北航物理实验研究性报告拉伸法测钢丝弹性模量及扭摆法测量转动惯量探究.docx

基础物理实验研究性报告

拉伸法测钢丝弹性模量及
扭摆法测量转动惯量探究

第一作者
曹尼美
学号
100311xx
第二作者
王尼玛
学号
100311xx

2011年11月20日

摘要
本文基于作者完成本次实验，对内容进行思考后，对于该组实验的原理，过程，实验数据处理，误差分析进行的认真分析。
本文首先介绍了本实验的原理内容，包括拉伸法测量钢丝弹性模量与扭摆法测量转动惯量。第二部分为对于实验过程的表述。第三部分为数据处理部分，包括实验原始数据，数据处理以及误差分析。第四部分为在实验后对实验可改进之处，对实验的深入分析，以及实验感想。最后为参考文献。

目录
摘要 - 1 -
目录 - 2 -
1 实验原理 - 3 -
1.1. 拉伸法测钢丝弹性模量 - 3 -
1.2. 扭摆法测定转动惯量 - 5 -
2 实验仪器 - 7 -
2.1. 拉伸法测钢丝弹性模量 - 7 -
2.2. 扭摆法测定转动惯量 - 7 -
3 主要步骤 - 8 -
3.1. 拉伸法测钢丝弹性模量 - 8 -
3.2. 扭摆法测定转动惯量 - 9 -
4 数据处理与分析 - 10 -
4.1. 拉伸法测钢丝弹性模量 - 10 -
4.1.1. 原始数据记录 - 10 -
4.1.2. 逐差法数据处理 - 10 -
4.1.3. 图解法处理数据 - 11 -
4.2. 扭摆法测转动惯量 - 12 -
4.2.1. 测量扭摆常数K及金属载物盘转动惯量 - 12 -
4.2.2. 测量各物体转动惯量 - 12 -
4.2.3. 平行轴定理验证 - 13 -
5 讨论与总结 - 15 -
5.1. 实验思考 - 15 -
5.2. 实验感想 - 15 -

1 实验原理
1.1. 拉伸法测钢丝弹性模量
任何物体在外力作用下都将产生形状(或大小)的变化，称为形变。物体的形变可分为弹性形变和范性形变两类。当外力撤除后物体能完全恢复原状的形变称为弹性形变；如果加在物体上的外力过大，当外力撤除后，物体不能完全恢复原状而留下剩余形变 ，这种形变称为范性形变。
设有一根长为L，横截面积为S 的金属丝，沿其长度方向施加外力F 后，金属丝将伸长(或缩短)δL。比值F/S 为作用在金属丝单位面积上的力，称为应力，它决定了物体的形变。比值δL/L是物体的相对伸长量，称为应变，它表示物体形变的大小。由胡克定律可知，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，即
FS=YδLL（1）
比例系数Y 称为该金属丝的杨氏弹性模量，将式(1)变形可得
Y=F/SδL/L （2）
实验表明：杨氏弹性模量Y 与外力F、金属丝的长度L 以及横截面积S 的大小无关，它只取决于构成金属丝的材料，它是表征固体性质的一个物理量。
由式(2)可知，若测出F、S、L、δL 后，即可测得该种金属材料的杨氏弹性模量Y。在实验中，拉力F 采用直接加减砝码的方法测得，L 直接用米尺测量，S 由测量金属丝直径的方法获得，而微小伸长量△L 用一般测量仪器不易直接测出，实验中利用光杠杆和标尺望远镜，采用光杠杆放大原理进行参量变换，将微小伸长量△L 放大后间接测出。
光杠杆的结构如图收拾。实验时，将光杠杆两个前足尖放在弹性模量测定仪的固定平台上，后足尖放在待测金属丝的测量端面上。当金属丝受力后，产生微小伸长，后足尖便随测量端面一起做微小移动，并使光杠杆绕前足尖转动一微小角度，从而带动光杠杆反射镜转动相应的微小角度，这样标尺的像在光杠杆反射镜和二次反射镜之间反射，便把这一微小角位移放大成较大的线位移，这就是光杠杆产生光放大的基本原理。
开始时光杠杆反射镜与标尺在同一平面，在望远镜上读到的标尺读数为r0，当光杠杆反射镜的后足尖下降δL时，产生一个微小偏转角θ，在望远镜上读到的标尺读数为ri，则放大后的钢丝伸长量Ci=ri-r0（常称作视伸长）。由左图可知
δLi=b∙tanθ≈bθ（3）
式中，b为光杠杆前后足尖的垂直距离，称光杠杆常数。
由于经光杠杆反射而进入望远镜的光线方向不变，故当平面镜旋转一角度θ后，入射到光杠杆的光线的方向就要偏转4θ，因θ甚小，OO’也甚小，故可认为平面镜到标尺的距离H≈O’r0，并有
2θ≈tan2θ=Ci2H，θ=Ci4H（4）
（2）（3）联立得
δLi=bCi4H=WCi，W=b4H（5）
1W=4Hb称作光杠杆的“放大率”。式（5）中b和H可以直接测量，因此只要从望远镜中测的标尺刻线移过的距离Ci，即可算出钢丝的相应伸长δLi。适当增大H，减小b，可增大光杠杆的放大率。光杠杆可以做得很轻，对微小伸长或微小转角的反应很灵敏，方法简单实用，在精密仪器中常有应用。
最终得到表达式为
E=16FLHπD2bCi（6）
1.2. 扭摆法测定转动惯量
扭摆构造如图，在其垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生回复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，使摩擦力矩尽可能降低。将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的回复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴做往返扭转运动。根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即
M=-Kθ（7）
式中，K位弹簧的扭转常熟。根据转动定律M总=Iβ（I为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度），忽略轴承的摩擦阻力距，则有M总=M。由β=ω，ω=θ，并令ω2=KI，得
β=d2θdt2=-KIθ=-ω2θ（8）
上述方程表示扭摆运动具有角谐振动的特性：角加速度与角位移成正比，且方向相反。此方程的解为
θ=Acos(ωt+φ)（9）
式中，A为谐振运动的角振幅，φ为初相位角，ω为角（圆）频率，此谐振动的周期为
T=2πω=2πIK（10）
利用式（10），测得扭摆的摆动周期后，在I和K中任何一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状规则的物体（圆柱），其转动惯量（I1）可以根据他的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K值。若要测定其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由式（10）即可换算出该物体绕转动轴的转动惯量。
理论分析证明，若质量为m的物体绕过质心轴的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时，则此物体对新轴线的转动惯量变为Ic+mx2。这称为转动惯量的平行轴定理。

2 实验仪器
2.1. 拉伸法测钢丝弹性模量
弹性模量测定仪（包括：细钢丝、光杠杆、望远镜、标尺及拉力测量装置）；钢卷尺、游标卡尺和螺旋测微计。
2.2. 扭摆法测定转动惯量
扭摆、塑料圆柱体、金属空心圆筒、实心塑料（或木）球、金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动）、数字式计时器、电子天平、气泡水平仪。

3 主要步骤
3.1. 拉伸法测钢丝弹性模量
(1). 调整测量系统
如左图所示，使望远镜等高位置处的标尺刻度经两个平面镜反射后进入望远镜视野。
1) 目测粗调
首先调节望远镜，使其与光杠杆等高，然后左右平移望远镜与二次反射镜，直至凭目测从望远镜上方观察到光杠杆反射镜中出现二次反射镜的像，再适当转动二次反射镜至出现标尺的像，如右图所示。
2) 调焦找尺
首先望远镜目镜旋轮，使“十”字叉丝清晰成像（目镜调焦）；然后调节望远镜物镜焦距，至标尺像与“十”字叉丝无视差。
3) 细调光路水平
适当调节二次反射镜的俯仰，直到望远镜的读数恰为其实际位置为止。还应兼顾标尺像上下清晰度一致。
(2). 测量数据
1) 首先预加10kg拉力，将钢丝拉直，然后逐次改变钢丝拉力，测量望远镜水平叉丝对应的标尺读数。应在增加拉力和减小拉力的过程中各测一次标尺读数取平均值。
2) 根据量程及相对不确定度大小，选择合适的长度测量仪器，分别用卷尺，游标卡尺，或千分尺测L、H、b各一次，测钢丝直径D若干次。
(3). 数据处理
选择用逐差法、一元线性回归法、图解法计算弹性模量，并估算不确定度。其中L、H、各量只测了一次，由于实验条件的限制，他们的不确定度不能简单地只由量具的仪器误差来决定。
1) 测量钢丝长度L时，由于钢丝上下端装有紧固夹头，米尺很难测准，故其误差限可达0.3cm。
2) 测量镜尺间距H时，难以保证米尺水平、不弯曲和两端对准，该距离为1.2-1.5m时，误差限可定位0.5cm。
3) 用卡尺测量光杠杆前后足距b时，不能完全保证是垂直距离，该误差限可定位0.02cm。
3.2. 扭摆法测定转动惯量
(1). 调整测量系统
用水准仪调整仪器水平，设置计时器。
(2). 测量数据
i. 装上金属载物盘，测定其摆动周期T0；将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测出摆动周期T1，测定扭摆的弹簧扭转常数K。
ii. 测定金属圆通、塑料（或木）球与金属细长杆的转动惯量。列表时注意给出各待测物体转动惯量的测量公式（金属圆筒I2、塑料球I3以及金属细长杆I4）和理论计算公式（金属圆筒J2、塑料球J3以及金属细长杆J4）。
iii. 验证转动惯量平行轴定理。将滑块对称地防止在细杆两边的凹槽内（此时滑块质心离转轴的距离分别为5.00、10.00、15.00、20.00、25.00（单位：cm））测出摆动周期T5i。滑块绕过质心且平行其端面的对称轴转动，其转动惯量的计算公式为J滑=116m滑D滑内2+D滑外2+112m滑h2。
iv. 测量其他常数。利用电子天平，测出塑料圆柱、金属圆柱、塑料球与金属细长杆的质量，并记录有关物体的内外径和长度。
4 实验原始数据

5 数据处理与分析
5.1. 拉伸法测钢丝弹性模量
1.
2.
3.
4.
5.
5.1.
5.1.1. 原始数据记录
钢丝长度L=39.80cm
平面镜到标尺距离H=106.10cm
光杠杆前后足间距b=8.50±0.02cm
钢丝直径D/mm
i
1
2
3
4
5
Di
0.830
0.825
0.822
0.828
0.828
标尺读数r/cm
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m/kg
10
12
14
16
18
20
22
24
26
ri+/cm
3.00
3.40
3.81
4.22
4.60
5.01
5.42
5.79
6.20
ri-/cm
3.02
3.43
3.83
4.22
4.63
5.03
5.43
5.81
6.20
ri
3.01
3.415
3.82
4.22
4.615
5.02
5.425
5.80
6.20
5.1.2. 逐差法数据处理
c/cm
i
1
2
3
4
平均
Ci=ri+4-ri
1.605
1.605
1.605
1.58
1.599
E=16FLHπD2RCi=16∙4mgLHπD2RCi
=16×4×2×9.8012×0.3980×1.0613.1416×(0.8266×10-3)2×8.5×10-2×1.599×10-2=1.816×1011Pa
不确定度计算
F、L、b只测一次，只有b类不确定度，∆L=0.3cm，∆H=0.5cm，∆b=0.02cm
u(L)=∆L3=0.173cm，uH=∆H3=0.289cm，ub=∆b3=0.0115cm
D：uaD=(Di-D)25(5-1)=0.00136cm，ubD=∆D3=0.00289cm，uD=ua2D+ub2(D)=0.00321cm
C：uaC=(Ci-C)24(4-1)=0.0063cm，ubC=∆C3=2.89×10-2cm，uC=ua2C+ub2(C)=0.0296cm
E：对E=16FLHπD2RCi两边取对数，取微分，得
dEE=dLL+dHH-2dDD-dbb-dCC
u(E)E=[u(L)L]2+[u(H)H]2+[2u(D)D]2+[u(b)b]2+[u(C)C]2=2.03%
u(E)=0.037×1011Pa
最终结果为E±uE=(1.82±0.04)×1011Pa
5.1.3. 图解法处理数据
原始数据同逐差法处理
E=16FLHπD2RCi=16(mi-m0)LHgπD2R(ri-r0)ri=16gLHπD2REmi+(r0-16gLHm0πD2RE)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m/kg
10
12
14
16
18
20
22
24
26
ri
3.01
3.415
3.82
4.22
4.615
5.02
5.425
5.80
6.20
取两点
（12,3.415）
（26，6.20）
b=y2-y1x2-x1=0.1989×10-2，E=16LHgπD2Rb=1.824×1011Pa
5.2. 扭摆法测转动惯量
5.2.
5.2.1. 测量扭摆常数K及金属载物盘转动惯量
i
1
2
3
4
5
平均
载物盘5T/s
4.10
4.10
4.11
4.10
4.11
4.104
盘&圆柱5T/s
6.65
6.65
6.66
6.64
6.65
6.65
理论转动惯量
I1=18mD2=8.935×10-4kg∙m2，k=4π2I1T12-T02=3.2208×10-2N∙m
I0=T024π2k=5.7018×10-4kg∙m2
即为载物盘转动惯量。
5.2.2. 测量各物体转动惯量
原始数据：
金属圆筒：m=719.43g，d1=93.85mm，d2=99.95mm
塑料圆球：m=1235.49g，d=114.60mm
金属细杆：m=130.66g，l=610.00mm
金属滑块：m1=240.29g，m2=240.51g，l=33.05mm，d1=34.97mm，d2=6.02mm
理论值：
I筒0=18md12+d22=1.690×10-3kg∙m2，
I球0=110mD2=1.623×10-3kg∙m2，
I杆0=112ml2=4.0515×10-3kg∙m2
i
1
2
3
4
5
平均
圆筒5T/s
8.30
8.30
8.30
−
−
8.30
球5T/s
7.07
7.08
7.07
7.07
7.06
7.07
杆5T/s
11.15
11.15
11.15
−
−
11.15
测量值：
I筒=T224π2k-I0=1.678×10-3kg∙m2
I球=T324π2k=1.631×10-3kg∙m2
I杆=T424π2k=4.057×10-3kg∙m2
测试值与理论值百分差
δ筒=I筒-I筒0I筒0=0.71%，δ球=I球-I球0I球0=0.71%，δ杆=I杆-I杆0I杆0=0.71%
5.2.3. 平行轴定理验证
原始数据：
j
i
r
r左2+r右2
1
2
3
4
5
5T/s
1
5cm
50
12.80
12.80
12.79
12.80
12.79
12.796
2
10cm
200
16.58
16.57
16.57
16.58
16.57
16.574
3
15cm
450
21.41
21.40
21.39
21.40
21.39
21.398
4
20cm
800
26.75
26.75
26.74
26.76
26.74
26.748
5
25cm
1250
32.35
32.34
32.33
32.34
32.35
32.342
由I=T24π2k-I杆可得
i
1
2
3
4
5
Ii/kg∙m2
1.286×10-3
4.907×10-3
1.0885×10-2
1.9291×10-2
3.0078×10-2
令y=Ii，x=ri2，y=a+bx，其中a=y-bx，b=xy-xyx2-x2
则有x=0.055m2，y=0.0132892kg∙m2，x2=0.004895，y2=0.0002842，xy=0.00179469
b=0.2399kg≈m滑块，r=xy-xyx2-x2y2-y2=0.9999997≈1，满足线性关系。
平行轴定理得证。

6 讨论与总结
6.1. 实验思考
扭摆法测转动惯量中光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处原因分析：
测量周期时，将物体转动到振幅处，然后松开手，让物体作自由扭摆的简谐运动。扭摆的振动方程为θ=θ0cosωt，设ωt =α，则角速度为θ=dθdt=θ0ωsinα。
当t =14T时，即α= 90°，扭摆恰好转动到平衡位置θ= 0 ，即此时有θ=dθdtmax，角速率有最大值；当t = 0 时为角速率最小的θ=0点。扭摆在最大位移θ=θmax处。实验中要测量的是周期T，只有很明显的角位移变化Δθmax，对应很短的时间变化∆Tmin才便于观察和测量周期T ，观察测量的准确度高。所以单位时间内角位移∆θ变化最大的位置，即θ=dθdtmax时，才是测量周期时光电门摆放的最佳位置。平衡位置角速率最大，即测量周期准确度最高的点。
6.
6.1.
6.2. 实验感想
这两个实验十分贴近生产实际，在实际中有着很多的应用。在生产中对于一种材料弹性模量的了解对于其应用范围的确定是十分重要的，弹性模量反映了材料抵抗弹性变形能力，确定弹性模量有助于选择恰当的材料来使用。
扭摆法测量转动惯量实验同样有着重要的物理意义。在物理的学习过程中，通常依靠计算来得到物体的转动惯量，但是在实际生产中通常要得到不规则物体，密度不均匀物体的转动惯量，采用近似规则几何体的方法误差较大，对于精密生产有很大影响。因此通过测量的方法来得到转动惯量很有必要。在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
本实验在实验操作过程中相对复杂的部分主要是对于光杠杆的调节。在书上所讲述的左右调节光杠杆的步骤较为简单，没有详细讲述，在实验中，我通过不断摸索得到一些经验，如尽量避免单独调节二次反射镜。而其调节相对光学实验中的调节也比较简单，而在测量中难度较小。而数据处理的过程相对复杂，数据量较大，而且在处理数据过程中对于不确定度的计算也比较复杂。通过计算可以看出，本实验的误差比较小。本实验让我对于在基础物理力学学习中对于弹性模量、转动惯量等抽象概念有了形象的认识，对于物理的学习也更加的深入。
总的来说，本次实验较为顺利，在自己预习的基础上，老师的讲解帮助我能够准确的完成本次实验，同时对于实验的原理也更加明确，我在本次实验中收获很大。