河南省周口市-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析.doc

河南省周口市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1“x1”是“lnx0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则（）Ax=6，y=15Bx=3，y=Cx=3，y=15Dx=6，y=3已知命题p：“xR，exx10”，则命题p（）AxR，exx10BxR，exx10CxR，exx10DxR，exx104关于x的不等式axb0的解集为（，1），则不等式0的解集为（）A（1，2）B（，1）（1，2）C（1，2）D（，1）（1，2）5若ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（X3）2+y2=1C（X+）2+y2=D（2x3）2+4y2=17两个等差数列an和bn，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）ABCD8如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD09在ABC中，已知a=17，b=24，A=45，则此三角形（）A无解B有两解C有一解D解的个数不确定10已知Sn是等比数列an的前n项和，设Tn=a1a2a3an，则使得Tn取最小值时，n的值为（）A3B4C5D611已知椭圆C： =1（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD12定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1x2）都有0，且函数y=f（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s22s）f（2tt2），则当1s4时，的取值范围是（）A3，）B3，C5，）D5，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若平面的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（2，3，3），则l与所成角的正弦值为14在等比数列an中，若a3，a15是方程x26x+8=0的根，则=15如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=30，以及MAC=105，从C测得MCA=45，已知山高BC=150米，则所求山高MN为16抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=90，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）已知命题P：函数f（x）为（0，+）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）f（32m）命题Q：当x0，函数m=sin2x2sinx+1+a若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=（）若b=4，求sinA的值；（）若ABC的面积S=4，求b、c的值19（12分）已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn20（12分）已知函数f（x）=，x1，+），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围21（12分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动（）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45？22（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y=k（x1）（k0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|OQ|的值河南省周口市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1“x1”是“lnx0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“lnx0得0x1，则“x1”是“lnx0”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键2已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则（）Ax=6，y=15Bx=3，y=Cx=3，y=15Dx=6，y=【考点】共线向量与共面向量【分析】由l1l2，利用向量共线定理可得：存在非0实数k使得，解出即可【解答】解：l1l2，存在非0实数k使得，解得，故选：D【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题3已知命题p：“xR，exx10”，则命题p（）AxR，exx10BxR，exx10CxR，exx10DxR，exx10【考点】特称命题；命题的否定【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定【解答】解：命题p：“xR，exx10”，命题p：xR，exx10，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题4关于x的不等式axb0的解集为（，1），则不等式0的解集为（）A（1，2）B（，1）（1，2）C（1，2）D（，1）（1，2）【考点】其他不等式的解法【分析】由题意可得a0，且=1，不等式0即0，由此求得不等式的解集【解答】解：关于x的不等式axb0的解集为（，1），a0，且=1则不等式0即0，解得1x2，故选：C【点评】本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题5若ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于，从而得到ABC是钝角三角形，得到本题答案【解答】解：角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC=C是三角形内角，得C（0，），由cosC=0，得C为钝角因此，ABC是钝角三角形故选：C【点评】本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题6一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（X3）2+y2=1C（X+）2+y2=D（2x3）2+4y2=1【考点】轨迹方程【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x3，2y），A在圆x2+y2=1上，（2x3）2+（2y）2=1，即（2x3）2+4y2=1故选D【点评】此题是个基础题考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力7两个等差数列an和bn，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）ABCD【考点】等差数列的性质【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：因为： =故选：D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力8如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos，可得答案【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）=（1，0，1），=（1，1，1）设异面直线A1E与GF所成角的为，则cos=|cos，|=0，故选：D【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题9在ABC中，已知a=17，b=24，A=45，则此三角形（）A无解B有两解C有一解D解的个数不确定【考点】正弦定理【分析】由题意求出a边上的高h，画出图象后，结合条件判断出此三角形解的情况【解答】解：由题意知，a=17，b=24，A=45则c边上的高h=bsinA=12，如右图所示：因12a=17b，所以此三角形有两解，故选B【点评】本题考查了三角形解的情况，以及数形结合思想10已知Sn是等比数列an的前n项和，设Tn=a1a2a3an，则使得Tn取最小值时，n的值为（）A3B4C5D6【考点】等比数列的前n项和【分析】由9S3=S6，解得q=2若使Tn=a1a2a3an取得最小值，则an=2n11，由此能求出使Tn取最小值的n值【解答】解：an是等比数列，an=a1qn1，S3=a1+a1q+a1q2，S6=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5，由9S3=S6，解得q=2若使Tn=a1a2a3an取得最小值，则an1，a1=， 2n11，解得n6，nN*，使Tn取最小值的n值为5故答案为：5【点评】本题考查使得等比数列的前n项积Tn取最小值时n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用11已知椭圆C： =1（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形，由此能求出离心率e【解答】解：如图所示，在AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF=100+642108=36，|AF|=6，BFA=90，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形|BF|=6，|FF|=102a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5e=故选B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用12定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1x2）都有0，且函数y=f（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s22s）f（2tt2），则当1s4时，的取值范围是（）A3，）B3，C5，）D5，【考点】函数单调性的性质【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s22s）f（2tt2）便得到，s22st22t，将其整理成（st）（s+t2）0，画出不等式组所表示的平面区域设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；由f（s22s）f（2tt2）得：s22st22t；（st）（s+t2）0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即ABC及其内部，C（4，2）；设，整理成：；，解得：；的取值范围是故选：D【点评】考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若平面的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（2，3，3），则l与所成角的正弦值为【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【分析】设l与所成角为，由sin=|cos|，能求出l与所成角的正弦值【解答】解：平面的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（2，3，3），设l与所成角为，则sin=|cos|=l与所成角的正弦值为故答案为：【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用14在等比数列an中，若a3，a15是方程x26x+8=0的根，则=2【考点】等比数列的通项公式【分析】由韦达定理得a3a15=8，由等比数列通项公式性质得： =8，由此能求出的值【解答】解：在等比数列an中，a3，a15是方程x26x+8=0的根，a3a15=8，解方程x26x+8=0，得或，a90，由等比数列通项公式性质得： =8，=a9=故答案为：2【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用15如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=30，以及MAC=105，从C测得MCA=45，已知山高BC=150米，则所求山高MN为150m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意，通过解ABC可先求出AC的值，解AMC，由正弦定理可求AM的值，在RTMNA中，AM=300m，MAN=60，从而可求得MN的值【解答】解：在RTABC中，CAB=30，BC=150m，所以AC=300m在AMC中，MAC=105，MCA=45，从而AMC=30，由正弦定理得，AM=300m在RTMNA中，AM=300m，MAN=60，得MN=300=150m故答案为150m【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题16抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=90，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为【考点】抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|=a+b，由余弦定理可得|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|2=a2+b22abcos90=a2+b2，配方得，|2=（a+b）22ab，又ab（） 2，（a+b）22ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|（a+b），即的最大值为故答案为：【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）（2016秋周口期末）已知命题P：函数f（x）为（0，+）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）f（32m）命题Q：当x0，函数m=sin2x2sinx+1+a若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先根据已知条件求出命题P，Q下的m的取值范围：m，根据命题P是Q的充分不必要条件得到，从而求得a的取值范围【解答】解：命题P：根据已知条件得：，解得，即m；命题Q：x，sinx0，1，m=sin2x2sinx+1+a=（sinx1）2+a；当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以ma，1+a；命题P是Q的充分不必要条件，所以；，解得；【点评】考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念18（12分）（2009广州一模）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=（）若b=4，求sinA的值；（）若ABC的面积S=4，求b、c的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；（2）由ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值【解答】解：（I）（2分）由正弦定理得（II），c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c22accosB，（10分）【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式19（12分）（2016广元二模）已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（）由已知可得，且a5a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列an通项，数列bn中，利用递推公式（）用错位相减求数列cn的前n和【解答】解：（）a3，a5是方程x214x+45=0的两根，且数列an的公差d0，a3=5，a5=9，公差an=a5+（n5）d=2n1（3分）又当n=1时，有当，数列bn是首项，公比等比数列，（）由（）知，则（1）=（2）（10分）（1）（2）得： =化简得：（12分）【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn的前n和可采用错位相减法20（12分）（2000上海）已知函数f（x）=，x1，+），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义【分析】（1）a=时，函数为，f在1，+）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a0，在1，+）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围【解答】解：（1）因为，f（x）在1，+）上为增函数，所以f（x）在1，+）上的最小值为f（1）=（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a0，在1，+）上恒成立即a（x+1）2+1在1，+）上恒成立 令g（x）=（x+1）2+1，则g（x）在1，+）上递减，当x=1时，g（x）max=3，所以a3，即实数a的取值范围是（3，+）【点评】本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略21（12分）（2016湖南一模）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动（）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45？【考点】直线与平面所成的角【分析】（）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行由线面平行的判定定理可以证出结论用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全（）建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标【解答】解：（）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC（）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），设BE=x（0x），则E（x，1，0），设平面PDE的法向量为=（p，q，1），由，得，令p=1，则=（1，x，）而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45，所以sin45=，解得BE=x=或BE=x=（舍）故BE=时，PA与平面PDE所成角为45【点评】考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路22（12分）（2016秋周口期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y=k（x1）（k0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|OQ|的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得a，b，c，即可得椭圆C的标准方程可（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=|同理得：|OQ|=|故|OP|OQ|=|=|即可【解答】解：（1）由题意得，又因为点在椭圆上，得，又a 2=b2+c 2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的标准方程：（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=，x1x2=，又点M是椭圆C的右顶点，M（2，0），AM的方程可表示为：y=，令x=0，得|OP|=| 同理得：|OQ|=|故|OP|OQ|=|=|即而（x12）（x22）=x1x22（x1+x2）+4=y1y2=k（x11）k（x21）=所以|OP|OQ|=3【点评】本题考查了椭圆的方程，及椭圆与直线的位置关系，属于中档题