初中三角函数练习试题和答案解析.doc

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初中三角函数练习题及答案
（一）精心选一选
1、在直角三角形中，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值与余弦值都（ ）
A 、缩小 2 倍 B 、扩大 2 倍 C 、不变 D 、不能确定
4

12、在 Rt△ABC中，∠ C=90 0，BC=4，sinA= 5
0，BC=4，sinA= 5

，则 AC=（ ）
A 、3 B 、4 C 、5 D 、 6
1
3、若∠ A 是锐角，且 sinA= 3
，则（ ）
0<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<90
0
A 、0
1
3 sin A tan A
4、若 cosA= 3 ，则 4 sin A 2 tan A
=（ ）
4 1 1
A 、 7 B 、 3 C 、 2
D 、0
5、在△ ABC中，∠ A：∠B：∠C=1：1：2，则 a：b：c=（ ）
2
A 、1：1：2 B 、1：1： 2 C 、1：1： 3 D 、1：1： 2
0
6、在 Rt△ABC中，∠ C=90
，则下列式子成立的是（ ）
A 、sinA=sinB B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB
7．已知 Rt△ABC中，∠ C=90° ，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
2 2 2 3

A ．sinB=

3 B ．cosB= 3 C ．tanB= 3 D ．tanB= 2
8．点（ -sin60 ° ，cos60 ° ）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）
3 1 3 1 3 1 1 3

A．（

2 ， 2 ） B ．（- 2 ， 2 ） C ．（- 2 ，- 2 ） D ．（- 2 ，- 2 ）
9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式， 让我们感受到了国旗的神圣． ? 某同学站
在离旗杆 12 米远的地方， 当国旗升起到旗杆顶时， 他测得视线的仰角为 30° ，? 若这位同
学的目高 1.6 米，则旗杆的高度约为（ ）
A．6.9 米 B ．8.5 米 C ．10.3 米 D ．12.0 米
10．王英同学从 A 地沿北偏西 60o 方向走 100m到 B地，再从 B地向正南方向走 200m
到 C地，此时王英同学离 A 地 （ ）

（A） 50 3 m （B）100 m

A
（C）150m （D）100 3 m
11、如图 1，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30 ，
45
30
D C B 学习指导参考
图 1
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向高楼前进60 米到 C 点，又测得仰角为 45 ，则该高楼的高度大约为（ ）
A.82 米 B.163 米 C.52 米 D.70 米
12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40o 的方向行驶40 海里到达 B 地，再由
B地向北偏西 10o 的方向行驶40 海里到达 C地，则 A、 C两地相距（ ）．
（A）30 海里 （B）40 海里 （ C）50 海里 （D）60 海里
（二）细心填一填
1．在 Rt△ABC中，∠ C=90°， AB=5，AC=3，则 sinB=_____ ．
2．在△ ABC中，若 BC= 2 ，AB= 7 ，AC=3，则 cosA=________．
3．在△ ABC中， AB=2，AC= 2 ，∠ B=30°，则∠ BAC的度数是 ______．
4．如图，如果△ APB绕点 B 按逆时针方向旋转30°后得到△ A＇P＇B，且 BP=2，那么 PP＇
6 2
的 长 为 ____________ ． ( 不 取 近 似 值 . 以 下 数 据 供 解题使 用 ： sin15 °= 4 ，
6 2
cos15°=

4 )
5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路， 从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、
乙两地间同时开工， 若干天后， 公路准确接通， 则乙地所修公路的走向是南偏西 ___________
度．
北
y
A
乙 北
B
第 4题图
甲
O x 第 5题图
第 6题图
6．如图，机器人从 A 点，沿着西南方向，行了个 4 2单位，到达 B 点后观察到原点 O
在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 ___________结果保留根号） ．

7．求值： sin

260°+cos260°=___________．
0
90 ，BC=13，AB=12，那么 tan B ___________ ．
8．在直角三角形 ABC中，∠ A=
9．根据图中所给的数据， 求得避雷针 CD的长约为 _______m（ 结果精确的到 0.01m）．（ 可
用计算器求，也可用下列参考数据求： sin43 °≈ 0.6802 ，sin40 °≈ 0.6428 ，cos43 °≈
0.7341 ，cos40 °≈ 0.7660 ，tan43 °≈ 0.9325 ， tan40 °≈ 0.8391 ）
10．如图，自动扶梯AB段的长度为 20 米，倾斜角 A 为α，高度 BC为___________米
（结果用含α的三角比表示） ．
学习指导参考
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D
C
B
43°
A

40°

52m

B

A C
第 10 题图
第 9 题图
(1) (2)
11．如图2 所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角， ? 这
时测得大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为________米．（? 保留两个有效数
字， 2 ≈ 1.41 ， 3 ≈ 1.73 ）
三、认真答一答
1，计算： sin 30 cos60 cot 45 tan60 tan30
分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；

2 计算： 2 2 45 90 4 4 2 1
( cos sin ) ( ) ( )

1
分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。 注意分母有理化，
3 如图1，在 ABC 中， AD是 BC边上的高， tan B cos DAC 。
（1）求证： AC＝ BD

（2）若

12
sinC ，BC
13

12

，求 AD的长。
图1
分析：由于 AD是 BC边上的高，则有 Rt ADB 和 Rt ADC ，这样可以充分利用锐角
三角函数的概念使问题求解。
4 如图2，已知 ABC 中 C Rt ，AC m， BAC ，求 ABC 的面积（用
的三角函数及 m表示）
学习指导参考
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图 2
分析：要求 ABC 的面积，由图只需求出 BC。
解应用题 , 要先看条件 , 将图形抽象出直角三角形来解 .
0.7342 甲、 乙两楼相距 45 米, 从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为 30° , 观测乙楼的底部的
俯角为 45° , 试求两楼的高 .
A

0
30

0
45
r
E D
B C
0.7343 从 A 处观测铁塔顶部的仰角是 30° , 向前走 100 米到达 B 处, 观测铁塔的顶部的仰
角是 45 ° , 求铁塔高 .
D

A

0
30

B

0
45
C
分析: 求 CD,可解 RtΔBCD或 Rt ΔACD.
但由条件 RtΔBCD和 RtΔACD不可解 , 但 AB=100
若设 CD为 x, 我们将 AC和 BC都用含 x 的代数式表示再解方程即可 .
7、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD，斜坡 BC的坡度为 2:3，路基高
AE 为3m，底 CD 宽12m，求路基顶 AB的宽
A B A
C
D
C
E
E H 学习指导参考
B
F D
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0.7344 九年级（ 1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度 CD 3m ，
标杆与旗杆的水平距离 BD 15m ，人的眼睛与地面的高度 EF 1.6m ，人与标杆 CD 的
水平距离 DF 2m ，求旗杆 AB 的高度．
0.7345 如图 3，沿 AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
AC上的一点 B，取 ABD 145 ，BD 500米， D 55 。要使 A、C、E 成一直 S 线，
那么开挖点 E 离点 D的距离是多少？
图 3
分析：在 Rt BED 中可用三角函数求得 DE长。
10 如图 8-5 ，一条渔船某时刻在位置 A 观测灯塔 B、C(灯塔
北
B距离 A 处较近 ) ，两个灯塔恰好在北偏东 65° 45′的方向上， 渔船
向正东方向航行 l 小时 45 分钟之后到达 D点，观测到灯塔 B 恰好在
正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是 12 海里，渔船的速度是
C
16 海里／时，又知在灯塔 C 周围 18.6 海里内有暗礁，问这条渔船
B
按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险 ?
分析： 本题考查解直角三角形在航海问题中的运用， 解决这类
问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．
A D
E
东
图 8-4
11、如图， A城气象台测得台风中心在 A 城的正西方 300 千米
处，以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60o 的 BF方向移动，距台风中心 200 千米的范
围内是受这次台风影响的区域。
问 A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
若A城受到这次台风的影响， 那么 A城遭受这次台风影响的时间有多长？
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0.7346 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平
整地带，该建筑物顶端宽度 AD和高度 DC都可直接测得，从 A、D、C三点可看到塔顶端 H，
可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。
（1）请你根据现有条件， 充分利用矩形建筑物， 设计一个测量塔顶端到地面高度
HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，
并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D 间距离，用 m表示；如果测 D、C 间距离，用 n
表示；如果测角，用α、β、γ表示） 。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示，测倾器高
度忽略不计） 。
0.7347 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置 O点的正北
方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里 / 小时的速度向正东方向航行。为迅速
实验检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里/ 小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航
速的前提下，问（ 1）需要几小时才能追上？（点 B为追上时的位置） （2）确定巡逻艇的追
赶方向（精确到 0.1 ）（如图 4）
图 4
参考数据：
sin . . cos . .
668 0 9191， 668 0 3939
sin 67.4 0.9231 cos67.4 0.3846
，
sin 68.4 0.9298 cos68.4 0.3681
，
sin . . ，cos . .
706 0 9432 706 0 3322
分析：（1）由图可知 ABO 是直角三角形，于是由勾股定理可求。
（2）利用三角函数的概念即求。
0.7348 公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30 ，点 A处有一所中学， AP=160m，
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一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN上沿 PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围 100m
以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果
受影响，会受影响几分钟？
N
P A Q
M
.
15、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅 BC，小明站在点 F 处，
看条幅顶端B，测的仰角为30 ，再往条幅方向前行 20 米到达点 E 处，看到
条幅顶端B，测的仰角为60 ，求宣传条幅 BC的长，（小明的身高不计，结
果精确到 0.1 米）
16、一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21.3 °方向有一座小岛C，
继续向东航行 60 海里到达 B 处，测得小岛C此时在轮船的东偏北 63.5 °方
向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
9 2 9

（参考数据： sin21.3 °≈

25 ，tan21.3 °≈ 5 ， sin63.5 °≈

10 ， tan63.5 °≈ 2）
北
C
东
A B
17、如图， 一条小船从港口 A出发， 沿北偏东 40 方向航行 20海里后到达 B处， 然后
又沿北偏西 30 方向航行 10海里后到达 C 处．问此时小船距港口 A多少海里？（结果精确
到 1 海里）
友 情 提 示 ： 以 下 数 据 可 以选用 ： sin 40 ≈ 0.6428 ， cos 40 ≈ 0.7660 ，

tan 40 ≈ 0.8391 ， 3 ≈ 1.732 ．

P

北

Q
C
30
B
40
A
18、如图 10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达 A点时，从地面C 处的雷
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B
A
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达站测得 AC 的距离是 6km ，仰角是 43 ． 1s后，火箭到达 B 点，此时测得 BC 的距离是
6.13 km，仰角为 45.54 ，解答下列问题：
（1）火箭到达 B 点时距离发射点有多远（精确到 0.01km）？
（2）火箭从 A点到 B点的平均速度是多少（精确到 0.1km/s ）？
19、经过江汉平原的沪蓉( 上海— 成都 ) 高速铁路即将动工 . 工程需要测量汉江某一段的宽度 .
如图①， 一测量员在江岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向， 测量员从 A
点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C处，测得 ACB 68 .
（1）求所测之处江的宽度（ sin 68 0.93, cos 68 0.37, tan 68 2.48.）；
（2）除(1) 的测量方案外， 请你再设计一种测量江宽的方案， 并在图②中画出图形 .
B
20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台
图① 图②
C
高为 l.6 米， 现要做一个不锈钢的扶手 AB及两根与 FG垂直且长为 l 米的不锈钢架杆 AD和
BC(杆子的底端分别为 D，C)，且∠ DAB=66. 5 °．
(1) 求点 D与点 C的高度差 DH；
(2) 求所用不锈钢材料的总长度 l ( 即 AD+AB+BC，结果精确到
0.1 米 ) ． ( 参 考 数 据 ： sin66.5 °≈ 0.92 ， cos66.5 °≈ 0.40 ，
tan66.5 °≈ 2.30)
答案
一、选择题
1— — 5、CAADB 6 — — 12、BCABDAB
二、填空题
3 7

1，

5 2 ， 3 3 ，30°（点拨：过点 C 作 AB的垂线CE，构造直角三角形，利
用勾股定理 CE）
4． 6 2（点拨：连结 PP＇，过 点 B 作 BD⊥PP＇，因为∠ PBP＇=30°，所以∠ PBD=15°，
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6 2
4 ，先求出 PD，乘以 2 即得 PP＇）
利用 sin15 ° =
5．48（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）

6．(0 ，

4
4 3
3 ) （点拨：过点 B 作 BC⊥AO，利用勾股定理或三角函数可分别求得
AC与 OC的长）

7．1（点拨：根据公式 sin

2 +cos2 =1）

5
8．12

（点拨：先根据勾股定理求得 AC=5，再根据

tan B

AC
AB 求出结果）
9．4.86 （点拨：利用正切函数分别求了 BD，BC的长）

10．20sin （点拨：根据

BC
sin
AB ，求得 BC AB sin ）
11．35
三，解答题可求得
1． 1；
2． 4

3．解：（1）在 Rt ABD 中，有 tan B
tan B cos DAC

AD
BD

， Rt ADC 中，有 cos DAC

AD
AC

AD
BD

AD
AC

，故
AC BD

（2）由 sinC

AD
AC

12
13

；可设 AD 12x，AC BD 13x
由勾股定理求得 DC 5x， BC 12 BD DC 18x 12

即 x

2
3

AD 12

2
3

8

4．解：由 tan BAC

BC
AC
BC AC tan BAC
AC m BAC
，
BC m tan
1 1 1
2
S ABC AC BC m m tan m tan
2 2 2
5 解过 D做 DE⊥AB于 E
∵∠ MAC=4°5 ∴∠ACB=45°
BC=45

A

0
30
0
45
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r
E D
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在 RtΔACB中,

tgACB

AB
BC
AB BC tg 45 45(米 )
在 RtΔADE中, ∠ADE=30°
AE 3
tgADE AE DE tg 30 45 15 3
DE 3
CD AB AE 45 15 3(米)
答 : 甲楼高 45 米 , 乙楼高 45 15 3 米.
6 解:设CD=x
在 RtΔBCD中，

BC
ctgDBC ∴BC=x(用 x 表示 BC)
CD
在 RtΔACD中,

AC
ctgDAC AC CD ctgDAC 3x
CD
∵ AC-BC=100 3x x 100 ( 3 1)x 100
∴ x 50( 3 1)
答 : 铁塔高 50( 3 1) 米 .
7、解：过B 作 BF CD，垂足为 F
AE BF
在等腰梯形 ABCD中
AD=BC C D
iBC 2 :3
AE=3m
DE=4.5m
AD=BC， C D , CFB DEA 90
BCF ADE
CF=DE=4.5m
EF=3m
BFE AEF 90
BF//CD
四边形 ABFE为平行四边形
AB=EF=3m
8 解： CD ⊥ FB ， AB⊥ FB ， CD ∥ AB
△CGE∽△ AHE

A

CG EG
AH EH

，即：

CD EF FD
AH FD BD

3 1.6 2
AH 2 15

， AH 11.9

C
E H 学习指导参考
B
F D
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AB AH HB AH EF 11.9 1.6 13.5(m)
9 解： A、C、E成一直线
ABD 145 ， D 55 ， BED 90
DE
在 Rt BED 中， cosD DE BD cosD
，
BD
BD 500米， D 55 DE 500 cos55 米，
o
所以 E 离点 D的距离是 500cos55
10 解：在 Rt △ABD中，

7
AD 16 28（海里），
4
∠BAD=90° - 65° 45′=24° 15′.
∵cos24° 15′=

AD
AB

， ∴

AD 28
AB 30.71( 海里 ).
cos24 15 0.9118
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里 ).
在 Rt△ACE中，sin24 ° 15′=

CE
AC

，
∴CE=AC· sin24 ° 15′=42.71× 0.4107=17.54( 海里 ).
∵17.54 ＜18.6 ，∴有触礁危险。
【答案】有触礁危险，不能继续航行。
11、（1）过 A 作 AC BF，垂足为 C
1 60
ABC 30
在 RT ABC中
AB=300km
F
ABC 30

AC 150km
A
城会受到这次台风的影

响

B

60o
A
(2)
在BF D， AD 200 km
上取 使
在BF E， AE AD
上取 使
AC 150km,ad 200 km
CD 50 7km
DE 100 7km
v 10 7 km h

t

100
10

7

7km
km
h

10h
答： A 城遭遇这次台风影响 10 个小时。
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12 解：（1）在 A 处放置测倾器，测得点 H的仰角为α
在 B 处放置测倾器，测得点 H的仰角为β

（2）在Rt HAI 中，AI

HI HI
DI
tan tan

AI DI m

HI

tan tan
m
tan tan

HG HI IG

tan tan
tan tan
m

n
13 解：设需要 t 小时才能追上。
则 AB 24t，OB 26t
2 2 2
（1）在 Rt AOB 中， OB OA AB

2 2 2
， (26t ) 10 (24t)
则 t 1（负值舍去）故需要 1 小时才能追上。
（2）在 Rt AOB 中
AB 24t
sin AOB 0.9231 AOB 67.4
OB 26t 即巡逻艇沿北偏东 67.4 方向追赶。
14 解：（1）在Rt APB中，AP AP sin 30 80 100
会影响
N
B
D
100 o
30
P A Q
160
M
（ ）在Rt ABD 中
2

BD

2 2
100 80 60（米）

60 2
1000
0.7349
60
2
分钟

2
（分钟）
15 解： ∵∠BFC = 30 ，∠BEC =60 ，∠BCF = 90
∴∠EBF =∠EBC = 30
∴BE = EF = 20
学习指导参考
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在 Rt⊿BCE中，

BC BE

3
17.3 ( )
sin 60 20 m
2
答：宣传条幅BC的长是17.3 米。
16 解：过C作 AB的垂线，交直线 AB于点 D，得到 Rt△ACD与 Rt△BCD．
设BD＝x 海里，

C
CD
在 Rt△BCD中，tan ∠CBD＝
，
BD
∴CD＝x · tan63.5 °．
A B D
在 Rt△ACD中， AD＝AB＋BD＝(60 ＋x) 海里， tan ∠A＝
∴CD＝ ( 60 ＋x ) · tan21. 3°．

CD
AD

，
∴x· tan63.5 °＝ (60 ＋x) · tan21. 3°，即
解得， x＝ 15．

2
2x 60 x ．
5
答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛C最近
17 解：过B点作 BE AP ，垂足为点 E；过C 点分别作 CD AP ，
CF BE，垂足分别为点 D，F ，则四边形 CDEF 为矩形．
CD EF，DE CF ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
QBC 30 ，
CBF 60 ．

AB 20 BAD 40 ， ，
北
P
AE AB cos 40 ≈ 20 0.7660 ≈ 15.3；
D

Q
C
30
B E
BE AB sin 40 ≈ 20 0.6428 12.856 ≈ 12.9 ．
F 40
BC 10， CBF 60 ，
A
CF BC sin 60 ≈ 10 0.866 8.66 ≈ 8.7 ；
BF BC cos60 10 0.5 5 ．
CD EF BE BF 12.9 5 7.9．
DE CF ≈ 8.7 ，
AD DE AE≈ 15.3 8.7 24.0．

由勾股定理，得

2 2 24.02 7.92 638.41 25
AC AD CD ≈ ≈ ．
即此时小船距港口A约25 海里
18 解（ 1）在 Rt△OCB中， sin 45.54

OB
CB

1 分
学习指导参考
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OB 6.13 sin 45.54 ≈ 4.375 （km） 3 分
火箭到达 B点时距发射点约4.38km 4 分

（ 2）在 Rt△OCA中， sin 43 OA
CA

1 分
OA 6 sin 43 4.09(km) 3 分
v (OB OA) t (4.38 4.09) 1≈ 0.3(km /s) 5 分
答：火箭从 A点到 B 点的平均速度约为0.3km/ s
19 解：（1）在 Rt BAC 中， ACB 68 ，
∴ AB AC tan 68 100 2 .48 248 （米）
答：所测之处江的宽度约为 248 米⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ （ 3 分）
（ 2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识
来解决问题的，只要正确即可得分

20 解： (1)DH=1.6 ×

3
4

=l.2( 米) ．(2)过B 作 BM⊥AH于 M，则四边形 BCHM
是矩形．
MH=BC=1∴AM=AH-MH=1+1.2 一 l=l.2 ．
在 RtAMB中，∵∠ A=66.5°

AM 1.2
∴AB=
cos66.5 0.40

0.7350

( 米) ．
∴ S=AD+AB+B≈C 1+3.0+1=5.0( 米 ) ．
答：点 D与点 C的高度差 DH为l.2 米；所用不锈钢材料的总长度约为 5.0 米
学习指导参考