全国二卷三卷立体几何(文科).doc

立体几何（文科）立体几何解题中常用的判定定理及性质定理1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行线面平行）若aa，ba，ab，则aa2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行线线平行）若aa，a，ab，则ab3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直若m，n，mnO，lm，ln，则l4.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行若a，b，则ab5.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）若aa，ba，abA，ab，bb，则ab6.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行若ab，aa，bb，则ab7.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直若la，lb，则ab8.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若ab，abl，aa，al，则ab空间角的范围(1)异面直线所成的角()：0；(2)直线与平面所成的角()：0；(3)二面角()：0.常用体积公式锥体体积：（S为底面积h为高）（锥体包括圆锥、棱锥等）柱体体积：（S为底面积，h为高）（柱体包括圆柱、棱柱、长方体、正方体等）历年高考真题及解析（2013全国18） (1)证明：BC1平面A1CD； (2)设，求三棱锥CA1DE的体积解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由，得，故，即所以.（2014全国18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，面ABCD，E为PD的点. （I）证明：PB/平面AEC. (II)设AP=1，AD=,三棱锥 P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离.解：（1）OPABCDEH设AC的中点为O, 连接EO.在三角形PBD中，中位线EO/PB,且EO在平面AEC上，所以PB/平面AEC.(2)）由题设知，可得做交于由题设知，所以，故，又所以到平面的距离为（2015全国19）如图,长方体中AB=16,BC=10,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解：（）交线围成的正方形如图：（）作垂足为，则，因为是正方形，所以，于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为或（2016全国19）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点.将沿折到的位置. （）证明：；（）若，求五棱锥的体积解：（）由已知得，又由得，故由此得，所以.（）由得由得所以于是故由（）知，又，所以平面于是又由，所以，平面又由得五边形的面积所以五棱锥体积（2016全国19）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明：MN平面PAB；（）求四面体N-BCM的体积解：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. .3分又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. .6分（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. .12分高考模拟题1.如图所示，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是棱上的动点（1）若是的中点，求证：/平面； （2）若，求证：；（3）在（2）的条件下，若，求四棱锥的体积 2.如图，在边长为4的菱形中，点、分别在边、上点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面（1）求证：平面；（2）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长ABCDMPO3.如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=45，AD=AC=1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD中点（）证明：PB平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值4.如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值5.如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC=60的菱形，M为PC的中点（1）求证：PCAD； （2）求点D到平面PAM的距离高考模拟题答案1.解析：证明1）连结，交于,如图： 底面为菱形， 为中点 是的中点， /， 平面，平面，/平面 （2）底面为菱形， ，为中点 ， ， 平面平面， （3） ，为等腰三角形 为中点，由（2）知 ，且， 平面，即为四棱锥的高 四边形是边长为2的菱形，且，来源:Zxxk.Com， ，2.解析（1）证明：在菱形中， ， 平面平面，平面平面，且平面，来源:学#科#网Z#X#X#K平面， 平面，平面（2）设由（1）知，平面， 为三棱锥及四棱锥的高， ， ， ， ， 3.解析：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PBMO因为PB平面ACM，MO平面ACM所以PB平面ACM（II）证明：因为ADC=45，且AD=AC=1，所以DAC=90，即ADAC又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，ACPO=O，AD平面PAC（III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MNPO，且MN=PO=1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，所以，在RtANM中，=即直线AM与平面ABCD所成的正切值为解答：4.解析：（1）证明：PC平面ABC，AB平面ABC，PCABCD平面PAB，AB平面PAB，CDAB又PCCD=C，AB平面PCB（2）解：取AP的中点O，连接CO、DOPC=AC=2，COPA，CO=，CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DOPACOD为二面角CPAB的平面角由（1）AB平面PCB，ABBC，又AB=BC，AC=2，求得BC=PB=，CD=cosCOD=5.解析：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，OCAD，OPAD，又OCOP=O，OC平面POC，OP平面POC，AD平面POC，又PC平面POC，PCAD（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（1）可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，PO平面ABCD，即PO为三棱锥PACD的体高在RtPOC中，在PAC中，PA=AC=2，边PC上的高AM=，PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由VDPAC=VPACD得，又，解得，点D到平面PAM的距离为13