一元一次方程知识点和经典例题.doc

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一、知识要点梳理
知识点一：方程和方程的解
1.方程：含有_____________的______叫方程
注意：a.必须是等式 b.必须含有未知数。
易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。
考法：判断是不是方程：
例：下列式子：(1).8-7=1+0 (2).
1、 一元一次方程：　　
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
　　要点诠释：
　　一元一次方程须满足下列三个条件：
　　（1） 只含有一个未知数；
　　（2） 未知数的次数是1次；
　　（3） 整式方程．
2、方程的解：
　　判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
　　如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
　　如果，那么；如果，那么
　　要点诠释：
　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
　　即：（其中m≠0）
　　特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
　　　　　　　　　　　　　　　　　解一元一次方程的一般步骤
变形步骤
具 体 方 法
变 形 根 据
注 意 事 项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
移 项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类 项
把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数，得
等式性质2
分子、分母不能颠倒
要点诠释：
　　　　理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
　　 　　①a≠0时，方程有唯一解；
　　 　　②a=0，b=0时，方程有无数个解；
　　 　　③a=0，b≠0时，方程无解。
牛刀小试
例1、解方程
（1）y-

例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值
已知方程的解与方程的解相同，求m的值.

二、经典例题透析
类型一：一元一次方程的相关概念
　　1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是(　　)
　　A、5　　B、6　　C、7　　D、8

举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
　　（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )
　　A．－5 　　　B．5　　　 C．7　　　 D．2
　类型二：一元一次方程的解法
　　解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：
　　2、
　　　　　举一反三：
　　[变式]解方程　　举一反三：
　　[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
　　解：原方程可变形为 (__________________________)
　　　　去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
　　　　去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）
　　　　(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
　　　　合并，得5x=-17. (合并同类项)
　　　　（____________________）,得x=. （_________________________）

6．巧组合解方程：
　　7、
　　8．利用整体思想解方程：
　　9、
　　思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。

三、课堂练习
一、选择题
1、已知下列方程：（1）x-2=;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、下列四组变形中，正确的是（ ）
A 由5x+7=0,得5x= -7 B 由2x-3=0,得2x-3+3=0
C 由=2,得x= D由5x=7,得x=35
3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（ ）
A小时 B小时 C2小时 D3小时
4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（ ）
A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x
5、下列方程的变形中，是移项的是（ ）
A由3=x，得x=3 B由6x=3+5x，得6x=5x+3
C由2x=-1，得x=- D 由2x-3=x+5，得2x-x=5+3
6、方程6x=3+5x的解为（ ）
A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3
7、方程4(a-x)-4(x+1)=60的解是x=-1，则a为（ ）
A -14 B 20 C 14 D -16
8、动物园的门票售价：成人50元／张，儿童30元／张。某日动物园售出门票700张，共得29000元。设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪个一元一次方程（ ）
A、30x+50(700-x)=29000 B、50x+30(700-x)=29000
C、30x+50(700+x)=29000 D、 50x+30(700+x)=29000
9、解方程-=1，去分母正确的是（ ）
A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1
C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12-3X=6
10、如果-2的倒数是3，那么x的值是（ ）
A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 3
11、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则这次出售中商场（ ）
A 不赔不赚 B 赚160元 C 赚80元 D 赔80元
12、笼中有鸡兔共12只，共40条腿，设鸡有X只，根据题意，可列方程为（ ）
A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D-4(20-X)=X
12、已知下列方程：①；　②；　③；　④；
⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是　　　　　　　（ ）．
A．2　　　　 　B．3　　 C．4　　　　 D．5
13、已知关于的方程的解是，则的值是　（ 　　）．
A．-5　　　 　 B．-6　 　　 C．-7　　　　 D．8
14、方程移项后，正确的是 （ ）．
A．　　　 　 B． 　 　　
C．　　　 　 D．
15、方程，去分母得　　　　　　　　　　　　　　（ ）．
A．　　　 　 B． 　 　　
C．　　　 　 D．
16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2．5 km，则乙的时速是　　　　　　　　　　　　（ ）．
A．12．5 km　　 B．15 km 　　 C．17．5 km　　　 D．20 km
17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25％，另一件赔25％，那么这两件衣服售出后商店是　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）．
A．不赚不赔　　 　B． 赚8元 　　　C．亏8元　　 　 D． 赚15元
二、填空题：
1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为 。
2、已知方程（m-2）x+5=9是关于x的一元一次方程，则m = .
3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 。
4、3ab与2ab是同类项，则m = .
5、若+（y+1）=0,则x-y= .
6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为 。
7、当x= 时，的值是0.

8、7.1班发作业本，若每人发4本，则还余12本，若每人发5本，则还少18本，那么该班有 名学生。
9、使为关于的一元一次方程的＝______（写出一个你喜欢的数即可）．
10、当＝______ 时，式子的值是-3．
11、若与在某运算中可以合并，则，．
12、设某数为，根据下列条件列出方程：
（1）某数的比它的相反数大5．______________________________；
（2）某数的与的差刚好等于这个数的2倍．________________________．
13、某次数学竞赛共出了15道选择题，选对一题得4分，选错一题扣2分．若某同学得36分，他选对了________道题（不选算错）．
14、某商场对某种商品作调价，按原价8折出售，此时商品的利润率为10％，此商品的进价是1000元，则商品的原价是________.
15、某人将1000元存入银行，定期两年，若年利率为2.27％，则两年后利息为________元，若扣除20％的利息税，则实际得到的利息为________元，银行应付给该储户本息共____________元．
三、解答题：
1、解方程
（1）6x-3(5x-2)=0 (2) 20-2x=x-1

（3）=x-2 (4) -=2

（5） （6）

（7） （8）

四、 家庭练习
一、 填空题：
1、已知方程（a-2）x|a|-1=1是一元一次方程，则a=______，x=______．
2、下列说法：①、等式是方程； ②、x=4是方程5x+20=0的解； ③、x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法正确的是___ _．（填序号）
3、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于________
4、如果方程 ______．

5、三个连续奇数的和是75，则这三个数分别是__________。
6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16个，花去900元钱，已知排球每个42元，足球每个80元，设排球买了x个。则可列程为 ，
7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为22，这四个数为
8、数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是 ，
9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水_______吨.
二、选择题：
1、若a＝b，则下列式子正确的有（ ）
①a－2＝b－2 ②a＝b ③－a＝－b ④5a－1＝5b－1．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2、下列变形中，正确的是
A、若ac=bc，那么a=b。 B、若，那么a=b
C、＝，那么a=b。 D、若a=b那么a=b
3、给出下面四个方程及其变形：
①；②；
③；④；
其中变形正确的是（ ）
A．①③④　B．①②④ C．②③④ D．①②③
4、如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）
A. B. C. - D.-
5、将方程去分母，得到，错在（　　　）
A、最简公分母找错　　　　　　　　　　B、去分母时，漏乘3项　
C、去分母时，分子部分没有加括号　　　D、去分母时，各项所乘的数不同
6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4 张少26张，这个班共展出邮票的张数是 （ ）
A.164 B.178 C.168 D.174
7、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200元，其中一个盈利50%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商场（ ）
A.不赔不赚 B.赔100元 C.赚100元 D.赚360元
8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70只, 已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条,则鸵鸟的头数比奶牛多 ( )
A、20只 B、14只 C、15只 D、13只
三、运算题：
1、 2、

3、 4、

5. 6.．

四．当x为何值时，代数式与的值大2.

三、一元一次方程应用题（找出等量关系）
一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
1、数字问题
要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。

例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

2、日历中的规律：横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________
例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。
A 3 B 4 C 5 D 6
例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？

3、等积变形问题
常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？

例2. 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）

4、 和、差、倍、分问题：
倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.
例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

（2）配套问题：
例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）

例2. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
分析：列表法。

每人每天
人数
数量
大齿轮
16个
x人
16x
小齿轮
10个
人

等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍
解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮

答：略.
（3）分配问题：
例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

例2. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题 常用等量关系：各部分之和＝总量。）

（4）年龄问题：
例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？

例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。

5、工程问题
　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
　　解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(+)×3+=1，　
...................

例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？

6、① 打折销售问题
（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
（2）基本关系式：
①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价 。
由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。由③④可得出⑤利润率＝ 。
②市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？

例2、 某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
①相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程
②追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
 例1. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。　　
解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 　　
解这个方程，230x=390 　　　　　　　　
∴ x=1
答：略.
（2）分析：相背而行，画图表示为：　　

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，
由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 　　　　　　　　
∴ x=
答：略.
（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 　　　　　　　　　 50x=120　　　　　　　
∴ x=2.4
　　答：略.
（4）分析：追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 　　
解：设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 　　
解这个方程，50x=480 　∴ x=9.6
答：略.
（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480
　 50x=570 　解得， x=11.4 　　
① 答：略. 
③环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

1、A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？

2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？

4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？

5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。

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