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六年级学生代数思维发展的现状调查
摘要：《小学数学课程标准》中“数与代数”的内容一直以来在小学数学教学中有着重要的地位，是数学课改内容的一个亮点之一。《美国学校数学教育的原则和标准》中提到, “通常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数，建议在小学就包括代数”我国的数学新课程中，在小学阶段也安排了比较丰富的代数学习素材，发展小学生的代数思维，帮助学生顺利实现算术思维向代数思维的过度。
1问题提出
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中将“数与代数”作为四个内容领域之一这是我国历史上首次将 “数 （算术）”与“代数”的学习作为一个教学内容。仅就文本而言,这体现出加强算术与代数之间的联系的理念,即这种处理旨在强调”从算术向代数的过渡”,其实这也是义务教育整体性与一贯性的必然反映。在《义务教育数学课程标准》（2011年版）中也延续了这种理念与要求。
然而，正如有的研究者所指出的那样： 这种整体性与一贯性可能只是体现在这些制度文本的形式和表面， 而非丰富和内在的教学现实。因此，在教学实践中，算术与代数的教学普遍存在着独立甚至割裂现象，而这种现象势必导致学生在进入初中之后不能很好地理解代数的本质现在许多初中教师提出相当多的初一学生，甚至是高中生，对有关字母符号来代表数的题目感到非常畏惧，没有细心，显示出他们对字母符号概念仍然一知半解；同时，初中学生因计算错误而无法成功解题的比例也很高，究其根本原因，不难发现问题是发现在学生在小学阶段学习代数之初，学生在由具体操作数字为主的算术学习相依抽象形式运算为主的代数学习的过度中存在相当大的困难，这将影响到学生在往后许多数学学习过程。
路易斯.拉弗德在第 12 届国际数学教育大会（ICME—12，首尔，2012年7月8日—15日）上作了关于儿童早期的代数思维的报告他通过长达 5年的课堂跟踪观察，对儿童代数思维的产生和发展进行了细致而系统的研究。重点讨论了两个问题：一是低年级学生是否能够表现出非符号的具体形式的代数思维，二是如何解释学生代数思维的发展。在报告中，他重点介绍了学生在二、三、四年级的表现。重点有1.二年级学生表现出来的非符号的代数思维。2.学生在三、四年级代数思维的发展。学生代数思维的发展主要体现在以下两个方面：（1）感知、语言、手势等逐渐协调，逐步精练。（2）出现字母符号。
所以我们能基于这一部分知识，深入研究，初步培养小学生的代数意识与代数思维能力，那么对于初中生的数学学习将会产生很大的帮助。本文将以处在这一重要过渡阶段的小学六年级学生为研究对象。采用文献研究，调查研究相结合的方式开展“六年级学生代数思维发展的现状调查”
2 研究综述
2.1代数概念的形成与发展
数与代数的概念源自计数过程的“压缩”，然后成为符号化的过程性概念，特别是代数概念，是在算术概念的基础上进一步“压缩”，然后成为符号化的过程性概念，符号化的程度也进一步提高。
代数概念的特点：1.符号化。柯利斯将代数符号在数学中的用法区分为6类：(1).可以求出的值 (2).可忽略的值 (3).视为一对象 (4).特定未知数 (5).一般化的数（6）.变量。前三者，文字符号的使用停留在具体的层面，而后三者则过渡到抽象的思考模式。这两个层次之间的过渡至关重要。学习数学的目的之一是使学生懂得数学符号的意义并会使用符号工具解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号化思想，形成符号意识。
2.形式化。代数是一般化了的算术，其一般化的基本途径就是通过逐级抽象而获得形式化。（1）代数概念表示的往往是具有一般性的对象，即无论在任何情形下，都有某些结论成立。如求根公式针对的就是任何一元二次方程。（2）代数概念一般都用形式化的人工符号。（3）同一对象可以有多种不同的形式，而不同的形式往往有不同的含义和作用。（4）学生可以先学会“形式的”操作，然后再逐步理解其数学或实际意义。
3.结构化。代数的核心知识便是由了解代数系统的结构特征与发展代数方法而来。代数结构特征使得大多数代数概念之间都有一定的逻辑关系，代数中的许多概念也可以看作是由一些简单的概念“生成”的。
4.操作化。大多数代数概念的“可操作性”源于他们的两重性——既是过程又是对象。代数操作是以一中形式的符号操作，其操作对象是形式的数学符号、概念和程序，往往需要借助外部的表征。
一些代数核心概念的形成与发展：1.常量与变量。在中小学数学中，变量主要有三种用法：（1）作为特殊的未知数。这常在方程式中用到（2）作为普遍的规则，用来说明所有数字都适用（3）作为一组相关变量中的一个量。
学生的变量概念的形成与发展可以为（1）变量是数学式子中的一个填空。对变量的认识，处于这一阶段的学生在解决相关问题时采用的策略主要有：数字事实、数数技巧和尝试错误。（2）变量是需要求出的数值。处于这一阶段的学生在面临需合并已知数的方程式、未知数两次出现在方程式的同侧、未知数出现在方程式的两侧这类问题通常仍只能用试误法。（3）变量可以像其他数一样进行运算。处于这一阶段的学生在解决相关问题时一般会采取合并同类项的解题策略（4）变量可以看作是某种等价关系下的代表元素。在这一层次，学生认识到变量可以有多种等价形式，也能够灵活进行移项法则、等价交换、换元法等解题策略。
2.模式与函数。对于中小学数学来说，最重要的一种模式当然是函数。关于函数的研究主要集中在（1）函数概念的复杂性。函数是一个典型的“认知根源”;具有多个“层”与“面”;由于大多数初等函数都具有现实的模型,因此背景的丰富也是导致学生函数学习困难的原因；让学生感到困难的还有函数的一些“非标准形式”（2）函数概念的发展阶段。学生对函数的相关术语往往感到困惑，无法迅速了解书面方式所下的定义与图形表征各部分的联结（3）函数概念的表征。概念的表征包括心理表征与外部表征，在心理表征方面又分为函数的操作型概念和结构性概念，学生一方面难以进行不同表征之间的转化，另一方面也不知道什么时候用不同的表征（4）对具体函数的研究
3.方程与不等式。和函数一样，方程不仅是中学代数中的基本内容，而且也是人们解决问题的常用数学工具。在学习过程中，学生第一次接触未知数的概念和代数思维一般会遇到以下方面的困难：对等号“=”的理解；对“未知数”概念的理解；对“方程”概念的理解，而从解方程的具体方法上看，学生主要方法有：忽略未知数；利用函数机；试误；平衡法；文字语言与符号语言的互译，主要是将文字题转换成代数式的问题。
2.2符号意识的形成与发展
符号意识的形成是代数学习的一个重要目标，符号意识与代数洞察力在数学问题解决中具有关键的作用。那符号意识到底是什么呢？文中给了以下几个层面：第一个层面是运用符号表示数学的意义和结构。在这个层面上，要求学生能够意识到数学符号的优点，如精确性、简洁性、可操作性等；第二个层面是能够解释符号所表示的数学意义和结。学生对符号的理解和解释将影响到他们的问题解决的策略。影响学生解释代数符号的因素包括认知水平、先前的算术经验和思维的方法、多元表征以及括号的运用；第三个层面是对符号进行演算。第四个层面是运用符号进行思维，从而发现新的数学意义和结构。这个层面上反映的是代数的本质活动：代数是一种语言，一种思维方式、一种数学建模活动，一种发现问题和解决问题的工具。符号意识的上述四个层面是相互联系、相辅相成的，不能互相割裂，也不能厚此薄彼。
2.3算术思维和代数思维的区别
算术思维和代数思维在解决实际问题时有本质的差异。主要为：在算术思维，侧重于利用数量的计算求出答案的过程，这个过程是程序性的、计算性的。而代数思维倚重的是关系的符号化及其运算，这个运算是结构性的和一般性的；算术思维解决实际问题的过程是含情境的、具有特殊型的、设置是建立在直观上的。而代数思维解决实际问题的过程是去情境的、形式化的，并且在某种程度上是不能依赖直观的；在算术思维中，表达式的作用是一种思考的记录，是直接联结题目与答案的桥梁。而在代数思维中，表达式的作用不再只是直接联结题目与答案的过程记录，还充当着联结各种量的媒介；算术思维解决问题时采用的是一种目标指引的直接的思路。而代数思维采用的则是“迂回战术”。从算术思维向代数思维的过渡过程中，学生必须首先更新一些观念，其中包括：一个未知量可以作为操作对象。
通过分析代数思维与算术思维在问题解决的不同，斯黛西等人给出了这两种区别
代数和算术思维之间的一些对照
算术思维
代数思维
l 通过已知的量运算得出位置的量
l 通过一系列、连续的运算得出答案
l 未知量是暂时的，表示中间过程
l 方程（如果有的话）被看做是用于计算的公式，或者是对数产生的一种描述
l 中间的量有明确的含义
l 同时操作已知量和未知量
l 进行一系列的等价或不等价的符号变换
l 在整个问题解决过程中，未知量是设定的、固定的
l 方程被看做是对不同量之间的某种关系的描述
l 中间量不一定有明确的描述
3.研究方法
3.1小学数学教材中代数学习素材整理、分类
在九年义务教育阶段，“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。针对小学阶段新教材安排了那些代数学习教材以促进小学生代数思维的发展，我们将对教材中相应的素材进行梳理和分析，这里我们将根据上面的分析将从常量与变量、模式与函数、方程与不等式三方面进行整理和分类。
3.2试题的编制
在本研究中，测试题目的设计主要围绕常量与变量、模式与函数、方程与不等式这三部分内容，分四个方面对学生的代数思维发展现状进行整体调查。这四个方面分别是：1.符号意识：代数思维在表现形式上是一种形式化的符号操作，学生对符号意识的理解和应用是代数思维发展的直接表现。2.方程与解方程：方程是小学阶段代数学习的主体部分，对学生应用方程的意识和能力的调查是我们了解其代数思维发展现状的主要途径。3.变化描述：通过对小学生变化模型分析能力的调查，来试图了解学生对基本的变量与函数思想的认识和体验4.多元表征：学生多元表征问题的意识与能力的培养是一直贯穿在小学生代数学习中，其能力的发展不仅关系着学生符号意识的形成，也关系着学生代数结构意识的形成。
3.3调查对象
选取三所学校进行，分别为漳州市的省级实验小学A、市区普通小学B、农村小学C，本测试准备发放的调查问卷150份。选取时间为小学六年级第二学期期中考试过后，不同的学校的测验工作均在一周时间完成。
3.4测试结果分析
利用spss对测试结果进行检验并分析
3.5对测试结果的整理
4.研究结论

附录
调查测试卷
亲爱的同学：
你好！本人是的教育硕士，谢谢你能够配合我完成此次问卷调查的工作。你的解答只是收集数据参考并进行相关研究之用，并不用于你的数学学习。请认真回答下列问题，再次谢谢你的合作与参与！
一、 判断式
1. 等式就是方程。（ ） 注释：对方程与等式关系的一种考察
2. 2x-3=4y+3是方程。（ ）注释：2.3题针对学生对方程中未知数的理解进行考察
3. 解方程就是算出方程中的X表示哪个数字。（ ）
4. m+n=n+m可以同来表示加法交换律。（ ）
二、 填空题。
5.100-36-24=100 -（ ）注释：连减运算规律的应用
6.算式中的□和△各代表一份数字。已知：（△+□）×3=42；□÷4=3.
那么，△=（ ）注释：解方程的技巧掌握考察，主要了解学生利用等式性质解方程的能力和解方程过程中存在的问题
7.小红今年a岁，她的妈妈比她大25岁，她的妈妈今年（ ）岁。当小红15岁时，她的妈妈（ ）岁
注释：代数表达式运算能力的考察，赋值运算：指在问题中赋予符号或一个固定值，让学生求出相应代数式的结果
8.在y=4a+b中，已知a=1，则当b= 时，可使y=0
注释：解方程的技巧掌握考察，主要了解学生利用等式性质解方程的能力和解方程过程中存在的问题
9.已知2x+y=3,则10-2x-y= 。
注释：代数表达式运算能力的考察，赋值运算：指在问题中赋予符号或一个固定值，让学生求出相应代数式的结果
10.a,b为自然数，已知a=3b,则（a,b）= ，[a,b]= 。
注释：考察对符号的理解以及应用代数表达式,“a=3b”表示他们之间存在着一一对应的关系，a是b的倍数，据此来进行最大公因数和最小公倍数的讨论
11.若K+M+N=K+P+N,则M= 。
注释：考察学生对等式性质的理解和应用情况
12.N+1，N+5，N-3，N,N-6这几个数中，最大的数是 ，最小的数是 。
注释：考察符号的理解，符号统一性指在同一个问题中，相同字母表示相同的意义，题中N表示任意数，但这五个数中的N都表示相同数，在此基础上我们进行五个式的大小比较。
三、解决问题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
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19
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28
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30
31
32
33
34
35
36
13.用一个田字框在下面左边的表格中框数，如果正中间的数是a，你能用含有a的式子表示出框子里的其它数吗？

a-6

a-1
a

这九个数的和是 。
注释：规律探索，基于对具体表格中3×3框内各数之间关系的分析，用含有a的式子表示出框中数的排列规律，还考察结构转换运算，指应用运算律对代数式进行等价转换，力求在其形式上更简洁，这是多元表征的应用

14.小刚想用计算器算765减去357的值，可是他发现计算器上“5”的按键坏了，请问如果还是用计算器来计算，小刚该怎么做呢？
注释：等价转换在算术中的应用，算术中的代数思维，及准变量的应用

15.下列有12个横排方格，每个方格内都有一个数字，已知任何相邻的三个数字之和都是20，如5+A+B=20.求F和G的值。
5
A
B
C
D
E
F
X
G
H
E
10
注释：规律探索和模式表达的问题。考察学生理解和应用代数式表达数量关系和变换模型，能够将给定的量之间的运算关系表示成一般化、概念化的形式
16.已知如图围一个三角形需要3根小棒，为两个三角形需要5跟小棒，围三个三角形需要7跟小棒。以此类推，围n个三角形就需要 根小棒。围5个三角形需要多少跟小棒？围10个呢？101根小棒可以围出几个三角形？
……
注释：由围一个、两个、三个三角形的小棒使用情况，进行类似的类推，总结出“拼一个三角形需要3根小棒，以后每增加一个三角形就增加两根小棒”的变化模式，考察通过学生理解和应用代数式表示数量关系和变化模式的水平。后面的任务主要考察解方程的技巧掌握，主要了解学生利用等式性质解方程的能力和解方程过程中存在的问题，通过这样一些实际问题主要考察学生合理分析数量关系建立方程解决问题的能力，及不同表征的理解程度。
17.把一个长方形的长和宽分别延长到原来的3倍，它的周长和面积会发生怎样的变化？请你用自己喜欢的方法，简单说明你的思考过程。
注释：结合解决问题中学生各种方法的应用情况考察学生对问题多元表征的意识和能力

18. 桃树有多少颗 ？
注释：解方程的技巧掌握考察，主要了解学生利用等式性质解方程的能力和解方程过程中存在的问题，对用方程解决实际问题的能力调查
19.小明把720毫升果汁导入6个小杯和1个大杯。正好都倒满。大杯的容量是小杯的3倍。一个大杯和一个的容量各是多少毫升？
注释：解方程的技巧掌握考察，主要了解学生利用等式性质解方程的能力和解方程过程中存在的问题，对用方程解决实际问题的能力调查
20.小玲平均每分钟打50个字，请填写表格，并回答问题，
时间/分
2
4
6

……
数量/个
100

100
500

……
从表格中，你知道了什么？（至少写出两点）
。
注释：采用教材中经常出现的变化模型和惯用的变化分析任务，考查学生对数量关系和描述的水平
21.同学们一定都对“=”这个符号很熟悉，从小学开始我们就经常用到它。那么，请你举例说说这个符号有哪些含义呢？（答案越多越好，加油！）
注释：考察学生对等号的认识
22.我们在学习数学的过程中，总是遇到x,y,z以及a,b,c这种字母或者符号，那你觉得类似与上述这些符号是表示什么呢？在第6小题中，你觉得△和□又表示什么呢？它们和字母的意义相同吗
注释：考查学生对符号的认识、理解
23.数学问题经常可以用文字、符号和图形三种方式来表达，你认为哪一种更难理解？（ ）注释：以选择的形式调查学生对三种基本表征方式的看法
[1]全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法译.北京：任命教育出版社，2004
[2]章勤琼 谭 莉.早期代数思维的培养：小学阶段“数与代数”教学的应有之义[J]江苏教育.2013（33）
[3]Luis Radford. EARLY ALGEBRAIC THINKING EPISTEMLOGICAL,SEMIOTIC,AND DEVELOPMENTAL ISSUES.第12届国际数学教育大会报告RL3—12
[4]周颖娴.初一学生从算术思维过渡到代数思维中的困难分析[D].苏州大学，2009