全国二卷三卷立体几何(文科).doc

立体几何（文科）

立体几何解题中常用的判定定理及性质定理
1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（线线平行线面平行）
若aa，b⊂a，a∥b，则a∥a．
2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．（线面平行线线平行）
若a∥a，a⊂β，a⋂β＝b，则a∥b．
3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．
4.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
5.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（线面平行面面平行）
若aÌa，bÌa，a⋂b＝A，a∥b，b∥b，则a∥b．
6.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
若a∥b，a∩γ＝a，b∩γ＝b，则a∥b．
7.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
若l⊥a，lÌb，则a⊥b．
8.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
若a⊥b，a∩b＝l，aÌa，a⊥l，则a⊥b．

空间角的范围
(1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤；
(2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤；
(3)二面角(θ)：0≤θ≤π.

常用体积公式
锥体体积：（S为底面积，h为高）（锥体包括圆锥、棱锥等）
柱体体积：（S为底面积，h为高）（柱体包括圆柱、棱柱、长方体、正方体等）

历年高考真题及解析
（2013全国Ⅱ18）
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设，求三棱锥C－A1DE的体积．
解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由，得，，，，
故，即
所以.

（2014全国Ⅱ18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，面ABCD，E为PD的点.
（I）证明：PB//平面AEC.
(II)设AP=1，AD=,三棱锥
P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离.

解：（1）
O
P
A
B
C
D
E
H
设AC的中点为O, 连接EO.在三角形PBD中，中位线EO//PB,且EO在平面AEC上，所以PB//平面AEC.
(2)
Ⅱ）
由题设知，可得
做交于
由题设知，所以，故，
又
所以到平面的距离为

（2015全国Ⅱ19）如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

解：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：
（Ⅱ）作垂足为，则，因为是正方形，所以，于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为或

（2016全国Ⅱ19）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，
，交于点.将沿折到的位置.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，，求五棱锥的体积．

解：（Ⅰ）由已知得，
又由得，故
由此得，所以.
（Ⅱ）由得
由得
所以
于是故
由（Ⅰ）知，又，
所以平面于是
又由，所以，平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积

（2016全国Ⅲ19）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．

解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分

（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积. .....12分

高考模拟题
1.如图所示，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是棱上的动点．
（1）若是的中点，求证：//平面；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，，求四棱锥的体积．

2.如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．

A
B
C
D
M
P
O
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

4.如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

5.如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．

高考模拟题答案
1.解析：证明：（1）连结，交于,如图：

∵ 底面为菱形， ∴ 为中点．
∵ 是的中点，∴ //，
∵平面，平面，∴//平面．
（2）∵底面为菱形，∴ ，为中点．
∵ ，∴ ．
∵ ， ∴ 平面．
∵平面，∴ ．
（3）∵ ，∴为等腰三角形 ．
∵ 为中点，∴．
由（2）知 ，且，
∴ 平面，即为四棱锥的高．
∵四边形是边长为2的菱形，且，[来源:Zxxk.Com]
∴，∴．
∴ ，∴．

2.解析（1）证明：在菱形中，
∵，∴．
∵，∴，
∵平面⊥平面，
平面平面，且平面，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴平面，
∵平面，∴．
∵，∴平面．
（2）设．
由（1）知，平面，
∴为三棱锥及四棱锥的高，
∴，∵，
∴，∴，
∵，
∴，∴∽．
∴，
∴，
∴．

3.解析：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，，所以，
∴，
在Rt△ANM中，==
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为

解答：
4.解析：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．

（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．
∵PC=AC=2，∴CO⊥PA，CO=，
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．
∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．
由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，
又∵AB=BC，AC=2，求得BC=
PB=，CD=
∴
cos∠COD=．

5.解析：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．
在Rt△POC中，，，
在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，
∴△PAC的面积，
设点D到平面PAC的距离为h，由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，
又，∴，
解得，∴点D到平面PAM的距离为．

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