2018海淀一模数学文科试题(含答案).doc

海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文科）2018.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，且，则可以是
(A)（B）（C）（D）
（2）已知向量，则
(A) （B）（C）（D）
（3）下列函数满足的是
(A) （B）
（C）（D）

（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为
(A) 2 （B）6
（C）8（D）10

（5）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于1，则的取值范围是
(A) （B）（C）（D）
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为为中任意一点，则的最大值为
(A) （B）
（C）（D）

（7）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的
(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）已知直线：与圆相交于，两点，是线段中点，则到直线的距离的最大值为
(A) 2（B） 3 （C）4（D） 5
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数____.
（10）已知点是双曲线的一个顶点，则的离心率为.
（11）在中，若，则，.
（12）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是____.
（13）已知函数给出下列结论：
①在上是减函数；②在上的最小值为；
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)
（14）将标号为1，2，……，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为.

甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知等比数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）试判断是否存在正整数，使得的前项和为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（16）（本小题13分）
函数的部分图象如图所示，其中是函数的零点.
（Ⅰ）写出及的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.

（17）（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于或小于时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为区间.
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组

频数
2
3
15
30
50
75
120
5

（Ⅰ）求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率；
（Ⅱ）从区间的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于的概率；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组（只需写出结论）.

（18）（本小题14分）
如图，四棱锥中，，，
且平面，为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）当四面体的体积最大时，判断直线与直线是否垂直，并说明理由.

（19）（本小题14分）
已知椭圆的两个焦点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线分别交于、两点. 求证：点在以为直径的圆上.

（20）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）当时，求证：，都有.

2018文科参考答案
一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
D
B
C
C

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10． 11．
12． 13．①③ 14. 乙

三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．解：（Ⅰ）设的公比为，
因为 ，且，
所以 ， ………………2分
得 ………………4分
所以 ………………6分
（Ⅱ）不存在，使得的前项和为 ………………7分
因为，，
所以 ………………10分
方法1：
令 ，则
得，该方程无解. ………………13分
所以不存在，使得的前项和为.

方法2：
因为对任意，有，
所以 ………………13分
所以不存在，使得的前项和为。

16．解：（Ⅰ） ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ………………7分
因为，
所以 ………………9分
当 即 时， 的最小值为. ………………11分
当 即 时， 的最大值为. ………………13分

17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.
而样本在上的频数为30，
所以所求频率为 ………………3分
（Ⅱ）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于” …………………….…4分
设区间中的两个数据为，区间中的三个数据为，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含
共10个基本事件， …………………….…6分
而事件包含共6个基本事件，
…………………….…8分
所以. …………………….…10分
（Ⅲ）第6组. …………………….…13分
18．（Ⅰ）证明：取线段的中点，连接.
因为为棱的中点，
所以在中，. …………………….…1分
又，,
所以.
所以四边形是平行四边形,
所以. …………………….…2分
又平面, 平面,
所以平面. …………………….…4分
（Ⅱ）因为,为中点,
所以. …………………….…5分
又平面,平面,
所以 .…………………….…6分
又,
所以平面. …………………….…7分
又，
所以平面. …………………….…8分
因为平面,
所以平面平面. .…………………….…9分
（Ⅲ）. .…………………….…10分
设，
则四面体的体积 . ………………….…11分
当，即时体积最大. .…………………….…12分
又平面,平面,
所以. .…………………….…13分
因为,
所以平面.
因为平面，
所以. .…………………….…14分
19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为 ，
则 .…………………….…2分
得 .…………………….…4 ，
所以椭圆方程为 .…………………….…5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得.
当直线不存在斜率时，可得
直线方程为，令得,
同理，得.
所以,
得.
所以,在以为直径的圆上. .…………………….…7分
当直线存在斜率时，设方程为 ，、.
由可得.
显然,, .…………………….…8分
直线方程为，得 ,
同理， . .…………………….…9分
所以.
.…………………….…10分
因为
所以 .…………………….…11分

所以 ..…………………….…13分
所以,在以为直径的圆上. .…………………….…14分
综上，在以为直径的圆上.

20．解：（Ⅰ）当时，,
. .…………………….…1分
得 .…………………….…2分
又, .…………………….…3分
所以曲线在处的切线方程为 .…………………….…4分
方法1：
（Ⅱ）因为，
所以.
.…………………….…5分
因为，
所以. .…………………….…6分
所以. .…………………….…7分
所以 当时，，
所以在区间单调递增. .…………………….…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，
所以时，. .…………………….…9分
当时，设，
则 ，
随x的变化情况如下表：
x

+

极大值

所以在上单调递增，在上单调递减 .…………………….…10分
因为，，
所以存在唯一的实数，使得， .…………………….…11分
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减. .…………………….…12分
又 ，,
所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有.
.…………………….…13分

方法2：
（Ⅱ）因为，
所以. .…………………….…5分
令，
则 ， .…………………….…6分
随x的变化情况如下表：
x

+

极大值

.…………………….…7分
当时，.
所以时，，即，
所以在区间单调递增. .…………………….…8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，
所以时，. .…………………….…9分
当时， 由（Ⅱ）可知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的实数，使得， .…………………….…11分
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
.…………………….…12分
又 ，,
所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有. .…………………….…13分