泰勒公式的应用开题报告.doc

泰勒公式的应用开题报告
选题意义
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。
除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题便的简单易解。
论文综述
国内同类课题研究现状及发展趋势： 泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，研究的方向大部分的是通过典型例题说明泰勒公式在求解极限、判定级数及广义积分敛散性方面、计算行列式、对某些定积分进行近似计算,求某些微分方程的通解等。例如：湖南科技学院数学系的唐仁献 在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了 泰勒公式，哈尔滨职业技术学院郭鑫、林卓在《浅议泰勒公式应用》中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等方面的具体应用方法。
在很多文章中，提到泰勒公式时，马上就是介绍泰勒公式的定义以及定性表示形式和各种形式的余项，如在我们学习的课本《数学分析》（上）中就是这样介绍的，这部分内容对于一个数学专业的学习者来说是比较基础的一部分内容，这对于以后的发展学习是很重要的．而我认为要深入研究这部分内容的话，还必须了解为此做出贡献的数学家—泰勒，因为了解一个数学家，就可以了解他创作时的数学思想，以及他的思维方式，在《世界著名科学家传记》中就对这位伟大的英年早逝的科学家进行了详细介绍．
在许多书籍和论文里也都会提到泰勒公式及其应用，可见这一部分知识的重要性，尤其对于高校学生和一些应用型研究学者来说，这部分知识的学习总结是不容忽视的．由于很多课本对这些内容只是简单描述，没有系统、详细的进行总结，为了更好的了解和认识泰勒公式及其它的应用，笔者通过翻阅大量的文献和参考资料，并对泰勒公式应用的方方面面进行了认真的思考，同时总结了其他学者在这方面研究所做的贡献．
三、 主要内容
我的论文将先对泰勒公式进行简单的介绍，对余项进行讨论，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，并配有相应的例题。
1、Taylor公式在计算极限中的应用
一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题。有如下情况：
（1）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式；
（2）用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁；
（3）所遇到的函数展开为泰勒公式不难.
2、Taylor公式在近似计算中的应用
由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．
3、Taylor公式在证明不等式中的应用
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷
4、Taylor公式在判断级数的敛散性中的应用
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则
5、Taylor公式在证明根的唯一存在性中的应用
6、Taylor公式在判断函数的极值中的应用
7、Taylor公式在求初等函数的幂级数展开式中的应用
利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式
8、Taylor公式在求行列式的值中的应用
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
四、 研究方法
为了写好这篇论文，我在中国知网上查找了相关的资料，对这些资料进行了仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，并且整理归类。争取在论文中把Taylor公式的应用尽量收集齐全。