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高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教A版
复习寄语：

纸上得来终觉浅
绝知此事要躬行

引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：
系列1：由2个模块组成（文科）。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列2：由3个模块组成（理科）。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列4：由10个专题组成（理科）。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 　
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算

目录
必修1数学知识点 - 1 -
必修2数学知识点 - 3 -
必修3数学知识点 - 5 -
必修4数学知识点 - 8 -
必修5数学知识点 - 14 -
专题一：常用逻辑用语 - 19 -
专题二：圆锥曲线与方程 - 20 -
专题三：定积分 - 23 -
专题四：推理与证明 - 25 -
专题五：数系的扩充与复数 - 25 -
专题六：排列组合与二项式定理 - 27 -
专题七：随机变量及其分布 - 29 -
专题八：统计案例 - 31 -
专题九：坐标系与参数方程 - 32 -

必修1数学知识点
第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.
2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：.
2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：.
3、全集、补集？
§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设那么
上是增函数；
上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设且，则：=…
(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；
若，则为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.
2、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
2、几种常见函数的导数
①；②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦；⑧
3、导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
4、复合函数求导法则
复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值；
极值是在附近所有的点，都有＞，则是函数的极小值.
(2)判别方法：
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
6、求函数的最值
(1)求在内的极值（极大或者极小值）
(2)将的各极值点与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 当为奇数时，；
当为偶数时，.
3、 我们规定：
⑴
；
　　⑵；
4、 运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、

图
象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
(5);

(5);

§2.2.1、对数与对数运算；
恒等式：.性质：，.
⑴；
⑵；
⑶.
换底公式：.
重要公式：
倒数关系：.
§2..2.2、对数函数及其性质

图
象

性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
(5)；

(5)；

§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：

第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程有实根
函数的图象与轴有交点
函数有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学知识点
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；

⑵圆锥侧面积：
（3）体积公式：
；；

（4）球的表面积和体积：
.
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
2、直线方程：
⑴点斜式：
⑵斜截式：
⑶两点式：
⑷截距式：
⑸一般式：
3、对于直线：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
4、对于直线：
有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
5、两点间距离公式：

6、点到直线距离公式：

7、两平行线间的距离公式：
：与：平行，则

第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
其中圆心为，半径为.
⑵一般方程：.
其中圆心为，半径为.
2、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
弦长：
3、两圆位置关系：
⑴外离：；
⑵外切：；
⑶相交：；
⑷内切：；
⑸内含：.
3、空间中两点间距离公式：

必修3数学知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：
顺序结构、条件结构、循环结构
⑴顺序结构示意图：
语句n+1
语句n

（

⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
满足条件？

语句1
语句2
是
否

满足条件？

语句
是
否
②IF-THEN格式：

（图3）

⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：

满足条件？

循环体
是
否

（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：
满足条件？

循环体
是
否

（图5）

4、基本算法语句：
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

（图2）

IF—THEN语句的一般格式为：
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）

⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：
WHILE 条件
循环体
WEND

（图4）

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件

（图5）

⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；
ⅱ）：若＝0，则n为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；
ⅲ）：若＝0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……
依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数

第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：；
取值为的频率分别为，则其平均数为；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据
方差：；
标准差：
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：（最小二乘法）

注意：线性回归直线经过定点。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：.
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率.
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
⑷如果事件彼此互斥，则有：

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件的对立事件记作

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

必修4数学知识点
第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角终边相同的角的集合：
.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、 .
3、弧长公式：.
4、扇形面积公式：.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
2、 为角终边上一点（）：
，，，
3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.

正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线：AT

5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.

0

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：.
2、 商数关系：.
3、 倒数关系：
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）
1、 诱导公式一：
（其中：）
2、 诱导公式二：

3、诱导公式三：

4、诱导公式四：

5、诱导公式五：

6、诱导公式六：

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、五点法作图.
在上的五个关键点。

- 33 -

§1.4.3、正切函数的图象与性质
2、 记住余切函数的图象：

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：
周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

图象

定义域

值域
[-1,1]
[-1,1]

最值

无
周期性

奇偶性
奇
偶
奇
单调性

在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性

对称轴方程：
对称中心
对称轴方程：
对称中心
无对称轴
对称中心

§1.5、函数的图象
1、对于函数：
有：振幅A，周期，初相，相位，频率.
2、能够讲出函数的图象与
的图象之间的平移伸缩变换关系.

① 先平移后伸缩：
平移个单位
（左加右减）
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（上加下减）

② 先伸缩后平移：
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
（左加右减）
平移个单位
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数，x∈R及函数，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与
解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：，.
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、，
变形： .
2、

.
变形如下：
升幂公式：
降幂公式：
3、.
4、
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式

（ ).
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、≤.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：
⑴,
　　⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、 .
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设，则：
⑴，
⑵，
⑶，
⑷.
2、 设，则：
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设，则
⑴线段AB中点坐标为，
⑵△ABC的重心坐标为.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 .
2、 在方向上的投影为：.
3、 .
4、 .
5、 .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设，则：
⑴
⑵
⑶
⑷
2、 设，则：
.
3、 两向量的夹角公式

4、点的平移公式
平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为， 则
函数的图像按向量平移后的图像的解析式为
§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
　　若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量：
　　若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.

（如图）

2、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，
　　则
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角
的余角.即有：

⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
O
A
B

O
A
B
l
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
如图：

②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
◆如果是锐角，则，
如果是钝角，则
3、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，
平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即

⑶直线与平面之间的距离

⑷两平行平面之间的距离

⑸异面直线间的距离

4、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
推理模式：
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
推理模式：
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

必修5数学知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
.
（其中为外接圆的半径）

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

2、余弦定理：

用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式：

4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有
.
5、一个常用结论：
在中，
若特别注意，在三角函数中，不成立。

第二章：数列
1、数列中与之间的关系：
注意通项能否合并。
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数成等差数列
⑶通项公式：
或
⑷前项和公式：

⑸常用性质：
①若，则；
②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；
③数列（为常数）仍为等差数列；
④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。
⑤单调性：的公差为，则：
ⅰ）为递增数列；
ⅱ）为递减数列；
ⅲ）为常数列；
⑥数列{}为等差数列（p,q是常数）
⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。

3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式：
⑷前项和公式：
⑸常用性质
①若，则；
②为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；
④若是等比数列，则
是等比数列，公比依次是
⑤单调性：
为递增数列；为递减数列；
为常数列；
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列.
4、非等差、等比数列前项和公式的求法
⑴错位相减法
⑵裂项相消法
设，通分整理后可得

常见的拆项公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求和
①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
特征：
⑸记住常见数列的前项和：
①
②
③
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）
②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性）
（异向可减性）
④（可积性）

⑤（同向正数可乘性）
（异向正数可除性）
⑥（平方法则）
⑦（开方法则）
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
①,（当且仅当时取号）. 变形公式：
②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
④
（当且仅当时取到等号）.
⑤
（当且仅当时取到等号）.
⑥（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
⑦
其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧

⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
①平均不等式：
,（当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：
设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设为两组实数.是的任一排列，则

（反序和乱序和顺序和）
当且仅当或时，反序和等于顺序和.
4、不等式证明的几种常用方法
常法：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），如

等.
5、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
（时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
6、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

7、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用的几何意义：,为直线的纵截距.
①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；
②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距离”型：或
或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

选修数学知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.
2、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；
若，则是的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若，则是充分条件，是的必要条件；
②若，但 ，则是充分而不必要条件;
③若 ，但，则是必要而不充分条件;
④若且，则是的充要条件；
⑤若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知满足条件，满足条件：
①若,则是充分条件；
②若,则是必要条件；
③若A B，则是充分而不必要条件;
④若B A，则是必要而不充分条件;
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.
⑵复合命题的真