小学奥数的二次相遇问题.doc

例1、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，甲、乙两车的速度比是7：11，相遇后继续行驶，分别到达A、B两地后立即返回，第二次相遇时甲车距B地80千米，A、B两地相距多少千米？
关键词：速度比=路程比 两次相遇 三倍路程
第二次相遇时甲、乙两车的路比为: 7:11总路程为两地距离的3倍.
解：设甲乙两地相距s千米，则共行了S+80 ，乙行了 2S-80。
(s+80):(2s-80)=7:11
7(2s-80)=11(s+80)
s=480
答：A、 B两地相距480千米
例2、一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长为比依次是1：2：3。某人走各段路程所用时间之比依次是4：5：6。已知他上坡速度每小时3千米，路程全长50千米。问此人走完全程用了多少时间？
解: 关键词：分数应用题与行程问题组合
上坡路长： 50*【1/（1+2+3）】=25/3km
上坡的时间：（25/3）/3=25/9小时
走完全程的时间：（25/9）/【4/（4+5+6）】=125/12小时
答：此人走完全程用了125/12小时
例3、甲、乙、丙，3人环湖跑步。从湖边同一地点出发，甲与乙、丙，逆向跑。在甲第一次遇到乙后的1又4分之1分钟后遇到丙，再3又4分之3分钟，第二次遇到乙。已知甲乙的速度比是3：2，湖的周长是2000米。问乙丙每分钟各跑多少米？
解： 关键词：封闭曲线上的相遇问题
从题知，甲乙第一次相遇与第二次相遇间隔得时间为
1又4分之1+3又4分之3=5分钟。
甲乙的速度和是：2000÷5=400(米/分)
甲的速度是：400×3/(3+2)=240(米/分)
乙的速度是：400×2/(3+2)=160(米/分)
甲丙的速度和是：2000÷(25/4)=320(米/分)
丙的速度是：320-240=80(米/分)
答：乙每分钟跑160米，丙每分钟跑80米
设计思想:本课教学设计依据"利用音像教材培养学生数学素质"的课题研究目标,以现代教育思想、理论为指导,以认知主义学习理论为基础,以培养智能型、创造型人才为目的,试图通过对教学的科学设计,实现音像教材在教学过程中的有机渗透,充分挖掘音像教材在帮助学生正确理解"相遇问题"的数量关系,探究解答方法,培养学生知识与能力素质、身体心理素质等方面发挥的作用,全课采用启发式电化教学,本教学设计力求体现以下特点:
　　1.充分体现学生的主体地位,重视挖掘学生的认知潜力。运用现代教育媒体首先设计一道准备题,通过微机演示让学生感知相通问题的结构特点,然后通过列表、讨论、分析,让学生理解相遇问题的数量关系,充分发挥电教媒体的功能优势,为学生提供多种信息与表象,在教师适时启发点拔下,通过自己动脑、动手、动口,积极思维,探索和发现相遇问题的解答方法,在巩固练习过程中运用所学知识解决与相遇问题类似的实际问题,实现知识、技能和方法的迁移,充分体现了知识与能力素质的培养过程。
　　2.充分发挥教师的主导作用,在教师的指导下,通过相遇问题的学习及解决问题思维训练,培养学生勤学善思、主动进取的良好学习习惯和学习兴趣,利用现代教育媒体创设情境,使学生在乐中学习,在提高学习效率的同时,培养了学生的身体心理素质。
　　教学目的:
　　1.理解相遇问题中速度、时间、路程这三个数量间的相依关系,以及"相向而行"、"相遇"等术语的含义。
　　2.能根据相遇问题的题意用线段图分析数量关系,并说出解题步骤。
　　3.能正确解答相遇问题中求路程的应用题。
　　4.在培养学生逻辑思维能力的同时注重培养学生的自我探究和创造精神。
　　教学重点:相遇问题中数量关系的理解和解题思路的分析。
　　电教媒体:微机及配套大屏幕、投影仪、投影片。
　　教学过程:
　　一、展示设疑
　　(一)前提诊测(投影片)
　　1.张华每分钟走65米,走了4分钟,一共走了多少米? (65×4=260米)
　　提问:为什么这样列式?谁会用一个数量关系式表示? (板书:速度×时间=路程)
　　2.李诚每分钟走70米,走了4分钟, ？ (由学生补充问题再列式计算)
　　[评析:旧知的再现,针对性强,抓住与新知密切相关的速度、时间、路程的数量关系,为学习新知识作了适
　　当的铺垫。]
　　(二)引人课题
　　我们以前学习的都是一个人或一个物体运动的情况,如果是两个人或两个物体同时相对运动将会出现什么情况呢?这就是我们今天要学习的应用题。(板书课题:应用题)
　　二、引导思疑
　　1.创设动态情境,准确理解题意。.
　　微机屏幕显示准备题:张华家距李诚家390米，两人同时从家里出发,向对方走去。张华每分走60米,李诚每分走70米。
　　师:请同学们看屏幕,张华、李诚是怎样走的?结果会怎样?
　　(微机演示)屏幕显示张华、李诚两家用太阳表示并不断闪烁,当发出一声悦耳的响声后,张华、李诚分别从两家同时出发,相对而行,经过3分钟后两人相遇,这时又发出一声悦耳的响声,张华走的路程用蓝色表示,李诚走过程的路程用红色表示,屏幕底色是浅黄色,色彩清晰艳丽。
　　学生观察后提问:有几个人在运动?出发时间怎样?从哪里出发?出发后方向怎样?结果怎样?
　　板书:人:两个 时间:同时 地点:两地
　　方向:相向(相对) 结果:相遇
　　[评析:运用微机所具有的声、光、色、形的特点，创设动态情境,抓住"相遇问题"的关键,加深学生对
　　"两地、同时、相遇"关键词的分析和领会,形象深刻地提示了事物的发展、变化与结果,使学生准确理相遇应用题的结构特点,充分发挥现代教育技术手段的功能优势,为后面的例题教学扫除了障碍。]
　　2． 观察、思考、分析、填表。
　　教师利用微机逐分逐分地演示两人走的时间与路程变化情况,让学生一边观察一边思考,完成下准备题中的表格。.
　　根据以上微机的演示让学生填写下面他们两人走的时间和路程的变化情况表。
　　走的时间 张华走的路程 李诚走的路程 两人所走的路程的和 现在两人的距离
　　填完上表后让学生讨论:
　　①出发3分钟后,两人之间的距离变成了多少?
　　②两人所走的路程的和与两家的距离有什么关系？
　　[评析：素质教育重视学生的主体地位,重视挖掘学生的认知潜力,准备题的设计正是考虑了这一要求。通过微机演示让学生感知相遇问题的结构特点,然后通过列表、讨论、分析每经过1分、2分、3分两人之间的距离变化,从而准确理解到:相遇时两人所走的路程的和就是两家的距离这一重要的数量关系。这里充分运用电教媒体的优势,适时启发、点拔,给予学生方法上的指导,引导学生思维活动"上路",从而为下面的例题提供丰富的信息与表象。]
　　三、引思解疑
　　l.出示例5:小强和小丽同时从自己家里走向学校。小强每分走65米,小丽每分走70米,经过4分,两人在校门口相遇。他们两家相距多少米?
　　2．理解题意,画出线段图。
　　①让学生说说小强和小丽是怎样运动的?题中的已知条件和问题分别是什么?
　　②根据学生的回答,微机屏幕显示线段图(标出运动方向、有关数据及问题)。
　　③让学生根据线段图复述题意,同时想象两人同时从家里走向学校的过程。
　　（3）分析数量关系及解题方法。
　　问:怎样求两家的距离?
　　启发学生说出两种解法:
　　① 求两人各自的路程,再加起来。
　　64×4+70×4
　　②求每分两人所走的路程和,再求4分两人所走路程的和。
　　(65+70)×4
　　4.比较两种算法。
　　让学生说说两种解法分别先求什么,再求什么?再引导学生观察两种解法的算式之间有什么联系?(为什么两种解法算式不同却结果相等?)(符合乘法分配律)
　　[评析:前面准备题已通过微机向学生提供了直观、多彩、形象、生动的表象,又通过填表、分析,学生已准确理解了相遇问题的数量关系,例5的解答已经是水到渠成。然而教师并不急于呈现答案,而是注重知识的获取过程。先启迪学生复述题意、想象两人同时相向而行的情景,再画出线段图,进一步激发学生解题的积极性与主动性,最后通过学生自身努力找到答案,化解难点,真正体现了启发式电化教学解决难点的媒体策略思想。整个例题的解答都是学生在教师的引导下充分运用前面提供的表象自我探究、自我发现,这样,有效地促进了学生把外部感知活动内化为内部的思维活动,从而形成合理的知识结构,使学生的认知水平发展到意义建构的较高层次。]
　　5.做一做(投影)①甲乙两人同时从两地面对面走来,经过6分钟两人相遇(如图),求两地间的路程.
　　每分60米 每分75米
　　a.相遇时甲行了多少米?()×()=()米
　　b.75×6表示( )
　　c.两地间的路程:()×()+()×()=()米
　　另一种解法:
　　a.两人每分所走的路程的和是:()+()=()米
　　b.两地间的路程是[()+()]×()=()米
　　②两车同时从两地相对开出,4小时相遇,一辆汽车每小时行48千米,另一辆汽车每小时行52千米,求两地之间相距多少千米?(两种方法解答)
两次相遇行程问题的解法

郑桂元
在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：
240－60＝180（千米）
例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：
（24O＋6O）÷2＝150（千米）
可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
（作者单位：安徽省蚌埠市第三实验小学）
行程问题：在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每十二分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？

2011-7-26 13:30
最佳答案
两人每分钟一共跑 1÷4 = 1/4 圈，快的比慢的每分钟多跑 1÷12 = 1/12 圈，
可得：快的每分钟跑 (1/4+1/12)÷2 = 1/6 圈，慢的每分钟跑 (1/4-1/12)÷2 = 1/12 圈，
所以，快的跑一圈需要 1÷(1/6) = 6 分钟，慢的跑一圈需要 1÷(1/12) = 12 分钟。

什么是环形跑道问题？
　　环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环形跑道问题的例题讲解
　　例题：乙两车同时从同一点 出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)

　　解析：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6÷（65+55）=0.05 小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6÷（65-55）=0.6 小时，乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33 千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米．此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2…3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．

环形跑道问题练习题（附答案和详解）
　　1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？
　　答案：假设没有休息 那么100/（5—4）=100秒钟 在100/5=20秒 100/20-1=4（次）100+4*10=140秒

　　2.小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？
　　答案：x÷4=（360-x）÷5×=160（360÷2-160）÷5＋160÷4＝44分
　　3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒

　　答案：设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2
　　X/2*5+X/2*4=360
　　X=80
　　总共跑了80秒
　　前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米
　　后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米
　　后一半的路程为360/2=180米
　　后一半的路程用的时间为（200-180）/5+40=44秒

　　4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？

　　答案：设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半路程用了44秒
　　5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？
　　答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。
　　6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？

　　答案：前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下 此时已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7时击掌 一次，然后2人共一圈击掌1次 耗时 （4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98； 甲共总走了40+165/98 H 已走了 （40+165/98）*（400/7） M

环形跑道问题练习题2（附答案和详解）
　　1.甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米；
　　答案：设乙的速度是x米/分 0.1米/秒=6米/分8x+8x+8×6=400×5 x=122122×8÷400=2....176那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是176米
　　2.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？
　　答案：甲走完10圈走了10*400=4000米他们每击掌一次，甲走一圈(画画图就会明白的)，则15*400=6000米总共走了6000+4000=10000米10000/400=25分钟因为甲乙所走时间想同所以乙走了25/7*400≈1428米
　　3.林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？
　　答案：总共用时为450÷ （5+4）＝50秒后半程用时＝（225-4×50）÷5+50＝55秒
　　4.某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑了多少秒？
　　答案：44秒 因为 共花了80秒的时间 （（80/2）-360/2）/5+80/2=44
　　5.一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇（不用解方程）
　　答案：小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟
　　6.两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇
　　答案：（4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解）
　　315÷（4-3）=315秒——（追及问题求解）
　　答：315秒后两人再次相遇.