北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合.doc

课外学业辅导讲义 张老师整理15010251586 第一讲：二次函数与一元二次方程的综合考试要求中考第二轮复习 代数综合题内容要求中考分值考察类型二次函数与一元二次方程综合题会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解7二次函数与一元二次方程方法策略1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。例题精讲27题图【例1】（2015怀柔127）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数.（1）求a的值.（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当 -2x1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.27.解：（1）二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a-1）x2+2x+1=0，解得a2. 1分. a为正整数. a=1、2又y=（a-1）x2+2x+1是二次函数，a-10，a1，a的值为2. 2分（2）a=2，二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）2-（m2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1, -m2-1）. 4分当m-1-2，即m-1时， x=-2时，二次函数有最小值-3，-3=（-1-m）2-（m2+1），解得且符合题目要求. 5分当 -2m-11,即-1m2,时，当 x= m-1时，二次函数有最小值-m2-1=-3，解得.不符合-1m2的条件，舍去.6分当m-11，即m2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3，-3=（2-m）2-（m2+1），解得,不符合m2的条件舍去.综上所述，m的值为或 7分【例2】（2015昌平123） 已知二次函数（1）二次函数的顶点在轴上，求的值；（2）若二次函数与轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当为整数时，求A、B两点的坐标.23.解：（1）方法一二次函数顶点在轴上，且 1分即，且 3分（2）二次函数与轴有两个交点，且 分即，且 当且时，即可行、两点均为整数点，且为整数5分当时，可使，均为整数，当时，、两点坐标为和6分【例3】（2015门头沟127）已知：关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+(m+2)=0（m0）（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围（1）证明： = (m+1)24(1)(m+2)=(m+3)2. 1分 m0， (m+3)20，即 0， 原方程有两个不相等的实数根. 2分（2）解： 抛物线抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0）， 32+3(m+1)+(m+2)=0，3分 m=1. y=x2+2x+3. 4分（3）解： y=x2+2x+3=(x1)2+4， 该抛物线的顶点为（1，4）. 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时， 4=k(1+1)+4， k=0， y=4. 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. 5分 y=x2+2x+3， 当x=0时，y=3， 该抛物线与y轴的交点为（0，3）. 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. 6分 3t4. 7分【例4】（2014门头沟123）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；（3）抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图11，点C（0，-5)，D（6，-5) ，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）.解：(1)证明： =1分 = = 0， 2分 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根. （2） 解关于x的一元二次方程，得 . 3分由题意得 4分解得 . 5分（3）或 . 7分 逆袭训练1. （2015通州227）已知关于x的方程mx2(3m1)x+2m2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根（2）若关于x的二次函数y= mx2(3m1)x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式.解：(1)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，=（m+1）2；=（m+1）20，.(1分)无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0由求根公式得，x1=2， .(2分)抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）x2=0或x2=4，m=1或 )当m=1时，y=x2-2x，抛物线解析式为y=x2-2x当 时,答：抛物线解析式为y=x2-2x；或 .(3分)2. （2015朝阳227）已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使，则自变量的取值范围为 （1）证明：是关于的一元二次方程，1分=4即方程有两个不相等的实数根2分（2） 解：由求根公式，得或3分，4分即为所求5分（3）07分3. （2015石景山227）已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值解：（1）当时，当时，综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；3分（2）二次函数的图象经过坐标原点4分B抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：设直线所在函数解析式为：将和点代入直线所在函数解析式为：5分（3）据题意：过点作轴交于，可证 ,则设，6分当时，随增大而增大，为所求.7分4. （2015顺义227）已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根；（2）求证：抛物线总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围 解：（1）=.1分=，方程总有两个实数根.2分（2）=.3分，抛物线总过x轴上的一个定点（-1,0）.4分（3）抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，B（3-m,0），C（0, m-3），.5分OBC为等腰直角三角形， OBC的面积小于或等于8， OB，OC小于或等于4， 3-m 4或m-3 4， .6分m-1或m 7-1m7且.7分5.（2014朝阳123）已知关于x的一元二次方程 .（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值解：（1）由题意 m 0， 1分 方程有两个不相等的实数根， 0 2分即 得 m3 3分 m的取值范围为m0和m3； （2）设y=0，则 ， ， 5分当 是整数时，可得m=1或m=-1或m=3 6分 ， m的值为1或3 7分6.（2014东城223）已知：关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A，轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图像与轴的另一交点为B，当ABC为锐角三角形时，求的取值范围解：（1）无论m取何值，此方程总有两个实数根.2分（2）由公式法：x1=1,x2=.4分此函数图像一定过轴，轴上的两个定点，分别为A（1，0）,C（0，3）4分（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（1，0）,C（0，3）和B（，0）.观察图象，当m0时，ABC为钝角三角形，不符合题意.当m0时，可知若ACB=90时，可证AOCCOB.32=1.OB=9.即B(9,0) .当时，ABC为锐角三角形.即当m时，ABC为锐角三角形.7分7.（2012东城123）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）解：(1)证明： = = = 0， 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根. 2分（2） 解关于x的一元二次方程，得 . 3分由题意得 4分解得 . 5分 （3）符合题意的n的取值范围是 . 7分8.（2014海淀223）已知关于的方程：和，其中.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程的一个根，求的值；（3）设二次函数，在（2）的条件下，函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是_.解：（1），1分由知必有，故.方程总有两个不相等的实数根. 2分（2）令，依题意可解得，.平移后，点落在点处，平移方式是将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.点按相同的方式平移后，点为. 3分则依题意有. 4分解得，（舍负）.的值为3. 5分（3）. 7分课后练习1.（2013东城123）已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m为何整数时，原方程的根也是整数解：(1)证明： = = = = 0， 0 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. 2分（2） 解关于x的一元二次方程x2(m3)xm10，得 . 3分要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.设，则. +和的奇偶性相同，可得或解得或. 5分 将m=-1代入，得符合题意. 6分 当m=-1 时 ，原方程的根是整数. 7分2（2013顺义123）已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.（1）证明：当时，方程为，所以 ，方程有实数根. 1分 当时, = = = 2分 所以,方程有实数根综所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 3分（2）令，则 解关于的一元二次方程，得 ， 5分 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数， 所以只能取1，2 所以抛物线的解析式为或7分3.（2014东城123）已知：关于x的一元二次方程mx2（4m+1）x+3m+3=0 （m1）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2），若y是关于m的函数，且y=x13x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围解：（1）证明：所以方程有两个不等实根. 2分5分（3）作出函数的图象，并将图象在直线左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点的坐标分别为当直线 过点 A 时，可求得 过点B时，可求得因此， 7分4.（2014石景山123）已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数.（1）求的值；（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式； （3）将抛物线绕点()旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围解：（1）方程有两个实数根， 且， 1分 则有且 且又为非负整数， . 2分（2）抛物线：平移后，得到抛物线：，3分 抛物线过，可得， 同理：，可得， 4分： . 5分（3）将抛物线：绕点()旋转180后得到的抛物线顶点为（）， 6分 当时， 由题意， 即： 7分5.（2014石景山223） 关于的一元二次方程 （1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于； （2）若函数与x轴有且只有一个交点，求的值； （3）在（2）的条件下，将函数的图象沿直线翻折，得到新的函数图象在轴上分别有点(t，0)，(0，2t)，其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求的值解：（1）证明：， 无论为何值时，方程总有一个根大于； （2）解：若函数与x轴有且只有一个交点 （3）解： 当时，函数 依题意，沿直线翻折后的解析式为: ，图象如图所示 可得，与，轴的 交点分别为， 设直线的解析式为， 由，(0，2t) 直线的解析式为5分 当线段与函数图象相切时， 当线段经过点时， 综上：当或时，线段与函数图象只有一个公共点13