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中学数学公式定律手册
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初中代数 高中代数 平面几何

立体几何 解析几何 向量部分
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★初中代数（一）
【实数的分类】

【自然数】
表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数
【质数与合数】
一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。
【相反数】
只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。
【绝对值】
一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。
【倒数】
1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。
【完全平方数】
如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。
【方根】
如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。
【开方】
求一数的方根的运算叫做开方。
【算术根】
正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。
【代数式】
用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。
【代数式的值】
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。
【代数式的分类】

【有理式】
只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式
【无理式】
根号下含有字母的代数式叫做无理式
【整式】
没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式　
【分式】
除式中含字母的有理式叫分式

★初中代数（二）
【有理数的运算律】

【等式的性质】

【乘法公式】

【因式分解】

【方程】
方 程
含有未知数的等式叫做方程。
方程的解
在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解 方 程
在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。
【一元一次方程】
一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程

【一元二次方程】

★平面几何==>E:\index.html直线与角
直 线
（不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。
射 线
在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。
线 段
直线上两点间的部分。它有两个端点。
垂 线
如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中一条叫另一条的垂线，它们的交点叫垂足。
斜 线
如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。
线段的垂直平分线
定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
平 行 线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
平行线公理及推论
经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
角 的 定 义
有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角
角 的 分 类
周角：3600  平角：1800  直角：900  锐角：00<a<900  钝角：900<a<1800

★平面几何==>E:\index.html三角形
三角形的分类
按角分
锐角三角形，钝角三角形，直角三角形
按边分
等腰三角形，等边三角形，不等边三角形
三角形的角平分线
三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
三角形的中线
连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高
三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
全 等 三 角 形
定 义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
性 质
全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。
判 定
任意三角形
直角三角形
（1）两边及夹角对应相等。记为SAS
（1）一边一锐角对应相等
（2）两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS
（2）两直角边对应相等。
（3）三边对应相等。记为SSS
（3)斜边、直角边对应相等（HL）
三 角 形 的 四 心
名 称
定 义
性 质
内 心
三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）
（1）内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。
外 心
三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（即外接圆的圆心）
（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。
（2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。
（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。
重 心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
（1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
（2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。
垂 心
三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。
三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
☆高中代数 ==> 函数（一） 
【集合】
指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。
【集合的分类】

【集合的表示方法】

名 称
定     义
图            示
性     质
子 集

真子集

交集

并集

补集

☆高中代数==>函数（二）  
函数的性质
定   义
    判定方法
函数的奇偶性
函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数

函数的单调性
对于给定的区间上的函数f(x)：

函数的周期性
对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。
（1）利用定义
（2）利用已知函数的周期的有关定理。

☆高中代数==>E:\下载\index.html函数（三） 
函数名称
解析式
定义域
值  域
奇偶性
单 调 性
正比例函数

R
R
奇函数

反比例函数

奇函数

一次函数

R
R

二次函数

R

☆高中代数==>E:\下载\index.html不等式（一）  
不等式
用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式
不等式的性质

含绝对值不等式的性质

几个重要的不等式

☆高中代数==>E:\下载\index.html不等式（二）
一元一次不等式的解法
           形    式
      解    集

 R

一元二次不等式的解法

 R

绝对值不等式的解法

无理不等式的解法

☆高中代数==>E:\下载\index.html三角函数（一）  
角
一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
角的单位制
关    系
弧 长 公 式
  扇 形 面 积 公 式
角度制

弧度制

角的终边
位          置
   角 的 集 合
在x轴正半轴上

在x轴负半轴上

在x轴上

在y轴上

在第一象限内

在第二象限内

在第三象限内

在第四象限内

特殊角的三角函数值
函数/角
0

sina
0

1
0
-1
0

cosa
1

0
-1
0
1

tana
0

1

不存在
0
不存在
0

cota
不存在

1

0
不存在
0
不存在

三角函数的性质
函数
定义域
值域
奇偶性
周期性
     单 调 性
y=sinx
R

奇函数

y=cosx
R

偶函数

y=tanx

R
奇函数

y=cotx

R
奇函数

☆高中代数==>E:\下载\index.html三角函数（二）
诱导公式
角/函数
正弦
余弦
正切
余切

-a
-sina
cosa
-tana
-cota
900a
cosa
sina
cota
tana
900+a
cosa
-sina
-cota
-tana
1800-a
sina
-cosa
-tana
-cota
1800+a
-sina
-cosa
tana
cota
2700-a
-cosa
-sina
cota
tana
2700+a
-cosa
sina
-cota
-tana
3600-a
-sina
cosa
-tana
-cota

sina
cosa
tana
cota
同角公式
倒数关系

商数关系

平方关系

和差角公式

倍角公式

万能公式

半角公式

积化和差公式

和差化积公式

☆高中代数==>数列
名称
     定   义
   通 项 公 式
前n项的和公式
其它
数列
按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为{an}
如果一个数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式

等差数列

等比数列

数列前n项和与通项的关系：

无穷等比数列所有项的和：

数学归纳法
    适 用 范 围
             证 明 步 骤
    注 意 事 项
只适用于证明与自然数n有关的数学命题
设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)当n取第一个值n0(例如：n=1或n=2)时，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P(n)对于一切自然数n都成立。
（1）第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一不可
（2）第二步的证明过程中必须使用归纳假设。

☆高中代数==>复数  
复数的定义
引入虚数单位i，规定i2=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有加乘运算仍然成立。形如：a+bi（a,b为实数）           a---实部     b----虚部
复数的表示形式
代数形式

三角形式

复数的运算
代数式

三角式

☆高中代数==>E:\下载\index.html排列、组合、二项式定理
分 类 计 数 原 理
分 步 计 数 原理
做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。
做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1•m2•…•mn种方法。

注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排     列
组    合
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。
排  列   数
组   合  数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm
选 排  列   数
全 排  列   数

 二 项 式 定 理

二项展开式的性质
(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：

各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和

☆解析几何==>E:\index.html方程与曲线
方程与曲线
概念
在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标（x,y）都是方程F（x,y)=0的解；反之方程F（x,y)=0的解为坐标的点（x,y）都在曲线C上，那么方程F（x,y)=0叫曲线C的方程，曲线C叫方程F（x,y)=0的曲线。
已知曲线求它的方程的步骤
（1）建立适当坐标系，用（x,y)表示曲线上任一点P的坐标；
（2）写出适合条件M的点P的集合
（3）用坐标表示条件M（P），列出方程；f（x,y)=0
（4）化方程f（x,y)=0为最简形式
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
充分条件

必要条件

充要条件

☆解析几何==>E:\index.html直线
直线
直线的方程

直线与x轴垂直不能用

直线与x轴垂直不能用

直线与坐标轴垂直不能用

直线与坐标轴垂直或过原点不能用

A、B不全为零
点到直线的距离

两条直线的关系及条件

平    行
重  合
        垂   直

斜交二直线的夹角

直线系

☆解析几何==>圆
圆
定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。
标准方程地
一般方程

点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系

☆解析几何==>椭圆 
椭圆
定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于一个常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。
标准方程

图    象

焦    点
F1（-c,0）  F2（c,0）
F1（0,-c）  F2（0,-c）
焦    距

几何性质
范围

对称性
坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
顶点

离心率

☆解析几何==>双曲线
双曲线
定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。
标准方程

图    象

焦    点
F1（-c,0）  F2（c,0）
F1（0,-c）  F2（0,-c）
焦    距

几何性质
范围

对称性
坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
顶点

渐近线

离心率

☆解析几何==>抛物线 
抛物线
定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。
标准方程

焦点

准线

图象

几何性质
范围

对称性
曲线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
顶点
坐标原点（0，0）
离心率
e=1

※中学数学公式定律手册※===>立体几何==>E:\index.html直线与平面（一） 

平面的基本性质
图     形
      作    用
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

（1）判定直线在平面内的依据
（2）判定点在平面内的方法
公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。

（1）判定两个平面相交的依据
（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（1）确定一个平面的依据
（2）判定若干个点共面的依据
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

（1）判定若干条直线共面的依据
（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据
推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

※中学数学公式定律手册※===>立体几何==>E:\index.html直线与平面（二） 

   间   二   直   线
   平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线

空 间 直 线 和 平 面
位
置
关
系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
直
线
和
平
面
平
行
判 定 定 理
         性 质 定 理

直
线
与
平
面
垂
直
判 定 定 理
    性 质 定 理

※中学数学公式定律手册※===>立体几何==>E:\index.html直线与平面（三）

直线与平面所成的角
（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
空间两个平面
两个平面平行
判   定
     性    质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（2）垂直于同一直线的两个平面平行
（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
相交的两平面
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直
判   定
     性    质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内

※中学数学公式定律手册※===>立体几何==>E:\index.html多面体、棱柱、棱锥 

多面体
定义
由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
棱锥
正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2
                      多  面 体
侧面积公式

体积公式

球

※中学数学公式定律手册※===>平面向量  

平面向量的概念
在平面内具有大小和方向的量叫做和向量
运算性质

实数与向量的积

运算律

平面向量基本定量

 向量平行

向量垂直

定比分点公式

※中学数学公式定律手册※===>空间向量 

空间向量的概念
在空间内具有大小和方向的量叫做和向量
共线向量定理

共面向量定理

空间向量基本定理

两个向量的数量积

空间向量的数量积的性质

空间向量的坐标运算

两向量的夹角