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高三起点调研考试数学试题
华师一附中殷希群
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间1。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
正棱锥、圆锥的侧面积公式： ，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
球的体积公式： ，其中R表示球半径
题号
一
二
三
总分
1～12
13～16
17
18
19
20
21
22
分数

第I 卷（选择题，共60分）
一 、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。)
1．设f: x→|x|是集合A到集合B的映射，若A={-1, 0, 1}，则A∩B只可能是（ ）
A．{0} B．{1} C．{0, 1} D．{-1, 0, 1}
2．如果tan(α+β)=，tan(β- )=，那么tan(α+)的值是（ ）
A． B． C． D．2
3．已知向量=（1，1），与的夹角为，且·= -1，则向量=（ ）
A．（-1，0） B．（0，-1）
C．（-1，0）或（0，-1） D．（-
4．在等差数列{an}中，7a5+5a9=0，且a9>a5，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．给出下面四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；④“直线a∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ 　）
A．1个　　　　B．2个　　　　 C．3个　　　　　D．4个
y
x
0
A
B
y
x
0
C
y
x
0
y
x
0
D
6．方程xy=lg|x|的曲线只能是（ ）

7 ．函数f（x）=Msin（ωx＋）（ω＞0），在区间［a，b］上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx＋）在［a，b］上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值－M
8．如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正A
E
D
B
F
C
三棱锥A-BCD的体积是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线
x＋y＝0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ 　）
A．　　　　 B．　　　　　 C．1　　　　　 D．2

10．度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于分？选出最接近的数目（　 ）

　　A．4000人　　　　　　　　　　 B．10000人
C．15000人　　　　　　　　　　D．0人
11．已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an-1=29-n，那么自然数n的值为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
12．已知F1、F2分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 5
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案

第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）
13．对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点，现给定一个实数a，a∈（4，5），则函数f(x)=x2+ax+1的不动点共有_______个
14．（理）已知复数，，则复数的虚部等于________．
　 （文）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．

15．（理） 由1、2、3、4四个数字组成(数字可重复使用)的四位数a, 则a的个位是1，且恰有两个数字重复的的概率是 。（结果用最简分数表示）
（文）定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1, 3, 5, 7, 9}的“孙集”的个数为_________.
16．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________．

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．（本小题满分12分）
已知二次函数对任意，都有成立，
设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），
当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．

18．（本小题满分12分）
（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．
　　 （1）求甲队打完第五场比赛就获得冠军的概率；
　　 （2）求甲队获得冠军的概率.
　　（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．
　　 （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
　　 （2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.

19．（本小题满分12分）
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
E、F分别是AB、PD的中点.
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B为45°，AD=2，CD=3，
求点F到平面PCE的距离.

本小题满分12分）
已知函数f（x）的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称．
　　（1）求f（x）的解析式；
　　（2）（文）若，且在区间（0，2）上为减函数，求实数a的取值范围；
　　 （理）若，且在区间（0，上为减函数，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）
已知a、b、m、，是首项为a，公差为b的等差数列；是首项为b，公比为a的等比数列，且满足．
　　（1）求a的值；
（2）数列与数列的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个
新数列，求的前n项之和．

22．（本小题满分14分）
如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，
BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．

　　（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
　　（2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．
　　 （理）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．

华师一附中高三起点调研考试数学试题参考答案及设计说明
1．C 【解题思路】：由映射定义及给定法则f知，{0, 1}B，且-1B，∴A∩B={0, 1}，故选C
【试题评析】：考查映射与函数的概念以及交集的含义。

2．B 【解题思路】：tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]=,故选B
【试题评析】：考查三角公式的灵活运用，思维的灵活性。

3．C 【解题思路】：设=(a, b)，则a+b=-1 ①，又·=||||cos，
∴，即a2+b2=1 ②，由①②可得或
,故选C
【试题评析】：考查向量的数量积、向量的模及其坐标表示。

4． B 【解题思路】： ∵a9>a5，∴公差d>0，由7a5+5a9=0 得7(a1+4d)+5(a1+8d)=0，∴d=a1，由an= a1≤0，解得n≤6. 故选B
【试题评析】：考查等差数列的通项公式及前n项和公式的运用，思维的灵活性。

5．B 【解题思路】： 只有②、④是真命题. 故选B
【试题评析】：考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查充要条件等概念。

6．D 【解题思路】：方程变形为y=，则由函数是奇函数，且x=±1时y=0得只有D是符合的. 故选D
【试题评析】：考查函数的图象与函数的性质，识图能力。

7 ．C 【解题思路】：解法一：由已知得M＞0，－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋＝2kπ时g（x）可取到最大值M，故选C
解法二：由题意知，可令ω＝1，＝0，区间［a，b］为［－，］，M＝1，则
g（x）=cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.
【试题评析】：考查函数y=Asin（ωx＋）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.

8．B 【解题思路】：在正三棱锥中有AC⊥BD，又EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，∴AC⊥平面ABD，∵ BC=1，∴AB=AC=AD=，∵VA-BCD=VC-ABD=S△ABD·AC=.故选B
【试题评析】：考查空间线面关系、体积公式，考查逻辑思维能力和空间想象能力。
9．A 【解题思路】：因为M、N两点关于直线x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k=1，而圆 的圆心（，）在直线x＋y＝0上，所以=。则不等式组：表示的平面区域就是一个为斜边长为1的等腰直角三角形，面积为,故选A
【试题评析】：考查直线与圆的方程以及线性规划问题，综合解题能力。

10．B【解题思路】：从分布图中可以看出, 分的有百分之2.5, 分的有百分之3, 分的有百分之1, 分的有百分之1.5, 所以高于分的有百分之8,其人数约为12万的百分之8,即9600人,故选B
【试题评析】：考查识图能力、估算能力以及获取信息的能力。

11．A 【解题思路】：∵a0+a1+…+an=2+22+…+2n=2n+1-2，又a0=n，an=1，∴29-n+n+1=2n+1-2，即2n+1=32，∴n=4, 故选A
【试题评析】：考查展开式的系数特点、等比数列求和,思维的灵活性.
12．D 【解题思路】： 设|PF1|=m, |PF2|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得
5a2-6ac+c2=0e2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去）.故选D
【试题评析】：考查双曲线的定义、离心率，利用方程思想解题，综合运用各种知识的能力。
13．2 【解题思路】：令x2+ax+1=x得x2+(a-1)x+1=0，当a∈(4, 5)时，△=(a-1)2-4=a2-2a-3>0，方程有两解，故不动点有两个.故填2.
【试题评析】：考查抽象函数和不等式，考查阅读能力。

14．（理）　【解题思路】：=,故填
【试题评析】：考查复数概念与代数形式的运算。
（文）25，60，15　【解题思路】：，， 故填25，60，15
【试题评析】：考查抽样方法。

15．（理） 【解题思路】：共有四位数4×4×4×4=256个，而符合条件的四位数有：+=36个，∴P=,故填
【试题评析】：考查排列数的计算及概率的计算。
（文）26【解题思路】： =26. 故填26.
【试题评析】：考查集合概念及排列数计算，新定义的阅读能力与转化能力。

16．2.5小时　【解题思路】：设台风中心开始时的位置为P，移动后(A码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q，记，
由题意得，，
解得或，则A码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为100千米，需时间2.5小时，故填2.5
【试题评析】：考查利用解三角形解决实际问题，数学建模的能力。

17．【解题思路】：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)
∵　，，，
，，，………………………………(4分)
∴　当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，

，．
　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)
当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．
同理可得或，．………………………………………(11分)
　　综上：的解集是当时，为
当时，为，或．…………………………(12分)
【试题评析】：本小题主要考查最简单三角不等式的解法等基本知识，涉及到分类讨论、二次函数的对称性、向量的数量积、函数的单调性等基本知识和方法的综合运用，考查运算能力及逻辑思维能力。

18．（理）【解题思路】：（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,
　　依题意得．……………………………(6分)
　　（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们彼此互斥．
∴　．
………………………………………………………………(12分)
【试题评析】：考查互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复实验恰好k次发生的概率。考查逻辑思维能力，要求考生具有较强的辨别雷同信息的能力。
（文）【解题思路】：(1) 设甲袋内恰好有2个白球为事件A，则A为 “甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个黑球”．
∴　．…………………………………………………(6分)
(2)设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．
　　①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．
∴　．………………(12分)
【试题评析】：考查等可能事件发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，分类讨论、组合记数、乘法原理、加法原理基本知识和方法的综合运用及逻辑思维能力。要求考生具有较强的辨别雷同信息的能力。

19．【解题思路】：解法一：（1）取PC中点M，连结ME、MF，则MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四边形AFME是平行四边形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°， ………………………………………………………………(6分)
∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD内过F作FH⊥PC于H，则FH就是点F到平面PCE的距离. …………………………………(10分)
由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，
∴FH=. ………………………………………………………………(12分)
解法二：（1）取PC中点M，连结EM，
=+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)
（2）以Ａ为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z
轴建立坐标系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)
∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，设平面PCE的法向量为=(x, y, z)，则⊥，⊥，而=（-，0，2），
=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4
得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

又=（0，，
故点F到平面PCE的距离为d=.…………(12分)
【试题评析】：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，是否利用空间向量供考生选择。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力

解题思路】：（1）设f（x）图像上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图像上
　　∴　，　∴　，
即　 ……………………………(文6分，理4分)

　　（2）（文）：，即,在（0，上递减，　∴　a≤-4 …………………………………………………(12分)

　　（理）：，　∵　, 在（0，上递减，
　　∴　在（0，时恒成立．…………………………………(8分)

即　在（0，时恒成立．　
∵　（0，时，　∴． ………………………(12分)
【试题评析】：本小题主要考查函数性质、不等式等基础知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

21．【解题思路】：（1）∵　，，
　　由已知a＜b＜a＋b＜ab＜a＋2b，
　　∴　由a＋b＜ab，a、 得．
　　∵　，　∴　a≥2．
　　又得，而，　∴　b≥3．
　　再由ab＜a＋2b，b≥3， 得．
　　∴　2≤a＜3　∴　a＝2． …………………………………(6分)
　　（2）设，即．
　　∴　，．
　　∵　b≥3，　∴　．　∴　．
　　∴　．
　　故．……………………………………(12分)
【试题评析】：本题主要考查数列及不等式的基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

22．【解题思路】：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，
A（-1，0），B（1，0）

　　设椭圆方程为：
　　令　∴
　　∴　椭圆C的方程是： …………………………………(文6分,理4分)
　　（2）（文）l⊥AB时 不符合，
　　∴　设l：
　　设M（，），N（，），

　　∵　　　∴　，即，
　　∴　l：，即　经验证：l与椭圆相交，
　　∴　存在，l与AB的夹角是．…………………………………(12分)
（理），l⊥AB时不符，
　　设l：y＝kx＋m（k≠0）
　　由　
M、N存在D
………………………………………………………………(6分)
　　设M（，），N（，），MN的中点F（，）
　　∴　，

………………………………………………………………(12分)
　　∴　　　∴　
　　∴　　　∴　且
∴　l与AB的夹角的范围是，． ………………………………(14分)
【试题评析】：本题主要考查椭圆的概念和性质，直线与椭圆的相互关系；考查运算能力和逻辑思维能力以及综合应用知识的能力．

华师一附中高三起点调研考试数学试题试卷评析
1.试题特点
　　(1)突出对基础知识和主干知识的重点考查
　　大多数问题的入口都比较宽，起点不高。选择题和填空题都从中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发设计命题；解答题在考查数学基础知识的同时，注重对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，并达到了必要的深度，构成数学试题的主体，考察不同层次的学生的综合素质和综合能力。
　　从内容来看，突出对主干知识的重点考查。代数部分重点考查函数、不等式、数列、三角函数等内容；立体几何重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系；解析几何重点考查直线和圆锥曲线，特别是它们的位置关系。同时，试题还注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，在知识网络交汇点设计试题。
　　(2)对数学思想方法的考查更加深入
　　数学不仅仅是一门工具性的学科，更重要的是一种思维模式。试题一直注重对思想方法的考查，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。因此，在试题中对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。试题中涉及到的基本数学思想方法主要有：等价转化思想方法、数学建模思想方法、函数与方程思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、归纳法、整体思想方法、类比法、等等。
　　(3)体现了课改的基本理念，注重试题的创新
　　数学试题明显地反映了新课改的理念，既重视考查基础知识，又注重体现课程改革的基本理念。体现自主学习和主动探究精神，体现了研究性学习的特点，对培养学生的创新精神和实践能力有重要的意义。注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力的考查应用气氛及创新、实践、探究意识，受到了人们的普遍关注和重视。其实问题往往并不复杂，关键是能阅读、理解对问题进行陈述的材料，把握好问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，考查的是对信息的接受、交换和处理能力，特别是数学语言的抽象、理解、变形、推断。它要求学生理论联系实际，能综合应用所学数学知识、思想和方法，通过一定的逻辑分析和推理对问题作出符合实际的解释，实际上是考查数学建模的能力。如第16题关于台风对海边城市影响的问题，考察将实际问题转化为数学问题的能力。