必修一全部知识点及典型例题1.doc

第一部分 集合知识点
一集合的含义
1． 集合的中元素的三个特性：
元素确定性 元素的互异性 元素的无序性
2.集合的表示：{ … }
集合的表示方法
1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法： {xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
3．集合的分类：有限集 无限集 空集
4．常见集合表示
R实数集 Q有理数集 N自然数集 Z整数集 N*正整数集 C复数集
二集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB，即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB，即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质

AA=A AΦ=Φ
AB=BA ABA
ABB
AA=A AΦ=A
AB=BA ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)= Cu (AB)
(CuA) (CuB)= Cu(AB)
A (CuA)=U A (CuA)=Φ．

第二部分 函数知识点
一.函数.
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。（象与原象P36）
注意:对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域(注意区间表示方法)
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ）
A、 B、
C、 D、f（x）=x，
2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

3函数 ，若，则=

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

练习.函数 的定义域.

2求函数定义域的两个难点问题
（1）

（2）

练习.设，则的定义域为__________

变式练习：，求的定义域。

三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1．（直接法）

2．

3．（换元法）

4. （Δ法）

5.

6. (分离常数法) ① ②

7. (单调性)

8.①，② (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．(图象法)

10．(对号函数)

11. (几何意义)

四．函数的奇偶性
1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：
奇函数
偶函数

3.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
4．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系

1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，

2 已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3 已知在（－1，1）上有定义，且满足
证明：在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数满足，，则_______

五、函数的单调性
1．证明函数单调性的方法：
（Ⅰ）. 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（Ⅱ）用导数证明： 若在某个区间A内有导数，
则在A内为增函数；
在A内为减函数。
2．求单调区间的方法：
a.定义法：
b.导数法：
c.图象法：
d.复合函数在公共定义域上的单调性：
若f与g的单调性相同，则为增函数；
若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
3．一些有用的结论：
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；
b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
d.函数在上单调递增；在上是单调递减。

4 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。（同增异减）
1判断函数的单调性。

2例 函数对任意的，都有，并且当时，，
⑴求证：在上是增函数；
⑵若，解不等式

3函数的单调增区间是________

4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）

5．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：
单调递增
单调递减

六．函数的周期性：
1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是的周期
（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期
对照记忆
说明：
说明：
2．若；；；则周期是2

1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

2 定义在R上的偶函数，满足，在区间［-2,0］上单调递减，设，则的大小顺序为_____________
3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则
f (2005)= .

4 已知是(-)上的奇函数，，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=________
5 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时
⑴求证：是周期函数；
⑵当时，求的解析式；
⑶计算：

七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2.求反函数的步骤：
①求原函数，的值域B
②把看作方程，解出；
③x，y互换的的反函数为，。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；
（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；
（4）f-1[f(x)]=x;
（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；
（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过( )
（A） （B） （C） （D）
2：，的反函数为 。
3：已知，求的反函数。
4：设 。
八．一次函数与正比例函数
1．正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过两点O(0，0)，A(1，k)的一条直线；
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过两点A(0，b)，的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取．因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线．一次函数y=kx+b的图象是恒过(0，b)点且平行于直线y=kx的一条直线，其中k叫直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距(注意：截距b不是距离，它可以是正数，也可以是负数或零)．
2．一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的性质.

y=kx（k≠0）
y=kx+b（k≠0，且b≠0）

经过原点（0，0）
与两坐标轴的交点（0，b）为和（－b/k，0）
k＞0
经过一、三象限
必过一、三象限
k＜0
经过二、四象限
必过二、四象限
当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小。
当k＞0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角最大。

图象与系数的联系

八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标，其中a是二次项系数，决定开口方向和大小，b是一次项系数与a决定对称轴的位置，c为常数项是与Y轴的截距。
2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的解。
一元二次不等式的解集(a>0)

二次函数
△情况
一元二次不等式解集

Y=ax2+bx+c (a>0)
△=b2-4ac
ax2+bx+c>0
(a>0)
ax2+bx+c<0
(a>0)
图象与解

△>0

△=0

△<0
R

3．与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
4．一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．(x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a韦达定理)这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有
5．待定系数法求二次函数方程
二次函数的解析式：
（1）一般形式：
（2）顶点式：
（3）两根式：
例1.抛物线与轴交与、两点，且经过点，求抛物线解析式。
解： ∵抛物线与轴交于、两点
∴设抛物线为
∵抛物线过点
∴
即
∴
练习.已知抛物线，满足下列条件，求函数解析式。
①图像过点、、
②图像过点、且对称轴是
③图像顶点是，且过点
④图像和轴交于和两点，且过点

1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）
（A） (B) (C) (D)

2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______
3. 抛物线顶点且与轴交于两点、，且.求抛物线的解析式。

九．函数的图象变换（在下面画出图形变化的方法图形）

作出下列函数的简图：
（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|；

（3）y=2|x|； （4）y=|x2+2x-3|

十.函数的零点.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零
4.函数零点所在区间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。
5.二分法求零点
例.求
解：

因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为

十一．初等函数
1．根式
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，
1）当为奇数时，次方根记作；
2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作
②性质：1）；2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，。
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
①规定：1）N*； 2）；
n个
3）Q，4）、N* 且
②性质：1）、 Q）；
2）、 Q）；
3） Q）。
（注）上述性质对r、R均适用。
3．对数的概念
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数
1）以10为底的对数称常用对数，记作；
2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；
3）；4）对数恒等式：。
③运算性质：如果则
1）；
2）；
3）R）
④换底公式：
1）；2）。
4．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称

①，
②，
③
①，
②，
③，

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：
①定义：函数称对数函数，
1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4）对数函数与指数函数互为反函数
②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

③函数值的变化特征：

①，
②，
③.
①，
②，
③.

5．指数函数与对数函数对比
（1）指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
指数函数
对数函数
一般形式
Y=ax (a>0且a≠1)
y=logax (a>0 , a≠1)
定义域
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
过定点
（０，1）
（1，０）
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称

单调性
a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
值分布
y>1 y<1
y>0 y<0

（2）. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同
1、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象：

（3） 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
（4） 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
1、（1）的定义域为_______；
（2）的值域为_________；

（3）的递增区间为，值域为
2、（1），则

3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。

4.若a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域.

6．幂函数.
1. 幂函数的定义（形式定义）
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数.
自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.
2.幂函数图象的类型：（共有11种情况）

奇函数
、都是奇数

偶函数
是奇数，是偶数

非奇非偶函数
是偶数，是奇数

三、幂函数图象特征：
（1）当时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；
（2）当时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；
（3）当时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；
（4）当时，图象是一、三象限的角平分线；
（5）当时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.
（6）幂函数图象不经过第四象限；
（7）当时，幂函数的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）
（8）如果幂函数的图象与坐标轴没有交点，则；
（9）如果幂函数（、、都是正整数，且、互质）的图象不经过第三象限，则可取任意正整数，、中一个为奇数，另一个为偶数.
十一．函数的其他性质
函数的凸凹性：

凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）
凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）
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