数图象的解析式是y＝sin2＝sin，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－.
[点评]　本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性，本题也可以根据比较系数的方法求解，根据已知的变换方法，经过两次变换后函数y＝sin(ωx＋φ)被变换成y＝sin比较系数也可以得到问题的答案．
4．已知tanα＝2，则＝ (　　)
A. B．－
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵tanα＝2，∴＝＝＝.
5．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最大值是2，则ω的最小值等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　由条件知f＝2sinω＝2，∴ω＝8k＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2.
6．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为(　　)
A. B.
C．(0,0) D.
[答案]　A
[分析]　把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x轴的交点进行检验或直接令f(x)＝0求解．
[解析]　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，这个函数的最小正周期是，令＝1，解得ω＝2，故函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，把选项代入检验知点为其一个对称中心．
[点评]　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x轴的交点．
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 (　　)
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
[答案]　D
[解析]　由最大值为4，最小值为0得
，∴，
又因为正周期为，∴＝，∴ω＝4，∴函数为y＝2sin(4x＋φ)＋2，∵直线x＝为其对称轴，∴4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，取k＝1知φ＝，故选D.
8．已知cos(x―)=― ，则cosx+cos(x―)的值是 (　　)
A、― B、± C、―1 D、±1
9．已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则角A等于 (　　)
A．150° B．90°
C．60° D．30°
[答案]　D
[解析]　根据正弦定理得＝，∴sinA＝，
∵a<b，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，如图A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)

A．φ＝－ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝
[答案]　D
[解析]　由图可知，∴，
又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，将代入得sin＝0，结合选项知选D.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．计算：＝________.
解析：＝＝＝.
12．在△ABC中，若a＝b＝1，c＝，则∠C＝________.
[解析]　cosC＝＝＝－，∴C＝.
13． 若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案]　
[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
14． 已知f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
[答案]　[－1,2]
[解析]　f(x)在[0，]上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在[0，]上有两个不同实数解，
∴y＝2sin，x∈[0，]与y＝m有两个不同交点，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin(2x－)≤1，∴－1≤y≤2，∴－1≤m≤2.
15．对于函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)给出下列命题：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f(x)在区间[，]上是减函数；
③直线x＝是f(x)的图像的一条对称轴；
④f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．
[答案]　②③
[解析]　f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，最小正周期T＝π；由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋，故f(x)在区间[，]上是减函数；当x＝时，2x＋＝，∴x＝是f(x)的图象的一条对轴称；y＝sin2x的图象向左平移个单位得到的图象对应函数为y＝sin2，即y＝sin，因此只有②③正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f＝，0<α<，求cosα的值．
[解析]　(1)由图象知A＝1
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|<，∴φ＝
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin
(2)f＝，即sin＝，又0<α<，
∴<α＋<，∴cos＝.
又cosα＝[(α＋)－]
＝coscos＋sinsin＝.
17．(本小题满分12分) 已知,设.
(1)求函数的单调增区间；
（2）三角形的三个角所对边分别是，且满足，求边.
[解析](1) =
= ==
== ………………………………3分
由递增得：即
∴的递增区间是 。 ……………………6分
（2）由及得， ……………………8分
设，则 ……10分
所以。………12分
18．(本小题满分13分) 已知函数¦(x)=2―sin(2x+)―2sin2x，x∈[0,][中@国教^育%出版~*网]
(1)求函数¦(x)的值域；
(2)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若¦()=1，b=1，c=，求a的值

解：（1）[来源:中国#%&教育出^@版网]
[来#%源:中国教育&出版网^@]
…………………………………………………………………………4分
，，，[中%@#国教^育*出版网]
所以函数的值域是；…………………………………………………………6分
（2）由得,即
又因为,所以
所以,即. ………………………………………………………………9分
因为，所以由余弦定理

或
故的值为1或2. ………………12分[中&国教育@出^~%版网]

19．(本小题满分12分)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＋b＝5，c＝，且4sin2－cos2C＝.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解析]　(1)∵A＋B＋C＝180°，4sin2－cos2C＝.∴4cos2－cos2C＝，
∴4·－(2cos2C－1)＝，
∴4cos2C－4cosC＋1＝0，解得cosC＝，
∵0°<C<180°，∴C＝60°.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴7＝(a＋b)2－3ab，解得ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
20．(本小题满分13分)
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．

[解析]　(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组
解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝.

21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；
(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．
解：(1)f(x)＝2sin2x＋sinxcosx＋cos2x
＝1＋sin2x＋sinxcosx
＝1＋＋sin2x
＝sin(2x－)＋，
y＝f(x)最小正周期T＝π.
y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
(2)∵y＝＋sin(2x－)的图象
y＝sin2x的图象．