概率论与数理统计试卷合集附答案(2)1.doc

《概率论与数理统计》期末试题一
一、 填空题（每小题4分，共40分）

1、 设与为互不相容的两个事件，，则 0 。

2、 事件与相互独立， 则 0.5 。

3、 设离散型随机变量的分布函数为

且 ，则 。

4、 某人投篮命中率为，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___________。

5、 设随机变量与相互独立，服从“0-1”分布，；服从的泊松分布，则

6、 已知 则

7、 设总体服从正态分布从总体中抽取样本则统计量服从_____________________分布。

8、 设总体服从正态分布其中为未知参数，从总体中抽取容量为16的样本，样本均值则总体均值的的置信区间为____（4.51，5.49）____。（）

9、 若，且与相互独立，则服从____________分布。

二、 计算题（每小题10分，共60分）

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：…………………
（2）第二次才取得次品的概率为：………………………
（3）令表示“第一次取出的是正品” ，表示“第一次取出的是次品”
表示“第二次取出的是次品”
第二次取出的是次品的概率为：

……………………………

2、 （10分）设随机变量的概率密度

0 其它

求：（1）的值；（2）的分布函数；（3）
解：（1）由可得，………………
所以，

0 其它

（2） ，
， ………………….
1

（3） …………………..

3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）和的联合分布律；（2）和的边缘分布律。

解：（1）和的联合分布律为：

…………………………………
（2）和的边缘分布律。
由于与相互独立，所以和的边缘分布律分别为：
……………
……………………….

4、 （10分）设总体的概率密度为
0， 其它
（1） 求的最大似然估计量；（2）求的矩估计量。

解：（1）似然函数为：
……………………………
取对数为：……………………….
由得，
…………………………
则的最大似然估计量为：。………
（2） ………………………………
由得，的矩估计量为：……………

5、 （10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布，现测得9炉铁水的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（）？（注： ）

解： …………………
在原假设成立的条件下，………………
已知 则 ，由得拒绝域为：
……………………………
当时，………………
所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。

1、设与为互斥事件，，则 0
8、已知总体，均未知，现从总体中抽取样本则的矩估计量；的矩估计量。
10、设随机变量 且 ，，则
6 ， 0.4 。
1、（10分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为 ， 乘飞机的概率为 ，如果乘火车来，迟到的概率为 ， 乘飞机来，迟到的概率为 ， 求：
（1）此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？
解：设C=“此人迟到”，A=“乘火车”，B=“乘飞机”
则，，，
（1）由全概率公式：
（2）由贝叶斯公式：
2、（10分）某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以 表示乘客的候车时间，
求：（1）乘客候车时间的概率分布。
（2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。
解：（1）
（2）

6、（10分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了10只甲种灯泡和8只乙种灯泡，测得平均寿命分别为 甲 =1400（小时）和乙 =1250（小时），样本标准差分别为 甲=52（小时） 和 乙=64（小时），设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等，试计算两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间。
（注： , ）
解：因为两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等
采用统计量，
又知 甲 =1400 乙 =1250，甲=52，乙=64
，，

两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间的下限为：
=1400-1250-2.1199×57.56×0.474342=92.12
置信区间的上限为：
=1400-1250+2.1199×57.56×0.474342=207.88
两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间（92.12，207.88）
1、设与为相互独立的两个事件，，则 。
3、已知，则 ；
。（请采用的形式表示计算结果）
10、设总体服从正态分布，从总体中抽取样本样本均值为，样本方差为，若未知，检验假设，则使用的统计量为 ，在显著性水平下关于的拒绝域为 {} 。

1、 已知一群人中，男人的色盲患者为，女人的色盲患者为0.25%，又知这群人中男女人数相等，现从其中随机抽取一人，
求：（1）这个人是色盲的概率？
（2）若这个人恰好是色盲，求其是男性的概率？
解：（1）令表示“这个人是色盲”，表示“这个人是男的”。

七、（15分）设是来自几何分布
，
的样本，试求未知参数的极大似然估计.
解 ----------5分

--------------------------------10分
解似然方程
，
得的极大似然估计
。--------------------------------------------------------------------15分
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______.
3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.
4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.
5． 设总体的概率密度为
.
是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
解：1．
即
所以
.
2．
由 知
即 解得 ，故
.
3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则

因为，所以，即
故

另解 在上函数严格单调，反函数为
所以

4．，故

.
5．似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为
.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则（1）

（2） .
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受.

（1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，，则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为___________.
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.
（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________.
（4） 设是总体的样本，是样本方差，若，则____________.
（注：, , , ）
解（1）
因为 与不相容，与不相容，所以，故
同理 .
.
（2）设‘四个球是同一颜色的’，
‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’
则 .
所求概率为

所以 .
（3）
其中 ，
，
.
（5）
即 ，亦即 .
（10分）设随机变量的概率密度为

求（1）常数； （2）的分布函数； （3）
解：（1）
∴
（2）的分布函数为

（3）.

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