2019届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三第二次联考数学(理)试题.doc

安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考
数学试题（理）
命题：安徽师范大学附属中学
考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝R，集合， ，则集合( 　)
A． B． C． D．
2．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为( 　)
A．15 B．25 C．50 D．60
3．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是( 　)
A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i
4．若，那么的值为(　 )
A． B． C． D．
5．设则(　 )
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为，则它的表面积是(　　)
A． B．
C． D．

7．若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种
A． B． C． D．
11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
12．设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（ ）
（1）若，则； （2） 若，则；
（3）若，则； （4） 若，则；
（5）若，则.
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（3）（5）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，若a⊥b，则b在向量上的投影为________．
14．若实数x，y满足约束条件则z＝ln y－ln x的最小值是________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过，且与双曲线右支交于两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为 和 .
16．三棱锥中，底面满足，，点在底面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到底面的距离为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(本小题满分12分) 已知是各项均为正数的等比数列，且，等差数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，有点、……、,、……，若记的面积为,求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC­A′B′C′的侧棱长为4，ABBC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.
（Ⅰ）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；
（Ⅱ）当三棱锥B­DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．

19. （本小题满分12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
支付方式
微信
支付宝
购物卡
现金
人数
200
150
150
100
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
（Ⅰ）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；
（Ⅱ）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.

20．(本小题满分12分) 已知椭圆:的左、右焦点分别为，离心率为，直线：与椭圆交于，四边形的面积为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）作与平行的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.

21．(本小题满分12分) 已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线的最大距离.

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数，.
（Ⅰ）若恒成立，求的最小值；
（Ⅱ）若，求不等式的解集.
安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考
数学试题答案（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
B
C
B
D
C
A
A
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14. －ln3 15. 16.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.解：(1)设数列公比为,由已知,由题意得：
得，又，解得，则 ………3分
设数列的公差为，由题意得：
解得，则 ………6分
(2)由(1)有=，，
故 ………8分
+

-得-
=
故 ………12分
18.根据题意，以B为原点，以BC，BA，BB′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．
(1)证明：设D(0，a，0)，则E(4－a，0，0)，
得＝(4，0，－4)，＝(－4，a，－4)，
故·＝0，有⊥，即总有B′C⊥C′D. ………4分
(2)
当且仅当a＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E(2，0，0) ………6分
则,设面DB′E的法向量为,
由可取
同理可得面A′B′E的一个法向量 ………10分
由
易得二面角D-B′E-A′的余弦值为。 ………12分
19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，
则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)
=
= ………6分
(2)由题意可知,故所求分布列为
X
0
1
2
3
P

………10分
E(X)= ………12分
20. 解：由（1）可得
， ………2分
，带入得
，椭圆方程为 ………5分
（2）设直线的方程为
由，得
，得， ………7分
设,则

（） ………10分
………12分
21. 解：(1) ,
,所求切线方程为 ………4分
(2)令

① 当时，，时，；时，
在上是减函数，在上是增函数，

，即 ………7分
② 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，
则，解得 ………9分
③ 当时，，在上是增函数，
，成立 ………10分
④ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，
则，解得
综上，实数的取值范围为 ………12分
22. 解：(1)由，消去，得
将代入得，
化简得 ………5分
(2) 由，得，即
圆心到直线的距离
所以C上点到直线的最大距离为 ………10分
23.（1）
，的最小值为 ………5分
（2）①当时，，得，
②当时，,得，
③当时，，得，
综上，不等式解集为 ………10分

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