新人教版勾股定理知识点和典型例习题(教师版)..doc

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
一、基础知识点: 1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理, 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股, 斜边称为弦. 早在三千多年前,周 朝数学家商高就提出了 “ 勾三,股四, 弦五 ” 形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
② 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:
方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形 正方形 ABCD , 221
4( 2ab b a c ⨯+-=,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三
角形的面积与小正方形面积的和为 221
422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面
积 为 222
( 2S a b a a b b =+=++ 所 以 222a b c +=方 法 三 :
1( ( 2S a b a b =+⋅+梯形 , 211
2S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形 ,化简得证
3. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只适用于直角三角形, 对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征, 因而在应用勾股定理时, 必须明了所考察 的对象是直角三角形 4. 勾股定理的应用 ① 已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC ∆中, 90C ∠=
︒,则 c
, b
, a ② 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量

关系③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a , b , c 满足 222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为 斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “ 数转 化为形 ” 来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22a b +与较长 边的平方 2c 作比较,若它们相等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若
c
b H E
D
C
B
A
b
a
b
a
c a
b
c
a
b a b
b
a
E
D C
B
A
222a b c +<,时, 以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形; 若 222a b c +>,时, 以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形;
② 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三 边长 a , b , c 满足 222a c b +=,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为 斜边 ③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时, 不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时,这个三角形是直角三角形 6. 勾股数
① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 222a b c +=中, a , b , c 为 正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数 ② 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等 ③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数: 221,2, 1n n n -+(2, n ≥n 为正整数 ;
2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数 2222,2, m n mn m n -+(, m n >m , n 为正整数 7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题. 在使用勾股定理时, 必须把握直角三角形的前提条件, 了解直角三角形中, 斜边 和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线 ,构造 直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8. .勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形, 在具体推算过程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 切不可不加思 考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中, 是密不可分的一个整体. 通 常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形, 又要用勾股定理求出边的长度, 二者相辅 相 成 , 完 成 对 问 题 的 解 决 . 常 见 图 形 :
A
B
C
D B
A A
D
B C
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理的作用:
(1已知直角三角形的两边求第三边。 (2已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3用于证明线段平方关系的问题。 (4利用勾股定理,作出长为 n 的线段
二、 经典例题透析
类型一:勾股定理的直接用法
1、在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°
(1已知 a=6, c=10,求 b , (2已知 a=40, b=9,求 c ; (3已知 c=25, b=15,求 a. 思路点拨 : 写解的过程中, 一定要先写上在哪个直角三角形中, 注意勾股定理的变形使用。 解析:(1 在△ ABC 中,∠ C=90°, a=6, c=10,b=
(2 在△ ABC 中,∠ C=90°, a=40, b=9,c=
(3 在△ ABC 中,∠ C=90°, c=25, b=15,a=
举一反三

【变式】 :如图∠ B =∠ ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则 AB 的长是多少 ? 【答案】∵∠ ACD =90° AD =13, CD=12 ∴ AC 2 =AD2-CD 2 =132-122 =25 ∴ AC =5
又∵∠ ABC=90°且 BC =3 ∴由勾股定理可得 AB 2=AC 2-BC 2 =52-32 =16 ∴ AB = 4
∴ AB 的长是 4.
类型二:勾股定理的构造应用 2、 如图, 已知:在 中,
,
,
. 求:
BC 的长 .

思路点拨 :由条件 , 想到构造含
角的直角三角形, 为此作
于 D ,
则有
,
,再由勾股定理计算出 AD 、 DC 的长,进而

求出 BC 的长 . 解析 :作 于 D ,则因
,
∴
(的两个锐角互余
∴ (在 中,如果一个锐角等于 ,
那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
C
B D
A
根据勾股定理,在 中,

. 根据勾股定理,在 中,

.
∴

.
举一反三 【变式 1】如图,已知:, , 于 P .

求证:
.

解析 :连结 BM ,根据勾股定理,在 中,

.
而在 中,则根据勾股定理有

.
∴
又∵

(已知 ,
∴ .
在 中,根据勾股定理有

,
∴ .
【变式 2】已知:如图,∠ B=∠ D=90°,∠ A=60°, AB=4, CD=2。求:四边形 ABCD 的面积。

分析 :如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC ,或延长 AB 、 DC 交于 F ,或 延长 AD 、 BC 交于点 E ,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三 种较为简单。
解析 :延长 AD 、 BC 交于 E 。
∵∠ A=∠ 60°,∠ B=90°,∴∠ E=30°。
∴ AE=2AB=8, CE=2CD=4,
∴ BE 2=AE2-AB 2=82-42=48, BE==。
∵ DE 2= CE2-CD 2=42-22=12,∴ DE==。

∴ S 四边形 ABCD =S△ ABE -S △ CDE

=AB ²BE-CD ²DE=
类型三:勾股定理的实际应用
(一用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地 A 点出发,沿北偏东 60°方
向走了 到达 B 点, 然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到达目的地 C 点。
(1求 A 、 C 两点之间的距离。
(2确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。
解析 :(1过 B 点作 BE//AD
∴∠ DAB=∠ ABE=60°
∵ 30°+∠ CBA+∠ ABE=180°
∴∠ CBA=90°
即△ ABC 为直角三角形
由已知可得:BC=500m, AB=
由勾股定理可得:
所以
(2在 Rt △ ABC 中,
∵ BC=500m, AC=1000m
∴∠ CAB=30°
∵∠ DAB=60°
∴∠ DAC=30°
即点 C 在点 A 的北偏东 30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5米,宽 1.6米,要开进厂门形状如图的某工 厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?

【答案】 由于厂门宽度是否足够卡车通过, 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小 于 CH .如图所示,点 D 在离厂门中线 0.8米处,且 CD ⊥AB, 与地面交于 H .
解:OC =1米 (大门宽度一半 , OD =0.8米

(卡车宽度一半

在 Rt △ OCD 中,由勾股定理得:
CD ===0. 6米,
C H=0. 6+2. 3=2. 9(米>2. 5(米 .
因此高度上有 0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
(二用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网 改造,某地有四个村庄 A 、 B 、 C 、 D ,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村 庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案, 如图实线部分. 请你帮助计算一下, 哪种 架设方案最省电线.

思路点拨 :解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短, 通过利用勾股定理计算线路长, 然后进行比较,得出结论.
解析 :设正方形的边长为 1,则图(1 、图(2中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3, AB+BC+CD=3
图(3中,在 Rt △ ABC 中

同理
∴图(3中的路线长为
图(4中,延长 EF 交 BC 于 H ,则 FH ⊥ BC , BH =CH
由∠ FBH =及勾股定理得:
EA =ED =FB =FC =
∴ EF =1-2FH =1

-
∴此图中总线路的长为 4EA+EF=

3>2.828>2.732
∴图(4的连接线路最短,即图(4的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为 20cm ,高AB为 4cm ,BC是上底面的直径.一 只蚂蚁从点 A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.
解:

如图,在 Rt △ABC中,BC=底面周长的一半=10cm , 根据勾股定理得
(提问:勾股定理
∴ AC ===≈10.77(cm (勾股定理 . 答:最短路程约为10.77cm .

类型四:利用勾股定理作长为 的线段
5、作长为 、 、 的线段。
思路点拨:由勾股定理得,直角边为 1

的等腰直角三角形,斜边长就等于 ,直角边为
和 1的直角三角形斜边长就是 ,类似地可作 。
作法 :如图所示

(1作直角边为 1(单位长的等腰直角△ ACB ,使 AB 为斜边;
(2以 AB 为一条直角边,作另一直角边为 1的直角 。斜边为 ;
(3顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、

的长度就是

、 、 、 。
举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。
解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, ,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而 10又是 9和 1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是 3和 1。
作法 :如图所示在数轴上找到 A 点, 使 OA=3, 作 AC ⊥ OA 且截取 AC=1, 以 OC 为半径, 以 O 为圆心做弧,弧与数轴的交点 B 即为 。
类型五:逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题:猫有四只脚. (正确
2.原命题:对顶角相等(正确
3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等. (正确
4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等. (正确
思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。
解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确
2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确
3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. • (正确
4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上. (正确
总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果 ΔABC 的三边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ΔABC 的形 状。
思路点拨 :要判断 ΔABC 的形状,需要找到 a 、 b 、 c 的关系,而题目中只有条件
a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。
解析 :由 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :
a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-32+(b-42+(c-52=0。
∵ (a-32≥ 0, (b-42≥ 0, (c-52≥ 0。
∴ a=3, b=4, c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a 2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得 ΔABC 是直角三角形。
总结升华 :勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 , 在证明中也常要 用到。
举一反三 【变式 1】四边形 ABCD 中,∠ B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求
四边形 ABCD 的面积。
【答案】 :连结 AC
∵∠ B=90°, AB=3, BC=4

∴ AC 2=AB2+BC2=25(勾股定理
∴ AC=5
∵ AC 2+CD2=169, AD 2=169
∴ AC 2+CD2=AD2
∴∠ ACD=90°(勾股定理逆定理

【变式 2】 已知 :△ ABC 的三边分别为 m 2-n 2,2mn,m 2+n2(m,n为正整数 , 且 m >n, 判断△ ABC 是否为直角三角形 .
分析 :本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明 :a 2+b 2=c 2即可
证明:

所以△ ABC 是直角三角形 .
【变式 3】如图正方形 ABCD , E 为 BC 中点, F 为 AB 上一点,且 BF=AB 。 请问 FE 与 DE 是否垂直 ? 请说明。
【答案】答:DE ⊥ EF 。
证明:设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,
∴ EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

DE 2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接 DF (如图
DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF 2=EF2+DE2,
∴ FE ⊥ DE 。
经典例题精析
类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是 3:4,斜边长是 20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度, 求面积, 可以先通过比值设 未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
解析:设此直角三角形两直角边分别是 3x , 4x ,根据题意得:
(3x 2+(4x 2=202
化简得 x 2=16;
∴直角三角形的面积=³3x ³4x =6x 2
=
96
总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组 求解。
举一反三 【 变式 1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。

【 答案 】如图,等边△ ABC ,作 AD ⊥ BC 于 D
则:BD =BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合
∵ AB =AC =BC =2(等边三角形各边都相等
∴ BD =1
在直角三角形 ABD 中, AB 2=AD 2+BD2,即:AD 2=AB 2-BD 2=4-1=3 ∴ AD =
S △ ABC =BC ²AD =
注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为 a ,则其面积为 a 。
【 变式 2】直角三角形周长为 12cm ,斜边长为 5cm ,求直角三角形的面积。
【 答案 】设此直角三角形两直角边长分别是 x , y ,根据题意得:

由(1得:x+y=7,
(x+y 2=49, x 2+2xy+y2=49 (3
(3-(2,得:xy =12
∴直角三角形的面积是 xy =³12=6(cm 2
【 变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求 n 。
思路点拨:首先要确定斜边(最长的边长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得:
(n+1 2+(n+2 2=(n+3 2
化简得:n 2=4
∴ n =±2,但当 n =-2时, n+1=-1<0,∴ n =2
总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给 出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。
【 变式 4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是(
A 、 8, 15, 17 B 、 4, 5, 6 C 、 5, 8, 10 D 、 8, 39, 40
解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,
对数据较大的可以用 c 2=a 2+b2的变形:b 2=c 2-a 2=(c -a (c+a来判断。 例如:对于选择 D ,
∵ 82≠(40+39³(40-39 ,
∴以 8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】 :A
【 变式 5】 四边形 ABCD 中, ∠ B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 求四边形 ABCD 的面积。
解:连结 AC
∵∠ B=90°, AB=3, BC=4
∴ AC 2=AB2+BC2=25(勾股定理

∴ AC=5
∵ AC 2+CD2=169, AD 2
=169
∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= AB²BC+ AC²CD=36 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且∠QPN＝30°，点 A 处有一所中学，AP ＝160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的 速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨： （1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否 小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必 须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作 AB⊥MN，垂足为 B。 在 RtΔ ABP 中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160， ∴ AB＝ AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A 到直线 MN 的距离小于 100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图， 假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响， 那么 AC ＝100(m， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m，BD＝60(m, ∴CD＝120(m。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间 为 24 秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作 辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ， 在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了__________步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了 花草。
解析：他们原来走的路为 3+4＝7(m 设走“捷径”的路长为 xm，则 故少走的路长为 7－5＝2(m 又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。 【答案】4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是 多少？ （3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。 【答案】 （1）单位正三角形的高为 ，面积是 。 （2）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积 。 （ 3 ） 过 A 作 AK ⊥ BC 于 点 K （ 如 图 所 示 ） 则 在 Rt △ ACK 中 ， ， ， ，故 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化 为直角三角形问题来解决． 3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE=12，CF=5．求线段 EF 的长。 思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线 段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD． 解：连接 AD． 因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为 AD 为△ABC 的中线， 所以 AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°． 因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA） ．
所以 AE=FC=5． 同理：AF=BE=12． 在 Rt△AEF 中，根据勾股定理得： ，所以 EF=13。 总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了 解： 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时， 应通过适当的转化把它们放在同一直 角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， 值。 ，求 、 、 的 思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。 解：在 Rt△ABC 中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则 因为 ，由勾股定理，得 ，所以 ， 。 ， ， 。 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三： 【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。 解：因为△ADE 与△AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。 因为四边形 ABCD 是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在 Rt△ABF 中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所 以 。 设 ，则 ，即 即 EF 的长为 5cm。 。 ，解得 。 。 所 以 在 Rt△ECF 中，