双曲线的简单几何性质总结归纳(人教版).doc

双曲线的简单几何性质
一．基本概念
1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹
（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线

2、双曲线图像中线段的几何特征：
⑴实轴长，虚轴长2b,焦距
⑵顶点到焦点的距离：，
⑶顶点到准线的距离：；
⑷焦点到准线的距离：
⑸两准线间的距离:
⑹中结合定义与余弦定理，将
有关线段、、和角结合起来，
⑺离心率： ∈（1，+∞）
⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长
⑼通径的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半）其中

3 双曲线标准方程的两种形式：
①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）

4、双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为
（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x
⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，
当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x轴的弦长）为。
⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。
⑿注意两类特殊的双曲线
一类是等轴双曲线：其主要性质有：，离心率，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。

二． 例题选讲
【例1】若在双曲线（a＞0,b＞0）的右支上时，证明：，

变式1：若在双曲线（a＞0,b＞0）的左支上时，
证明：,

变式2：（2010江西理）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=
解：a=2.c=6,,
变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，
则M到双曲线右焦点的距离是__________
解：，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 ( )
m A． B. C. D.
解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,
由双曲线的第二定义有.
又 .

【例2】双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，，
求证：（1）；（2）双曲线的焦点角形的面积为.

变式：（2010全国1文）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，
则
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
解1：由余弦定理得cos∠P=

4
解2：由焦点三角形面积公式得：
，4
变式2：（2010全国1理）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，
则P到x轴的距离为
(A) (B) (C) (D)

【例3】设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PF1F2中，记, ,，证明：.

【例4】证明：与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

变式1：证明：与双曲线共焦点的双曲线系方程是

变式2：根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）
分析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，
由题意易得关于a、b的两个方程
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意得，解得a2=，b2=4
所以双曲线的方程为－=1
（2）设双曲线方程为－=1，由题意易求c=2，又双曲线过点（3，2），∴－=1
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8，故所求双曲线的方程为－=1
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝
（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1
点评：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，
并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）

【例5】在等轴双曲线中，
证明：（1）其离心率；
（2）两条渐近线互相垂直；
（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

变式：双曲线与双曲线互为共轭双曲线，
证明：（1）共轭双曲线有共同的渐近线；
（2）它们的四个焦点共圆；
（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
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