2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义.doc

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c
如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|
Þ a×b = b×c 但a ¹ c
(5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；
当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a^b Û a×b = 0
2、当a与b同向时，a×b = |a||b|； 当a与b反向时，a×b = -|a||b|.
特别的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：a × b = b × a
证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a
2．数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)
证：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，
若< 0，(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，
a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.
3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2
∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。
例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.
（ 利用 ）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。